1、第三课时导数的综合应用时间：45分钟分值：100分 一、选择题1(2015宜昌模拟)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)lnxax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B.C. D1解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0.f(x)maxflna11，解得a1.答案D2已知函数f(x)x3x2x，则f(a2)与f(1)的大小关系为()Af(a2)f(1)Bf(a2)f(1)Cf(a2)f(1)Df(a2)与f(1)的大小关系不确定解析由题意可得f(x)x22x，令f(x)(3x7)(x1)0
2、，得x1或x，当x0，f(x)为增函数；当1x时，f(x)0，f(x)为减函数所以f(1)是函数f(x)在(，0上的最大值，又因为a20，所以f(a2)f(1)答案A3若直线ym与y3xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为()A2m2 B2m2Cm2 Dm2或m2解析y3(1x)(1x)，由y0，得x1，y极大2，y极小2，2m0时有0，则不等式xf(x)0的解集为()Ax|1x1或1x0 Dx|1x0时有0，即0，在(0，)上单调递增f(x)为R上的偶函数，xf(x)为R上的奇函数xf(x)0，x20.0.在(0，)上单调递增，且0，当x0时，若xf(x)0，则x1.又xf(x)
3、为R上的奇函数，当x0，则1x1或1x0答案B6(2014东北三省联考)已知f(x)为定义在(，)上的可导函数，且f(x)e2f(0)，f(2 010)e2 010f(0)Bf(2)e2 010f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2 010)e2 010f(0)Df(2)e2f(0)，f(2 010)e2 010f(0)解析设g(x)，则g(x)，又f(x)0.所以g(x)在R上单调递增g(2)g(0)，即.f(2)e2f(0)又g(2 010)g(0)，f(2 010)e2 010f(0)，选A.答案A二、填空题7已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.解析设f(x)x33x
4、c，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1.易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若f(1)13c0，可得c2.若f(1)13c0，可得c2.答案2或28若f(x)xsinxcosx，则f(3)，f，f(2)的大小关系为_解析由f(x)f(x)知，函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sinxxcosxsinxxcosx，当x时，f(x)0，x时，f(x)f(2)f(3)f(3)答案f(3)f(2)0，即x(0,1时，f(x)kx33x10可化为k.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减因此g(x)
5、maxg4，从而k4；当x0即x1,0)时，f(x)kx33x10可化为k.g(x)在区间1,0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而k4，综上k4.答案4三、解答题10某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解(1)设uk2，售价为10元时，年销量为28万件，28k2，解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y1时，判断f(x)
6、在0,2m上零点的个数，并说明理由解(1)依题意，可知f(x)在R上连续，且f(x)exm1，令f(x)0，得xm，故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增故当xm时，f(m)为极小值也是最小值令f(m)1m0，得m1.即对任意xR，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1(2)当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)ln2(nN*)解(1)对f(x)求导，得f(x)m(x1)当m0时，f(x)0恒成立，则f(x)为(1，)上的增函数，所以f(x)没有极值
7、当m0时，由f(x)0，得1x1；由f(x)1.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减故当x1时，f(x)有极大值fm1lnm，但无极小值(2)证明：取m1，由(1)知f(x)ln(1x)x在(0，)上单调递减，所以f(x)f(0)0.即ln(1x)0)令x(k0)，得ln(1)，即lnlnlnlnlnln2.即ln2(nN*)成立2(2014北京卷)已知函数f(x)xcosxsinx，x.(1)求证：f(x)0；(2)若ab对x恒成立，求a的最大值与b的最小值解(1)证明：由f(x)xcosxsinx得f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因为在区间上f(x)xsinx0时，“a”等价于“sinxax0”；“b”等价于“sinxbx0对任意x恒成立当c1时，因为对任意x，g(x)cosxc0，所以g(x)在区间上单调递减从而g(x)g(0)0对任意x恒成立当0cg(0)0.进一步，“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0，即00对任意x恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意x恒成立所以，若ab对任意x恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.
