1、第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词学习要求:1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词与存在量
2、词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.3.全称量词命题和存在量词命题(命题p的否定记为p,读作“非p”)名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x,使p(x)成立简记xM,p(x)xM,p(x)否定xM,p(x)xM,p(x)知识拓展1.区别A是B的充分不必要条件(AB且B/A)与A的充分不必要条件是B(BA且A/B).2.A是B的充分不必要条件B是A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结
3、论”.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若已知p:x1和q:x1,则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)若a,bR,则“a2+b20”是“a,b不全为0”的充要条件.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人A必修第一册P34复习参考题1T5改编)设a,bR且ab0,则“ab1”是“a1b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D3.(新教材人A必修第一册P30例4改编)命题“x0N,x020”的否定是.答案xN,x204.(新教材人
4、A必修第一册P31习题1.5T3改编)命题“xR,x2+x+10”的否定是.答案x0R,x02+x0+105.(易错题)若命题“t0R,t02-2t0-a0”是假命题,则实数a的取值范围是.答案(-,-1解析易错原因:理解存在量词命题出现错误,写命题的否定时出错.命题“t0R,t02-2t0-a0”是假命题,等价于tR,t2-2t-a0是真命题,=4+4a0,解得a-1.全称量词命题与存在量词命题典例1(1)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:f(x)A,|f(x)|B,则p为()A.f(x)A,|f(x)|BB.f(x)A,|f(x)|BC.f(x)A,|f(x)|BD.f(x)A
5、,|f(x)|B(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若x10,3,x21,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是.答案(1)C(2)14,+解析(1)全称量词命题的否定为存在量词命题:改写量词,否定结论,p:f(x)A,|f(x)|B.(2)x10,3,x21,2,使f(x1)g(x2),f(x)ming(x)min.当x0,3时,f(x)min=f(0)=0,当x1,2时,g(x)min=g(2)=14-m,由f(x)ming(x)min,得014-m,m14.变式探究若将本例(2)中条件“x21,2”改为“x21,2”,则实数m的取值范围是.答案12,+
6、解析x10,3,x21,2,使得f(x1)g(x2),f(x)ming(x)max.当x0,3时,f(x)min=f(0)=0,当x1,2时,g(x)max=g(1)=12-m,由f(x)ming(x)max,得012-m,m12.名师点评1.否定全称量词命题或存在量词命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论.2.判定全称量词命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;判定存在量词命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立即可.3.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最
7、值求解.1.已知f(x)=x-sinx,命题p:x0,2,f(x)0,x0,2,所以函数f(x)=x-sinx在0,2上单调递增,则0=f(0)f(x)1,b1”是“lga+lgb0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020北京理,9,4分)已知,R,则“存在kZ使得=k+(-1)k”是“sin=sin”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)A(2)C解析(1)a1,b1,lga0,lgb0,lga+lgb0,即充分性成立;若lga+lgb0,则lg(ab)0,a0,b0,a
8、b1,a0,b0,即必要性不成立.故选A.(2)充分性:已知存在kZ使得=k+(-1)k,(i)若k为奇数,则k=2n+1,nZ,此时=(2n+1)-,nZ,sin=sin(2n+-)=sin(-)=sin;(ii)若k为偶数,则k=2n,nZ,此时=2n+,nZ,sin=sin(2n+)=sin.由(i)(ii)知,充分性成立.必要性:若sin=sin成立,则角与的终边重合或角与的终边关于y轴对称,即=+2m或+=2m+,mZ,即存在kZ使得=k+(-1)k,必要性也成立,故选C.名师点评充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据pq,qp进行判断;(2)集合法:根据p,q成立时对应的集合之间
9、的包含关系进行判断;(3)等价转换法:利用pq与qp,pq与qp的等价关系进行判断,对于条件或结论是否定形式的命题一般运用等价法.1.(2019北京石景山一模,6)已知平面向量a=(k,2),b=(1,k),kR,则“k=2”是“a与b同向”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2020天津理,2,5分)设aR,则“a1”是“a2a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A充分、必要条件的应用典例3设p:|4x-3|1;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取
10、值范围是()A.0,12B.0,12C.(-,0)12,+D.(-,0)12,+答案A设A=x|4x-3|1,B=x|x2-(2a+1)x+a(a+1)0.由|4x-3|1,得12x1,故A=x12x1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)0,得axa+1,故B=x|axa+1.所以p所对应的集合为RA=xx1,q所对应的集合为RB=x|xa+1.由p是q的必要不充分条件,知RBRA,所以a12,a+11或a12,a+11,解得0a12.故实数a的取值范围是0,12.名师点评根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之
11、间的关系列出关于参数的不等式(组)求解;(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.1.若关于x的不等式|x-1|a成立的充分条件是0x4,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.(-,1)C.(3,+)D.3,+)答案D2.设p:|2x+1|0);q:x-12x-10.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为.答案(0,2逻辑推理突破双变量“存在性或任意性”问题 1.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=196x-13,若对
12、任意x1-1,1,总存在x20,2,使得f(x1)+2ax1=g(x2)成立,则实数a的取值范围是.答案-2,0解析由题意知,g(x)在0,2上的值域为-13,6.令h(x)=f(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2)(x-1,1),则h(x)=6x+2,由h(x)=0得x=-13.当x-1,-13时,h(x)0,所以h(x)min=h-13=-a2-2a-13.又由题意可知,h(x)的值域是-13,6的子集,所以h(-1)6,-a2-2a-13-13,h(1)6,解得实数a的取值范围是-2,0.2.已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若x112,1,x22,3,使得f(x1)g
13、(x2),则实数a的取值范围是.答案12,+逻辑推理的关键要素:逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题的关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.已知函数f(x)=2x3x+1,x12,1,-13x+16,x0,12,函数g(x)=ksinx6-2k+2(k0),若存在x10,1,x20,1,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.解析由题意,易得函数f(x)的值域为0,1,g(x)在0,1上的值域为2-2k,2-3k2,并且两个值域有公共部分.
14、先求没有公共部分的情况,即2-2k1或2-32k0,解得0k43,所以要使两个值域有公共部分,k的取值范围是12,43.A组基础达标1.(2020北京八中高三月考)已知命题p:xR+,lnx0,那么命题p为()A.xR+,lnx0B.xR+,lnx0C.xR+,lnx0”的否定p为“xR+,lnx0”.2.下列命题中,真命题是()A.x0R,ex00B.xR,2xx2C.“a+b=0”的充要条件是“ab=-1”D.“a1,b1”是“ab1”的充分条件答案D因为y=ex0,xR恒成立,所以A不正确;因为当x=-5时,2-51,b1时,显然ab1,D正确.3.已知a,b是两条不同的直线,是平面,且
15、b,那么“a”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D由b,a,得ab或a与b异面,故充分性不成立;由b,ab,得a或a在内,故必要性不成立.故“a”是“ab”的既不充分也不必要条件,故选D.4.(2020北京西城高三一模)设a,b为非零向量,则“|a+b|=|a|+|b|”是“a与b共线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A若|a+b|=|a|+|b|,则a与b共线,且方向相同,充分性成立;当a与b共线,方向相反时,|a+b|a|+|b|,故必要性不成立.5.(2020北京昌平高三期末(
16、理)若x0,使2x+x-a0,则实数a的取值范围是()A.a1B.a1C.a0的解集”是“x|0x0,即f(|log4x|)f12,即|log4x|12,即log4x12或log4x2或0x2或0x12是x|0x12的必要不充分条件.8.设曲线C是双曲线,则“C的方程为x2-y24=1”是“C的渐近线方程为y=2x”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由C的方程为x2-y24=1,可知曲线C为焦点在x轴上的双曲线,且a=1,b=2,则C的渐近线方程为y=bax=2x,即充分性成立;若双曲线C的渐近线方程为y=2x,则双曲线C的方程为x2-
17、y24=(0),故必要性不成立.故选A.9.(2019北京丰台二模,4)已知i是虚数单位,aR,则“a=1”是“(a+i)2为纯虚数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由于(a+i)2=a2+2ai+i2=(a2-1)+2ai为纯虚数,则a2-1=0,2a0,解得a=1,所以“a=1”是“(a+i)2为纯虚数”的充分而不必要条件.故选A.10.已知不等式|x-m|1成立的充分不必要条件是13x12,则m的取值范围是.答案-12,43解析解不等式|x-m|1,得m-1xm+1.由题意可得13,12(m-1,m+1),故m-113,m+11
18、2,且等号不同时成立,解得-12m43.B组综合提升11.设p:2x-1x-10,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A.0,12B.0,12C.0,12D.12,1答案B令A=x2x-1x-10,则A=12,1.令B=x|x2-(2a+1)x+a(a+1)0,则B=(a,a+1).p是q的充分不必要条件,AB,则a12,a+11,解得0a0),则“函数f(x)的图象经过点4,1”是“函数f(x)的图象经过点2,0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A若函数f(x)的图象经过点4,1
19、,则有f4=sin4=1,从而4=2+2k(kN),解得=2+8k(kN).若函数f(x)的图象经过点2,0,则有f2=sin2=0,从而2=k(kN*),解得=2k(kN*).因为|=2+8k,kN|=2k,kN*,所以“函数f(x)的图象经过点4,1”是“函数f(x)的图象经过点2,0”的充分而不必要条件.故选A.13.(2019北京东城一模,7)南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
20、如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B14.设mR且m0,则不等式m+4m4成立的一个充分不必要条件是()A.m0B.m1C.m2D.m2答案C当m4不成立;当m0时,m+4m2m4m=4,当且仅当m=4m,即m=2时取等号.当m+4m4时,m的取值范围为(0,2)(2,+),故排除A、B、D.C选项,m2时,m+4m4成立,即充分性成立,由上述可知必要性不成立,故C选项满足题意.C组思维拓展15.给出下列四个命题:p1:对任意xR,2x0;p2:存在xR,x2+x+10;p3:对任意xR,sinxx2+x+1.其中的真命题是()A.p1,p4B.p2,p3C.p3,p4D.p1,p2答案AxR,2x0恒成立,p1是真命题.由x2+x+1=x+122+340恒成立,知p2是假命题.由sin-32=12-32,知p3是假命题.当x=-12时,cos-12cos-6=32,x2+x+1=34b,则1a0,b0即可)
