1、1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性函数的奇偶性及周期性理 要 点一、函数的奇偶性奇偶性 定 义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数 关于对称 f(x)f(x)f(x)f(x)y轴原点二、周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的
2、周期f(x)2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期存在一个最小最小正数究 疑 点1奇偶函数的定义域有何特点？2若f(x)是偶函数且在x0处有定义，是否有f(x)0？奇函数呢？提示：若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性提示：不一定，如f(x)x21是偶函数，而f(0)1；奇函数一定在x0处有定义，一定有f(0)0.3若T为yf(x)的一个周期，那么nT(nZ)是函数f(x)的周期吗？提示：不一定，由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当nZ且n0时，nT是f(x)的一个周
3、期题组自测1函数 f(x)1xx 的图象关于()Ay 轴对称 B直线 yx 对称C坐标原点对称D直线 yx 对称解析：f(x)1xx 是奇函数，所以图象关于原点对称答案：C2(2010广东高考)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：由f(x)3x3xf(x)可知f(x)为偶函数，由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)为奇函数答案：B3讨论下列函数的奇偶性：(1)f(x)|x|(x21)；(2)f(x)(x1)1x1x；(3
4、)f(x)x22x1x0，x22x1x0；(4)f(x)4x2|x3|3.解：(1)此函数的定义域为 R.f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)，f(x)f(x)，即 f(x)是偶函数(2)定义域要求1x1x0 且 x1，10，gxx0，f(x)是奇函数(4)4x20，|x3|32x2 且 x0，函数定义域关于原点对称f(x)4x2x33 4x2x，又 f(x)4x2x 4x2x，f(x)f(x)，即函数是奇函数归纳领悟利用定义判断函数奇偶性的方法：(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的必要条件(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(
5、x)，或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.题组自测1已知函数f(x)ax4bcosxx，且f(3)7，则f(3)的值为()A1 B7C4 D10答案：A解析：设g(x)ax4bcosx，则g(x)f(x)x.由f(3)g(3)3，得g(3)f(3)34，所以g(3)g(3)4，所以f(3)g(3)3431.2已知函数f(x)在5,5上是偶函数，f(x)在0,5上是单调函数，且f(3)f(1)，则下列不等式一定成立的是()Af(1
6、)f(3)Bf(2)f(3)Cf(3)f(1)解析：函数f(x)在5,5上是偶函数，因此f(x)f(|x|)，于是f(3)f(3)，f(1)f(1)，则f(3)0 时，f(x)1x，则当 x0 时，f(x)1x，当 x0，f(x)1x，又 f(x)f(x)，f(x)f(x)1x，当 xg(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)归纳领悟函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字
7、母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反题组自测1已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x 2)f(2)的 x 的取值范围是()A(，0)B(0，2)C(0,2 2)D(2，)解析：偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，由对称性知其在(，0)上单调递减，因此应用|2x 2|2，解得 x(0，2)答案：B2(2010海南三亚模拟)已知函数yf(x)是偶函数，yf(x2)在0,2上单调递减，则()Af(0)f(1)f(2)Bf(1)f(0)f(2)Cf(1)f(2)
8、f(0)Df(2)f(1)f(0)解析：由f(x2)在0,2上单调递减，f(x)在2,0上单调递减yf(x)是偶函数，f(x)在0,2上单调递增又f(1)f(1)，f(0)f(1)f(2)答案：A3已知 f(x)xax2bx1是奇函数(1)求 a，b 的值；(2)求 f(x)的单调区间，并加以证明解：(1)由题可知：f(x)f(x)0 恒成立，即xax2bx1xax2bx10 恒成立，即 2(ab)x22a0 对任意的实数 x 恒成立ab0.(2)由(1)得 f(x)xx21(xR)是奇函数，只需研究(0，)上 f(x)的单调区间即可任取 x1，x2(0，)，且 x10，x2210，x2x10
9、，而 x1，x20,1时，x1x210，当 x1，x20,1时，f(x1)f(x2)0，函数 yf(x)在1，)上单调递减又 f(x)是奇函数，f(x)在1,0上单调递增，在(，1上单调递减又 x0,1，u1,0时，恒有 f(x)f(u)，等号只在 xu0 时取到，故 f(x)在1,1上单调递增在题条件下，求f(x)(x0)的最值解：由(2)知函数 f(x)在(0,1)上递增，在1，)上递减，则 f(x)在 x1 处可取得最大值f(1)12，函数 f(x)的最大值为12，无最小值归纳领悟1因为奇函数的图象关于原点对称，所以结合图象可得奇函数在(a，b)与(b，a)上的单调性相同因为偶函数的图象
10、关于y轴对称，所以偶函数在(a，b)与(b，a)上的单调性相反2对于抽象函数不等式，往往通过函数的奇偶性将其转化为f(x1)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2解析：当 x0，f(x)(x)38x38，又 f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38，f(x)x38，x0 x38，x0.f(x2)x238，x0 x238，x0 或x0，解得 x4 或 x0.答案：B解析：含g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.答案：13(2010江苏高考)设函数f(x)x(exaex)
11、(xR)是偶函数，则实数a的值为_4(2010重庆高考)已知函数 f(x)满足：f(1)14，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则 f(2 010)_.解析：依题意得 4f(1)f(0)f(1)f(1)，f(0)2f(1)12；f(n1)f(n1)4f(n)f(1)f(n)，所以 f(n1)f(n)f(n1)，记 anf(n)(其中 nN*)，则有 an1anan1(n2)，an2an1anan1，an3an2an1an，an6an3an，故数列an的项以 6 为周期重复出现注意到 2 0106335，因此有 a2 010a6 f(0)12，即 f(2 010)12.答案：12点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测”
