1、第2课时圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质1.已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F1,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,O为坐标原点,若点D是线段PF1的中点,则F1OD的周长为()A.6B.5C.12D.10解析: 椭圆方程为x29+y25=1,则a=3,b=5,c=2.如右图,设右焦点为F2,连接PF2.由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6.在PF1F2中,D,O分别是PF1,F1F2的中点,故|OD|=12|PF2|,所以F1OD的周长为|F1D|+|DO|+|F1O|=12(|PF1|+|PF2|)+c=3+2=5.答案:B2.(2015湖南高考)若双曲线x2a2-y2b2=
2、1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53解析:双曲线的渐近线方程为y=bax,且过点(3,-4),-4=-ba3,ba=43.离心率e=1+ba2=1+432=53,故选D.答案:D3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点P是C上一点,O为坐标原点,若POF的面积为2,则|PF|=()A.52B.3C.72D.4解析:由已知得F(2,0),设P(x0,y0),则122|y0|=2,所以|y0|=2,于是x0=12,故|PF|=x0+p2=52.答案:A4.(2016全国丙高考)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左
3、焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析:由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P-c,b2a,设l:x=my-a,M-c,a-cm,E0,am.直线BM:y=-a-cm(a+c)(x-a).又直线BM经过OE的中点,(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c.e=ca=13,故选A.答案:A5.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、
4、右两支于点B,C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近线方程为()A.y=(3+1)xB.y=3xC.y=(3-1)xD.y=x解析:因为过点F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B,C,且|BC|=|CF2|,所以|BF1|=2a.不妨设切点为T,B(x,y),y0,则利用三角形相似可得ya=c+xb=2ac,所以x=2ab-c2c,y=2a2c,所以B2ab-c2c,2a2c,代入双曲线方程,化简可得b=(3+1)a,所以双曲线的渐近线方程为y=(3+1)x.答案:A6.已知抛物线y=ax2的准线方程为y=-12,则实数a=.解析:抛物线方程化为x2=1ay,依题意有
5、14a=12,所以a=12.答案:127.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|PF2|=4,则双曲线的离心率的最大值为.解析:由已知得|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a,所以|PF2|=2a3c-a,所以5a3c,即e=ca1,53,故离心率e的最大值为53.答案:538.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为.解析:点(-2,-1)在抛物线的准线上,可得p=4,于是双曲线的
6、左顶点为(-2,0),即a=2,点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,则得双曲线的渐近线方程为y=12x.由双曲线的性质,可得b=1,所以c=5,则焦距为2c=25.答案:259.导学号01844057已知双曲线C的一个焦点与抛物线C1:y2=-16x的焦点重合,且其离心率为2.(1)求双曲线C的方程;(2)求双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线所围成三角形的面积.解(1)抛物线C1:y2=-16x的焦点坐标为(-4,0),因此可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则依题意有c=4,ca=2,解得a2=4,b2=12.故双曲线C的方程为x24-y212=1.(2)抛物线C1的准线方
7、程为x=4,双曲线C的渐近线方程为y=3x,于是双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线的两个交点为(4,43),(4,-43),所围成三角形的面积S=12834=163.10.导学号01844058已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,右焦点是F,过点F作直线与长轴垂直,与椭圆交于P,Q两点.(1)若PBF=60,求椭圆的离心率;(2)求证:APB一定为钝角.(1)解不妨设点P在第一象限,则P点的横坐标为c,由于点P在椭圆上,故可求得点P的纵坐标为b2a,即Pc,b2a.于是在RtBFP中,tanPBF=|PF|FB|=b2aa-c=a+ca=1+e=tan 60=3,所以e=3-1.(2)证明因为Pc,b2a,A(-a,0),B(a,0),所以PA=-a-c,-b2a,PB=a-c,-b2a,则PAPB=c2-a2+b4a2=b4a2-b2=b4-a2b2a2=-b2c2a20,因此向量PA与PB的夹角是钝角,即APB一定为钝角.
