1、专题20 坐标系与参数方程1【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t（t为参数），曲线C2的参数方程为x=-2+s6y=-s（s为参数）(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos-sin=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标【答案】(1)y2=6x-2y0；(2)C3,C1的交点坐标为12,1，1,2，C3,C2的交点坐标为-12,-1，-1,-2【解析】【分析】(1)消去t，即可得到C1的普通方程；(2)将曲线C2,C3的方程化成普通方程，联立求解即解出(1)因
2、为x=2+t6，y=t，所以x=2+y26，即C1的普通方程为y2=6x-2y0(2)因为x=-2+s6,y=-s，所以6x=-2-y2，即C2的普通方程为y2=-6x-2y0，由2cos-sin=02cos-sin=0，即C3的普通方程为2x-y=0联立y2=6x-2y02x-y=0，解得：x=12y=1或x=1y=2，即交点坐标为12,1，1,2；联立y2=-6x-2y02x-y=0，解得：x=-12y=-1或x=-1y=-2，即交点坐标为-12,-1，-1,-22【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cos2ty=2sint，（t为参数），以坐标原点为极点，
3、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin+3+m=0(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围【答案】(1)3x+y+2m=0(2)-1912m52【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.(1)因为l：sin+3+m=0，所以12sin+32cos+m=0，又因为sin=y,cos=x，所以化简为12y+32x+m=0，整理得l的直角坐标方程：3x+y+2m=0(2)联立l与C的方程，即将x=3cos2t，y=2sint代入3x+y+2m=0中，可得3
4、cos2t+2sint+2m=0，所以3(1-2sin2t)+2sint+2m=0，化简为-6sin2t+2sint+3+2m=0，要使l与C有公共点，则2m=6sin2t-2sint-3有解，令sint=a，则a-1,1，令f(a)=6a2-2a-3，(-1a1)，对称轴为a=16，开口向上，所以f(a)max=f(-1)=6+2-3=5，f(a)min=f(16)=16-26-3=-196，所以-1962m5m的取值范围为-1912m52.3【2021年甲卷文科】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2
5、）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；（2）方法一：设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；（2）方法一【最优解】设，设，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，两圆内含，故曲线C与没有公共点.方法二：设点的直角坐标为，因为，所以
6、，由，即，解得，所以，代入的方程得，化简得点的轨迹方程是，表示圆心为，半径为2的圆；化为参数方程是，为参数；计算，所以圆与圆内含，没有公共点【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，方法一：利用参数方程的方法，设出的参数坐标，再利用向量关系解出求解点的参数坐标，得到参数方程. 方法二：利用代数方法，设出点的坐标，再利用向量关系将的坐标用点的坐标表示，代入曲线C的直角坐标方程，得到点的轨迹方程，最后化为参数方程.4【2021年乙卷文科】在直角坐标系中，的圆心为，半径为1（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的
7、极坐标方程【答案】（1），（为参数）；（2）和【解析】【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）（2）方法一：直角坐标系方法当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，故舍去当切线斜率存在时，设其方程为，即故，即，解得所以切线方程为或两条切线的极坐标方程分别为和即和方法二【最优解】：定义求斜率法 如图所示，过点F作的两条切线，切点分别为A，B在中，又轴，所以两条切线的斜率分别和故切线的方程为，这两条切线的极坐标方程为和即和【整体
8、点评】（2）方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.5【2020年新课标1卷理科】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）当时，是什么曲线？（2）当时，求与的公共点的直角坐标【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.【解析】【分析】（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；（2）当时，曲线的参数方程化为 为参数），两
9、式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线 化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.【详解】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），两式平方相加得，所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当时，曲线的参数方程为为参数）， 所以，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，联立方程，整理得，解得或 （舍去），公共点的直角坐标为 .【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.6【2020年新课标2卷理科】已知曲线C1，C2的参数方程分别为C
10、1：（为参数），C2：（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】(1)方法一：消元法由得的普通方程为由参数方程可得，两式相乘得普通方程为方法二【最优解】：代入消元法由得的普通方程为，由参数方程可得，代入中并化简得普通方程为(2)方法一：几何意义+极坐标将代入中解得，故
11、P点的直角坐标为设P点的极坐标为，由得，故所求圆的直径为，所求圆的极坐标方程为，即方法二：由得所以P点的直角坐标为因为设圆C的极坐标方程为，所以，从而，解得故所求圆的极坐标方程为方法三：利用几何意义由得所以P点的直角坐标为，化为极坐标为，其中如图，设所求圆与极轴交于E点，则，所以，所以所求圆的极坐标方程为方法四【最优解】：由题意设所求圆的圆心直角坐标为，则圆的极坐标方程为联立得解得设Q为圆与x轴的交点，其直角坐标为，O为坐标原点又因为点都在所求圆上且为圆的直径，所以，解得所以所求圆的极坐标方程为方法五利用几何意义求圆心由题意设所求圆的圆心直角坐标为，则圆的极坐标方程为联立得，即P点的直角坐标为
12、所以弦的中垂线所在的直线方程为，将圆心坐标代入得，解得所以所求圆的极坐标方程为【整体点评】(1)方法一利用乘积消元充分利用了所给式子的特征，体现了解题的灵活性，并不是所有的问题都可以这样解决；方法二代入消元是最常规的消元方法之一，消元的过程充分体现了参数方程与普通方程之间的联系.(2)方法一利用几何意义加极坐标求解极坐标方程是充分利用几何思想的提现，能提现思维的 ；方法二首先确定交点坐标，然后抓住问题的本质，求得的值即可确定极坐标方程；方法三首先求得交点坐标，然后充分利用几何性质求得圆的直径即可确定极坐标方程；方法四直径所对的圆周角为是圆最重要的性质之一，将其与平面向量垂直的充分必要条件想联系
13、进行解题时一种常见的方法；方法五圆心和半径是刻画圆的最根本数据，利用几何性质求得圆心的坐标即可确定圆的方程.7【2020年新课标3卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求|：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令，则，解得或（舍），则，即.令，则，解得或（舍），则，即.；（2）由（1）可知，则直线的方程为，即.由可得，直
14、线的极坐标方程为.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.8【2019年新课标1卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由得：，又
15、整理可得的直角坐标方程为：又，的直角坐标方程为：（2）设上点的坐标为：则上的点到直线的距离当时，取最小值则【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.9【2019年新课标2卷理科】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.【答案】（1），l的极坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程
16、，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【详解】（1）因为点在曲线上，所以；即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；（2）设，则， ，由题意，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.10【2019年新课标3卷理科】如图，在极坐标系中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，
17、构成，若点在上，且，求的极坐标.【答案】(1) ,(2) ,.【解析】【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.，,.(2)解方程得，此时P的极坐标为解方程得或，此时P的极坐标为或解方程得，此时P的极坐标为故P的极坐标为,.【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.11【2018年新课标1卷理科】在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求
18、的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】【详解】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线记轴右边的射线为，轴左边的射线为由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共
19、点且与有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点 综上，所求的方程为点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.12【2018年新课标2卷理科】在直角坐标系中，曲线的参
20、数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率【答案】（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）【解析】【分析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率【详解】详解：（1）曲线的直角坐标方程为当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线截直线所得线段
21、的中点在内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线的斜率13【2018年新课标3卷理科】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程【答案】（1）（2）为参数，【解析】【详解】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得（2）联立方程，由根与系数的关系求解详解：（1）的直角坐标方程为当时，与交于两点当时，记，则的方程为与交于两点当且仅当，解得或，即或综上，的取值范围是（2）的参数方程为为参数， 设，对应的参数分别为，则，且，满足于是，又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是 为参数， 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题
