1、专题2.3 解一元二次方程-公式法（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、 理解并掌握用公式法解一元二次方程；2、 理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情况；【知识点梳理】考点1 解一元二次方程-公式法：用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式考点2 一元二次方程的判别式： 根的判别式： 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根，反之亦成立【典例分析】【考点1 解一元二次方程-公式法】 【例1】用公式法解下列方程：（1）2x2+5x10 （2）6x（x+1）5x1【变式1-1】（2021秋船山
2、区校级期末）用公式法解方程：2x214x【变式1-2】（2021春东平县期中）解方程：x2+52x（用公式法解）；【变式1-3】（2021秋新兴县期中）用公式法解方程：5x272x【考点2 一元二次方程的判别式】【例2】（2022春雨花区校级月考）一元二次方程x24x+40的根的情况为（）A没有实数根B只有一个实数根C两个相等的实数根D两个不相等实数根【变式2-1】（2022河南一模）方程x2+x+10的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有一个实数根C有两个相等的实数根D没有实数根【变式2-2】（2022长垣市一模）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义adbc
3、则方程8的根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D只有一个实数根【变式2-3】（2022长安区模拟）若m+n+20，则关于x的一元二次方程x2mx+n10的根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定【例3】（2022罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1a）x2+2x20有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）AaBaCa且a1Da且a1【变式3-1】（2022春义乌市校级月考）若关于x的方程（k2）x22x+10有实数根，则k的取值范围是（）Ak3Bk3Ck3且k2Dk3且k2【变式3-2】（2022太湖县校级一模）若关于
4、x的一元二次方程（k+2）x2+4x+10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak2Bk2Ck2且k2Dk2且k2【变式3-3】（2022罗湖区模拟）若关于x的方程kx22x10有两个实数根，则实数k的取值范围是（）Ak1且k0Bk1且k0Ck1Dk1且k0【例4】（2022西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x24mx+4m290（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值【变式4-1】（2022南海区一模）已知关于x的一元二次方程x23x+m+10有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）当m1时，求出此时方程的两个根【变式4-2】（2
5、022邗江区校级开学）已知关于x的方程x2（3k+1）x+2k2+2k0（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长专题2.3 解一元二次方程-公式法（知识解读）【直击考点】 【学习目标】3、 理解并掌握用公式法解一元二次方程；4、 理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情况；【知识点梳理】考点1 解一元二次方程-公式法：用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式考点2 一元二次方程的判别式： 根的判别式： 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等
6、的实数根；时，方程无实数根，反之亦成立【典例分析】【考点1 解一元二次方程-公式法】 【例1】用公式法解下列方程：（1）2x2+5x10 （2）6x（x+1）5x1【答案】（1）x1，x2（2）没有实数解【解答】解：（1）2x2+5x10，a2，b5，c1，5242（1）330，x，所以x1，x2；（2）6x（x+1）5x1，整理得6x2+x+10，a6，b1，c1，12461230，方程没有实数解【变式1-1】（2021秋船山区校级期末）用公式法解方程：2x214x【答案】【解答】解：整理，得：2x24x10，a2，b4，c1，b24ac（4）242（1）240，【变式1-2】（2021春东
7、平县期中）解方程：x2+52x（用公式法解）；【答案】x1x2；【解答】解：x2+52x，x22x+50，a1，b2，c5，b24ac（2）24150，x，x1x2；【变式1-3】（2021秋新兴县期中）用公式法解方程：5x272x【答案】x11，x2【解答】解：5x2+2x70，a5，b2，c7，b24ac2245（7）1440，x，x11，x2【考点2 一元二次方程的判别式】【例2】（2022春雨花区校级月考）一元二次方程x24x+40的根的情况为（）A没有实数根B只有一个实数根C两个相等的实数根D两个不相等实数根【答案】C【解答】解：（4）2440，方程有两个相等的实数根故选：C【变式2
8、-1】（2022河南一模）方程x2+x+10的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有一个实数根C有两个相等的实数根D没有实数根【答案】D【解答】解：（）241110，方程没有实数根故选：D【变式2-2】（2022长垣市一模）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义adbc则方程8的根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D只有一个实数根【答案】A【解答】解：8，x26x8，即x26x+80，（6）241840，该方程有两个不相等的实数根故选：A【变式2-3】（2022长安区模拟）若m+n+20，则关于x的一元二次方程x2mx+n10的根的
9、情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定【答案】A【解答】解：m24（n1），而m+n+20，即nm2，m24（m21）m2+4m+12（m+2）2+80，方程有两个不相等的实数根故选：A【例3】（2022罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1a）x2+2x20有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）AaBaCa且a1Da且a1【答案】C【解答】解：关于x的一元二次方程（1a）x2+2x20有两个不相等的实数根，224（1a）（2）0且1a0，整理得：4+88a0且a1解得：a且a1故选：C【变式3-1】（2022春义乌市校级月考）若关于x的方程（k2）x
10、22x+10有实数根，则k的取值范围是（）Ak3Bk3Ck3且k2Dk3且k2【答案】C【解答】解：当k20时，方程化为2x+10，解得x；当k20时，根据题意得（2）24（k2）0，解得k3且k2，综上所述，k的取值范围为k3故选：C【变式3-2】（2022太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak2Bk2Ck2且k2Dk2且k2【答案】C【解答】解：关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+10有两个不相等的实数根，k+20且424（k+2）10，解得：k2且k2故选：C【变式3-3】（2022罗湖区模拟）若关于x的方程k
11、x22x10有两个实数根，则实数k的取值范围是（）Ak1且k0Bk1且k0Ck1Dk1且k0【答案】B【解答】解：根据题意得k0且（2）24k（1）0，解得k1，所以k的取值范围为k1且k0故选：B【例4】（2022西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x24mx+4m290（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值【答案】（1）略 (2)m的值为或【解答】（1）证明：（4m）24（4m29）36，不论m取何值时，36恒大于0，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：将x0代入x24mx+4m290中，得4m290，解得：m或m的值为或【变式4-1】（
12、2022南海区一模）已知关于x的一元二次方程x23x+m+10有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）当m1时，求出此时方程的两个根【答案】（1）m （2）x10，x23【解答】解：（1）由题意可知：94（m+1）0，m（2）当m1时，9，由求根公式可知：x，x10，x23【变式4-2】（2022邗江区校级开学）已知关于x的方程x2（3k+1）x+2k2+2k0（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长【答案】（1）无论k取何值，方程总有实数根 （2）7【解答】（1）证明：b24ac（3k+1）24（2k2+2k）k22k+1（k1）20，无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：等腰三角形的底边长3，另两边长即为等腰三角形的腰长，另两边长恰好是这个方程的两根，该方程有两个相等的实数根，b24ac（3k+1）24（2k2+2k）k22k+1（k1）20，解得k1，将k1代入方程，得x24x+40，解得：x1x22此时ABC三边为3，2，2；所以周长为3+2+27
