1、广东省广州市华南师大附中2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得，所以，故选A.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为满足函数只有，但是单调递增的函数只有，所以应选答案C。3.函数的最小正周期是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简可得，再利用公式求最小正周期【详解】，故最小正周期为，选B【点睛】本题考查三角函数
2、最小正周期的求法，是基础题4.设为等差数列的前项和若，则的公差为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式和题设条件，求得，进而求解数列的公差，得到答案。【详解】依题意，可得，解得，又，所以，所以公差，故选A。【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。5.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由题意得，
3、命题甲的解集是实数集，则，所以命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.考点：必要不充分条件的判定.6.已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以应选答案A。7.已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】两个非零向量，满足，两边平方，展开即可得到结论。【详解】两个非零向量，满足 ，展开得到故选：B【点睛】本题考查向量的模和数量积的运算，属于基础题。8.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的渐进线方程，可得到值，再由
4、的关系和离心率公式，即可得到答案。【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以 ，所以双曲线的离心率为故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，9.圆上到直线的距离为的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】试题分析：圆方程变形得：，即圆心，半径，圆心到直线的距离，所以，则到圆上到直线的距离为的点得到个数为个，故选B考点：直线与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中圆的标准方程及圆心坐标、半径，点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分
5、析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离是解答的关键，试题比较基础，属于基础题10.如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（） A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，考点：程序框图、茎叶图【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查由程序
6、运行过程看，两个判断框执行的判断为求个成绩中成绩不小于和成绩不小于且小于的个数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个11.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，对事件“”，如图（1）阴影部分，对事件“”，如图（2）阴影部分，对为事件“”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得（1） （2） （3）考点：几何概型12.已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数m（）A. 有最小值B. 有最小值C. 有
7、最大值D. 有最大值【答案】D【解析】试题分析：，所以，又，所以，当时，因此在上递增，所以，从而在上是增函数，的最小值为，最大值为，因此由在区间上,不等式恒成立得，解得或，所以最大值为故选D考点：导数的几何意义，导数与单调性、最值【名师点睛】本题是一道综合题，解题要求对所涉及的知识都能正确理解运用首先考查导数的几何意义，通过导数求函数图象的切线方程知识点求出参数值，不等式恒成立，转化为求函数的最值，从而解相应不等式得出结论，这里求的最值时，要确定单调性，也即要确定导数的正负，对导数的正负不易确定时，可对它再一次求导，由的正负，确定的单调性，从而确定正负，是我们常用的方法二、填空题（本大题共5小
8、题，共22.0分）13.若关于的二项式的展开式中一次项的系数是，则_【答案】【解析】【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为1，即可得到实数的值。【详解】展开式通项公式为，由，得，所以一次项的系数为，得，故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，熟练掌握二项式展开式的通项公式是关键，属于基础题。14._【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简，再结合两角和的正弦公式化简，即可得到答案。【详解】 故答案为：【点睛】本题考查诱导公式以及两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值的知识，属于基础题。15.如图，用、三类不同的元件连接成一个系统当正常工作且、至少有一个正常工作时
9、，系统正常工作，已知、正常工作的概率依次为、，则系统正常工作的概率为_【答案】【解析】【分析】首先记、正常工作分别为事件、；，易得当正常工作与、至少有一个正常工作为互相独立事件，而“、至少有一个正常工作”与“、都不正确工作”为对立事件，易得、至少有一个正常工作概率，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案。【详解】解：根据题意，记、正常工作分别为事件、；则；、至少有一个正常工作的概率为；则系统正常工作的概率为；故答案为：【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系，理解掌握乘法原理是解决本题的知识保证，本题属于中档题。16.已知从点出
10、发的三条射线、两两成角，且分别与球相切于、三点，若球的体积为，则、两点间的距离是_【答案】【解析】【分析】连接交平面于，由题意可得，再由相似三角形的相似比化简即可得到，根据球的体积公式可得半径，由此得到、两点间的距离。【详解】连接交平面于，由题意可得：平面，和为正三角形， ，又球的体积为，半径，则故答案为：【点睛】本题考查空间中两点间的距离，解决此类问题的关键是掌握几何体的结构特征，考查学生的计算能力，属于中档题。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图所示，在平面四边形中，与为其对角线，已知，且（1）若平分，且，求的长；（2）若，求的长【
11、答案】（1）（2）5【解析】分析】（1）由对角线平分，求得，进而得到，在中，利用余弦定理，即可求得的长.（2）根据三角恒等变换的公式，求得，再在中，由正弦定理，即可求解。【详解】（1）若对角线平分，即，在中，由余弦定理可得：，解得，或（舍去），的长为.（2），又， ，在中，由正弦定理，可得，即的长为5.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时
12、，运用余弦定理求解.18.已知数列中，设（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项的和【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：由条件得即可证明数列是等比数列(2)由(1)得代入求得 利用裂项求和求出数列的前项的和解析：（1）证明：因为，所以 ，又因为， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知，因为，所以 ，所以.19.为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况，某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查，问卷共道题，每题分，总分分，该课外活动小组随机抽取了名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按，分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不
13、低于分的称为类学生，低于分的称为类学生（1）根据已知条件完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否为类学生有关系？类类合计男女合计（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次，记被抽取的人中类学生的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，其的分布列、期望和方差参考公式：，其中参考临界值：【答案】(1)列联表见解析; 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与类学生有关. (2)分布列见解析;.【解析】分析：（1）由频率分布直方图可得分数在和之间的学生人数，得出的列联表，利用公式，求解的观测值，即可作出判断（2）易知从该校高一学生中随机抽取
14、1人，则该学生为“类”的概率为，进而得到，利用二项分布求得分布列，计算其数学期望详解：（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为：类类合计男8030110女405090合计12080200又的观测值为 ，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与类学生有关.（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该学生为“类”的概率为.依题意知，所以 ，所以的分布列为0123所以期望，方差.点睛：本题主要考查独立性检验的应用和二项分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望，其中任何审题，准去判断，得到的二项分布，利用二项分布
15、的概率公式，求得概率，得到分布列和求得数学期望是解答关键，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.20.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，为的中点，为的中点，点在线段上，且（1）求证：平面；（2）若平面底面ABCD，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）（法一）如图，设中点为，连接，则有，利用线面平行的判定定理，证得平面，进而证得平面，从而证得平面平面，即可求得平面.（法二）连接、，则有，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】
16、解：（1）证明：（法一）如图，设中点为，连接，则有，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，又，平面平面，平面.（法二）如图，设中点为，为线段上一点，且.连接、，则有，且，即为平行四边形，平面，平面，平面.（2）平面底面，且，底面，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，取，可得，又易知平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和平面与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理
17、。同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，且点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，是椭圆上异于，的任意一点，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点，求证：，三点在同一条直线上【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）（法一）由题意，求得椭圆焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（法二）设椭圆的方程为（），列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。（2）设，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即
18、可证得三点共线。【详解】（1）（法一）设椭圆的方程为，一个焦点坐标为，另一个焦点坐标为，由椭圆定义可知，椭圆的方程为.（法二）不妨设椭圆的方程为（），一个焦点坐标为，又点在椭圆上，联立方程，解得，椭圆的方程为.（2）设，直线的方程为，由方程组消去，并整理得：，直线的方程可表示为，将此方程与直线联立，可求得点坐标为， ，所以，又向量和有公共点，故，三点在同一条直线上.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，
19、能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。22.已知（1）求函数的极值；（2）设，对于任意，总有成立，求实数的取值范围【答案】(1) 的极小值为：，极大值为： (2) 【解析】试题分析:(1)先求函数的定义域,然后对函数求导,利用导数求得函数的单调区间,进而求得极值.(2)由(1)得到函数的最大值为,则只需.求出函数的导数,对分成两类,讨论函数的单调区间和最小值,由此求得的取值范围.试题解析: (1)所以的极小值为：，极大值为：； (2) 由(1)可知当时，函数的最大值为对于任意，总有成立，等价于恒成立， 时，因为，所以，即在上单调递增，恒成立，符合题意. 当时，设，所以在上单调递增，且，则存在，使得所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以不恒成立，不合题意. 综合可知，所求实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查利用导数求解恒成立问题. 求极值的步骤： 先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）； 分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.
