1、专题22 相似三角形 【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直角三角形的
2、应用相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。特征：对应角相等，对应边成比例。比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或abcd)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段比例线段的性质(1)基本性质：adbc；(2)合比性质：；(3)等比性质：若(bdn0)，那么.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比【考点总结】二、相似三角形相似三
3、角形定义各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线
4、型2相交线型3子母型4旋转型【类型】一、平行线型1如图，在ABC中，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EDBC交AB于点D.(1)求证：AEBCBDAC；(2)如果SADE3，SBDE2，DE6，求BC的长【类型】二、相交线型2如图，点D，E分别为ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且，试问ADE与ABC相似吗？请说明理由【类型】三、子母型3如图，在ABC中，BAC90，ADBC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：.【类型】四、旋转型4如图，已知DABEAC，ADEABC.求证：(1)ADEABC；(2).技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧
5、连线段的中点构造相似三角形1如图，在ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BPPQQD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2如图，在ABC中，ACBC，F为底边AB上一点，BFAF32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求的值【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3如图，在ABC中，ABAC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：.【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4如图，在ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AEAB，连接EM并延长交BC的延长线
6、于点D.求证：BC2CD.技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1如图，在ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AECFBFEC.2如图，已知ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且ADCE，DE交AC于点F，求证：ABDFBCEF.【类型】二、三点定型法3如图，在ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：.4如图，在ABC中，BAC90，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2MDME.【类型】三、构造相似三角形法5如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分
7、别交AB，AC于点M，N.求证：BPCPBMCN.【类型】四、等比过渡法6如图，在ABC中，ABAC，DEBC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDFABE.求证：(1)DEFBDE；(2)DGDFDBEF.7如图，CE是RtABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BGAP于点G，交CE于点D.求证：CE2DEPE.【类型】五、两次相似法8如图，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：.9如图，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分别为M，N.求证：(1)AMBAND；(2).【类型】六、等积代换法10如图，在ABC中，
8、ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：.【类型】七、等线段代换法11如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，ADBC于点D，点P是AD上一点，CFAB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2PEPF.12如图，已知AD平分BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2PBPC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在ABC中，DEAB，且，则的值为（）ABCD【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在中，则的长为（）A6B7C8D9【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）ABCD【题型
9、】四、相似三角形的性质例4、如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，则（ ）A30B25C225D20【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得ABBC，CDBC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示若测得BE90 m，EC45 m，CD60 m，则这条河的宽AB等于( )A120 mB67.5 mC40 mD30 m【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心已知OAOD=12，则ABC与DEF的面积比为（）A12B13C14D15【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例
10、7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm则投影三角板的对应边长为（）A20cmB10cmC8cmD3.2cm相似三角形（达标训练）一、单选题1如图，已知，则与的周长之比为（）ABCD2如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（）A个B个C个D个3在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则ADE与ABC的面积之比为（）ABCD4如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定ABC与DBA相似的是（）ABCD5已知，和是它们的对应角平分线，若，则与的面积比是（）A：B：C：D；二、填空题6如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆
11、BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB3m，AC10m，则建筑物CD的高是_m7如图所示，要使，需要添加一个条件_（填写一个正确的即可）三、解答题8如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3(1)求证：ADEABC；(2)若DE=4，求BC的长相似三角形（提升测评）一、单选题1如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EFCD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（）ABCD2如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示若，则的长度为多少？（）A7B8C9D103如图，在平面直角
12、坐标系中有A，两点，其中点A的坐标是（-2，1），点的横坐标是，连接，已知，则点B的纵坐标是（）ABCD4如图，D是的边上的一点，过点D作的平行线交于点E，连接，过点D作的平行线交于点F，则下列结论错误的是（）ABCD二、填空题5如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为4m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为_m6如图，梯形中，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点如果，那么与的面积之比等于_三、解答题7如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH(1)求tanGFK的值；(2)求CH的长8如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足其中对应对应对应(1)求证：(2)若，求的值
