1、专题24.1 圆（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；(3)对应线段相等、对应角相等.【知识点二】点和圆的位置关系：点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【知识点四】垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知识点五】圆周角定
2、理：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径.推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.【知识点六】直线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为）相交：直线与圆有两个公共点，；相切：直线与圆有一个公共点，；相离：直线与圆无公共点，.【知识点七】切线定理：切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直
3、线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理.【知识点八】切线长定理：切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线是这两条切线的夹角. 【知识点九】弦切角定理： 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.【知识点十】确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.【知识点十一】外心：外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 三角形的一个内角等于它另外两
4、个角顶点与外心连线夹角的一半.【知识点十二】内心：内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则.直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则.【知识点十三】相交弦定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图1，是的两条弦且交于点，则. 图1 图2 图3【知识点十四】切割线定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图2，是的切线，线段交于两点，则.割线定理：从圆
5、外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图3，线段交于两点，交于两点，则.【知识点十五】正多边形、弧长与扇形面积：正变形的圆心角为度.弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为.如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为.如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为.【考点目录】【考点1】旋转旋转中心、旋转角、对应点的理解与认识【考点2】旋转旋转性质求解与证明综合【考点3】垂径定理利用定理进行证明与求值【考点4】圆周角圆周角定理进行证明与求值【考点5】直线与圆的位置关系切线性质与判定的理解及综合【考点6】三角形的内切圆求值与证明【考
6、点7】正多边形与圆【考点8】弧长与扇形面积【考点一】旋转旋转中心、旋转角、对应点的理解与认识【例1】（2023上江西赣州九年级统考期中）如图，和都是等边三角形，且B、C、D三点共线（1）可以看作是由 绕着点 ，逆时针旋转 得到；（2）试证明这两个三角形全等【答案】（1），C， 60；（2）见分析【分析】本题主要考查 了等边三角形，全等三角形，熟练掌握等边三角形的边角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键（1）可通过观察与全等着手，寻找旋转中心，旋转角根据等边三角形的性质得到，推出，根据推出，根据，因此可以看作是由绕着点C，逆时针旋转得到；（2）根据等边三角形的性质得到，推出，根据推出解
7、：（1）和都是等边三角形，即，可以看作是由绕着点C，逆时针旋转得到；故答案为：，C， 60（2）和都是等边三角形，即，【举一反三】【变式1】（2023上河南新乡九年级统考期中）是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（）A旋转中心是点CB C D点D是中点【答案】D【分析】此题主要考查了旋转的性质根据旋转的性质即可求解解：是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，旋转中心是点C，点D不一定的中点，A、B、C结论正确故选：D【变式2】（2023上山东济宁九年级校考期中）如图，每个小正方形的边长都是，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是 .【答案】【分析】本题考查了坐标与图形变化：旋转，
8、根据对应点连线的垂直平分线的交点，即可求解解：将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，作线段和的垂直平分线，它们的交点为（，），旋转中心的坐标为，故答案为.【考点二】旋转旋转性质求解与证明综合【例2】（2023上辽宁大连九年级统考期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形（1）如图，当点E在上时若，则_；求证：；（2）探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由【答案】（1）；见分析；（2）或，见分析【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质（1）由矩形的性质可证；由矩形的性质及旋转的性质可证（），从而可得，即可求证；（2）由线
9、段垂直平分线的判定定理可得点G在的垂直平分线上，当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，可证是等边三角形，即可求解；当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形，即可求解；掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键（1）解：四边形是矩形，由旋转得：，故答案：；由旋转可得：，又，在和中，（），又，（2）解：如图，当时，则点G在的垂直平分线上，当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，四边形是矩形，垂直平分，是等边三角形，旋转角；如图，当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形， 旋转角【举一反三】【变式1】（2023上安徽芜湖九年级校考期中）如图，在中，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，则线
10、段的长为（）AB4CD【答案】C【分析】本题考查旋转的性质，含角直角三角形性质及勾股定理；由旋转的性质得；由含角直角三角形性质得，再由勾股定理即可求得结果解：由旋转的性质得；，；在中，由勾股定理得：故选：C【变式2】（2023上黑龙江齐齐哈尔九年级校考期中）如图，两个全等的含角的直角三角板，将绕点逆时针旋转角（）得到，若交于点，连接，当 时，为等腰三角形【答案】或【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是表示出各个内角，再分三种情况，根据等边对等角列方程求解解：由旋转可知：，而，当时，即，无解；当时，即，解得：；当时，即，解得：；综上：当或时，为等腰三角形故答案为：或
11、【考点三】垂径定理利用定理进行证明与求值【例3】（2023上广东惠州九年级黄冈中学惠州学校校考期中）如图，中两条互相垂直的弦交于点（1），的半径为10，求弦的长；（2）过点作交于点，求证：【答案】（1）16；（2）见分析【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（1）连接，由垂径定理和勾股定理可得答案；（2）连接，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论（1）解：如图，连接， ，过圆心， 由勾股定理得， 即：；（2）证明：如图，连接， ， ， ， ， ，【举一反三】【变式1】（2023上江苏无锡九年级统考期中）已知是的外接圆，那么点
12、O一定是的（）A三个顶角的角平分线交点B三边高的交点C三边中线交点D三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键解：已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点，故选：D【变式2】（2023上吉林白城九年级校联考阶段练习）梦溪笔谈是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会四术”如图，是以点为圆心，为半径的圆弧，是AB的中点“会圆术”给出的长的近似值计算公式：当时，的值为 【答案】【分析】本题考查圆中的垂径定理，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求的长度连接，根据是以为圆心，为半径的圆
13、弧，是的中点，知共线，由，知是等边三角形，得，即得，故解：连接，如图：是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，共线，是等边三角形，故答案为：【考点四】圆周角圆周角定理进行证明与求值【例4】（2023上河北唐山九年级统考期中）如图，在中，直径弦于，于，交于，连接（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见分析；（2）【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理；（1）根据等角的余角相等得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，等量代换可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可得证；（2）连接，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解解：（1）证明：，又，又，；（2）解：连接，如图所示，在中，【举一反
14、三】【变式1】（2023上河北石家庄九年级石家庄市第二十五中学校考期中）如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E若，则阴影部分面积为（）ABCD【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积，连接、，根据，得出，得出，根据即可求得解：连接、，是直径，的度数为，故选：B【变式2】（2023上广西南宁九年级广西大学附属中学校考阶段练习）如图，圆内接四边形中，连接，则的度数是 【答案】【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理熟练掌握圆周角定理是解题的关键由题意知，则，进而可求，根据，计算求解即可解：由题意知，故答案为：【考点五】直线与
15、圆的位置关系切线性质与判定的理解及综合【例5】（2022上河北石家庄九年级校考期末）如图内接于，是的直径，点是延长线上一点，且，（1）求证：是的切线；（2）求的直径；（3）当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 【答案】（1）见分析；（2）6；（3）【分析】（1）分别求出，即可得，从而证明是的切线；（2）由（1）可知，则，即可求圆的直径是6；（3）设的内切圆圆心为，连接，根据内心的性质可得，因此可知点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，作的外接圆，连接、，再由，可知点在圆上，连接，可得是等边三角形，则，当点与点重合时，所以内心的运动路线长（1）解：证明：连接，是圆的直径，是等边三角形，点
16、在圆上，是的切线；（2）由（1）可知，圆的直径是6；（3）设的内切圆圆心为，连接，是的平分线，是的平分线，由（2）可知，点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，作的外接圆，连接、，点在圆上，连接，是等边三角形，当点与点重合时，内心的运动路线长，故答案为：【点拨】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，切线的判定及性质，三角形内切圆的性质，四点共圆的判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，圆的弧长公式是解题的关键【举一反三】【变式1】（2023上山东聊城九年级统考期中）如图，为半圆的直径，分别切于，两点，切于点，连接，下结论错误的是（）ABCD【答案】D【分析】此题考查了圆的切线的性质、
17、切线长定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形的面积计算等知识与方法，连接，由分别切于两点，切于点，根据切线长定理得 ，则 ，可判断 正确；由是的直径得，则，于是有 ，由切线长定理 得，则 ，因此 ，可判断正确；根据“”可分别证明，则 ，可判断正确； 先由， ，证明，根据相似三角形的对应边成比例得到，故错误；正确作出所需要的辅助线是解题的关键解：如图，连接， 分别切于两点，切于点，故正确；是的直径， ， ， ，故正确；是的半径，在和中，在和中， ， ， 故正确；， ，故错误；故选：【变式2】（2023上四川德阳九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半
18、圆的半径，直线的解析式为若直线与半圆有交点，则的取值范围是 【答案】【分析】此题考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法，若直线与半圆有交点，则直线和半圆相切于点开始到直线过点结束（不包括直线过点），当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的的锐角是，从而求得，即可得出点的坐标，进一步得出t的值；当直线过点时，直线根据待定系数法求得的值，进而即可求解解：若直线与半圆有交点，则直线和半圆相切于点开始到直线过点结束，当直线和半圆相切于点时，直线与轴所形成的锐角是，又半圆的半径，代入解析式，得，当直线过点时，把代入直线解析式，得，即当，直线和半圆有交点【考点
19、六】三角形的内切圆求值与证明【例6】（2023上湖北武汉九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，点是的内心，的延长线交于点，连（1）求证：；（2）若，求的长 【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】（1）连接，运用内切圆的性质及三角形外角的性质问题即可解决（2）连接，过点作交的延长线于点，证明，都是等腰直角三角形，得到；由勾股定理即可求得，；再利用即可即可解决问题（1）解：如图，连接；点是的内心，；，；，（2）连接，过点作交的延长线于点，是直径，平分，都是等腰直角三角形，；，是的直径，由勾股定理得：；，又，【点拨】该题在考查三角形的内切圆及其性质的应用的同时，还渗透了对等腰三角形的判定
20、、勾股定理、全等三角形的判定及其应用等几何知识点【举一反三】【变式1】（2023上山东日照九年级统考期中）如图，四边形内接于，点是的内心，点在的延长线上，则的度数为（）ABCD【答案】C【分析】由点是的内心知、，从而求得，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案解：点是的内心，、，四边形内接于，,，故选：C【点拨】本题主要考查三角形的内切圆与内心，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理以及邻补角，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质【变式2】（2023上江苏无锡九年级统考期中）如图，P为的内心，经过点P的线段分别与相交于点D、点E若，则点P到的距离为 【答案】【分析】本题考
21、查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，角平分线的性质，连接，过P作于H，于G，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论解：连接，过P作于H，于G，P为的内心，平分，平分，点P到的距离为，故答案为：【考点七】正多边形与圆【例7】（2023上福建厦门九年级厦门市松柏中学校考期中）如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边若，（1）弧的长为 ；（2）连接，则与的面积比为 【答案】 /【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，弧长的计算，三角形的面积，关键是掌握圆内接正多边形的性质（1）设圆的圆心是，连接，根据是圆内接正六边形的一边，算出的度数，得出圆的半径为2，
22、根据 是圆内接正方形的一边，算出的度数，即可求解；（2）设半径是，作交延长线于，根据解三角形算出根据垂径定理求出根据角平分线的性质得出根据即可求解；解：（1）设圆的圆心是，连接， 是圆内接正六边形的一边，的度数，是等边三角形，该圆的半径为2；是圆内接正方形的一边，的度数，的长；（2）设半径是，作交延长线于，由（1）解得的度数，是圆内接正三边形的一边，的度数，的度数，的度数，平分平分【举一反三】【变式1】（2023上黑龙江齐齐哈尔九年级统考期中）如图，正五边形内接于，连接，则为（）ABCD【答案】C【分析】由题意知，正五边形的内角为，则，然后计算求解，即可解：由题意知，正五边形的内角为，故选：C
23、【点拨】本题考查了正多边形的内角，正多边形和圆的综合解题的关键在于熟练掌握，正边形的内角为【变式2】（2023上北京海淀九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标 .【答案】【分析】作、的垂直平分线交于点，即为内切圆圆心，连接，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定，即可求解解：如图所示，作、的垂直平分线交于点，即为内切圆圆心，连接，正六边形的边长是，为等边三角形，点的坐标为，故答案为：【点拨】本题主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关
24、键【考点八】弧长与扇形面积【例8】（2023湖南永州校考一模）如图，是直径，弦垂直于，交于点，连接， （1）求半径；（2）的弧长；（3）求阴影面积【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据圆周角定理得，根据垂径定理得，即可求出半径；（2）根据弧长公式求的长度即可；（3）连接，阴影面积为扇形的面积（1）解：，是直径，弦垂直于，在中，半径为；（2），的长为：，的弧长为；（3）如图，连接，阴影部分的面积等于扇形的面积，扇形的面积为：，阴影面积为【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理及垂径定理的推论，锐角三角函数，弧长公式以及扇形面积等知识熟练应用垂径定理及推论，弧长和扇形面积公式是解题关键【举一
25、反三】【变式1】（2023上山西吕梁九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，是弦，在直径上截取，延长交于点E若，则的长为（）ABCD【答案】A【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质及弧长的计算，连接，由等腰三角形的性质得，进而可得，即为等腰直角三角形，进而求得，再利用弧长公式求解是解决问题的关键解：连接，又，即为等腰直角三角形，则，的长为，故选：A【变式2】（2023广西南宁统考二模）如图，已知扇形的面积是，它所在圆的直径是72 cm，则这个扇形的弧长是 cm【答案】20【分析】根据扇形的面积，即可求出弧长解：扇形的面积是，它所在圆的直径是72 cm，解得：，故答案为：20【点拨】本题考查了扇形的面积和弧长的关系，解题的关键是熟练掌握扇形的面积
