1、专题24 最值模型之将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使
2、PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A是A关于直线m的对称点。例1（2023黑龙江绥化统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点连接，将绕点顺时针旋转得到连接，则周长的最小值是 例2（2023广东广州校考一模）如图，在C中，的面积为，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（）ABC2D例3（2023广东广州统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，则的最小值为 例4（2022内蒙古赤峰统考中考真题）如图，菱形，点、均在坐标轴上，点，点是的中点，点是上的一动点，则的
3、最小值是（）A3B5CD例5（2023辽宁盘锦统考中考真题）如图，四边形是矩形，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接点M，N分别是的中点，连接，点E在边上，则的最小值是（） AB3CD例6（2023山东济宁九年级校考期末）如图，是的直径，点C、D是上的点且，分别与、相交于点E，F若的半径为5，点P是线段上任意一点，则的最小值是 例7（2023湖北黄冈统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，且，则的最小值是_例8（2023山东枣庄统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接M
4、H，DH，求的最小值；模型2. 求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短。例1（2023陕西西安九年级校考阶段练习）【问题提出】(1)如图1，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点
5、，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，后的形状是等腰直角三角形理由如下：点P关于边、的对称点分别为，即周长的的最小值为，是等腰直角三角形学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，顺次连接O，则的形状是_三角形(2)【问题探究】如图2，在中，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由例2（2023下四川达州
6、八年级校考期末）如图，点M、N分别在射线上，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 例3（2022山东泰安中考真题）如图，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（）ABCD例4（2023春湖北黄石八年级统考期中）如图，在矩形中，、分别是和上的两个动点，为的中点，则（1）的最小值是_；（2）若，则的最小值为_模型3.求两条线段差最大值【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧： 延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，PA-PBAB，而PA-PB=AB
7、此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧： 过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB【最值原理】三角形两边之差小于第三边。例1（2023陕西西安校考模拟预测）如图，在菱形中，对角线交于点，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为_例2（2023春湖南永州八年级统考期中）如图，在矩形中，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为_，的最小值为_例3（2022河南南阳一模）如图，已知ABC为等腰直角三角形，ACBC6，BCD15，P为直线CD上的动点，则|PAPB|的最大值为_例4（202
8、2湖北武汉八年级期末）如图，为上一动点，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 _ 课后专项训练1（2022四川资阳中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点若，则的最小值是()ABCD2（2022山东菏泽统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，M是对角线BD上的一个动点，则的最小值为（）A1BCD23（2023安徽统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点若，则下列结论错误的是（）A的最小值为B的最小值为C周长的最小值为6D四边形面积的最小值为4（2023广东深圳校联考模拟预测）如图，点是正方形内部一个动点，且，则的最小值为（
9、）ABCD5（2023春福建厦门八年级校联考期中）如图，在ABCD中，AB2，BC4，D60，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（）A4B3C2D46（2023安徽合肥二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（）A10B10C5D57（2023四川广元一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（）ABC
10、D8（2022江苏九年级月考）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（）A160B150C140D1309（2023上山东菏泽八年级统考期中）如图，中，是的垂直平分线，分别交，于点E，F，点D是边的中点，点M是线段上一动点，则的最小值为（）A6B7C8D910（2023上江苏连云港九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，点在上，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 11（2023下四川达州八年级校考期末）如图，在的同侧，点为的中点，若，则的最大值是 12（2023上山东德州八年级校考期中）如图，在中，是的平分线若P，Q分别是和上
11、的动点，则的最小值是 13（2022重庆大渡口九年级期中）如图，ACB90，BCAC4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，将沿BC翻折至同一平面得到，连接若取得最大值时，则_14（2023秋江苏盐城九年级统考期末）中，点P为高上的一个动点，连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P与垂直的直线于点Q，连接，则周长的最小值是_15（2023山东日照校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是_16（2023湖北武汉校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点
12、，则的最小值是_17（2022四川眉山中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，若，则的最小值为_18（2022黑龙江统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是_19（2022贵州铜仁中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将CDE沿CE翻折得CME，点M落在四边形ABCE内点N为线段CE上的动点，过点N作NP/EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为_20（2022广西贺州中考真题）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线
13、段DG上的一个动点，则的周长最小值为_21（2023江西南昌九年级校联考阶段练习）如图，已知点，在抛物线上（1）求抛物线解析式；（2）在直线上方的抛物线上求一点，使的面积为；（3）若点是抛物线对称轴上一动点，当的值最大时，求点的坐标；22（2023广东深圳九年级校考开学考试）已知，如图，函数y，的图象交于点A、B(1)直接写出A、B两点的坐标：A ，B ；(2)观察图象，直接写出不等式的解集： ；(3)点P是坐标轴上的动点，当取得最小值时，求点P的坐标23（2022江苏连云港中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、分别在
14、线段、上运动，求的最小值24（2022海南中考真题）如图1，矩形中，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E(1)当点P是的中点时，求证：；(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F证明，并求出在（1）条件下的值；连接，求周长的最小值；如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由25（2023上广西桂林八年级校联考期中）数学模型学习与应用：白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河古从军行唐李欣模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P此时的值最小模型应用：（1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）则的最小值为 模型变式：（2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值
