1、专题2-1函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性） 目录题型01 奇偶性基础1题型02 中心对称型函数2题型03 轴对称型函数3题型04 斜直线轴对称型3题型05 “正余弦”型对称4题型06 伸缩型对称5题型07 一元三次函数型中心对称6题型08 “局部周期”型函数性质7题型09 双函数型对称8题型10 原函数与导函数型双函数对称9题型11 放大镜型函数性质10题型12 抽象函数赋值型性质11题型13 对称型恒成立求参11题型14 构造“对称”型函数12高考练场13 题型01 奇偶性基础 【解题攻略】 奇偶函数的性质偶函数f(x)f(x) 关于y轴对称对称区间的单调性相反；奇函数f
2、(x)f(x) 关于原点对称对称区间的单调性相同；奇函数在x0处有意义时，必有结论 f(0)0 ；奇偶性的判定“奇奇”是奇，“偶偶”是偶，“奇/奇”是偶，“偶/偶”是偶，“奇/偶”是奇；奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数【典例1-1】（2023秋山西高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（）A0BC12D10【典例1-2】（2023秋北京昌平高三北京市昌平区前锋学校校考阶段练习）已知，则（）A为偶函数，且在上单调递增B为偶函数，且在上单调递减C为奇函数，且在上单调递增D为奇函数，且在上单调递减【变式1-1】（2023全国高一专题练习）
3、若为奇函数，则的解集为（）ABCD【变式1-2】（2023秋江苏南通高三统考开学考试）已知是奇函数，则在处的切线方程是（）ABCD【变式1-3】（2023秋天津和平高三天津一中校考阶段练习）已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）ABCD题型02 中心对称型函数 【解题攻略】 中心对称结论：（1）若函数满足，则的一个对称中心为（2）若函数满足，则的一个对称中心为（3）若函数满足，则的一个对称中心为.【典例1-1】已知函数，则存在非零实数，使得（ ）ABCD【典例1-2】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为_.【变式1-1】.设函数的最大值为5，则的最小值为（ ）AB1C2D
4、3 【变式1-2】已知函数，若使关于的不等式成立，则实数的范围为_. 【变式1-3】.函数的图像可能是（ ）ABCD 题型03 轴对称型函数【解题攻略】 轴对称性的常用结论如下：（1） 若函数满足,则的一条对称轴为（2） 若函数满足,则的一条对称轴为（3） 若函数满足,则的一条对称轴为(4)f(ax)= f(bx)f(x)的图象关于直线x=对称；【典例1-1】（2023上重庆高三重庆市忠县忠州中学校校联考）已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是 【典例1-2】（2023上江西景德镇高一统考期中）已知函数满足关系式，且对于，满足恒成立，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围
5、是 【变式1-1】（2023上江苏南通高三统考阶段练习）设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，且有，则的最小值为 .【变式1-2】（2023上山东济南高三统考开学考试）若函数的图象关于直线对称，且有且仅有4个零点，则的值为 【变式1-3】（2023上陕西榆林高三校考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且图象关于对称，在区间上，则 .题型04 斜直线轴对称型 【解题攻略】 关于斜直线轴对称，可以借鉴圆锥曲线中直线的对称性来处理（1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.如果斜直线轴对称，还有以下经验公式：如果对称轴所在的直线斜率是，即直线是型，
6、可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子(1)如果关于直线的对称点为，则的坐标为；(2)如果关于直线的对称点为，则的坐标为【典例1-1】（2023上重庆高三西南大学附中校考）已知函数为奇函数，的函数图象关于对称，且当时，则 . 【典例1-2】（2023上辽宁高三校联考）已知定义域为的函数满足，且其图象关于直线对称，若当时，则 .【变式1-1】（2023上辽宁大连高三大连八中校考期中）已知函数，若曲线关于直线对称，则的值为 【变式1-2】（2023上上海浦东新高三华师大二附中校考）已知函数的图象过点，且关于直线成轴对称图形，则 【变式1-3】（2021上高一校考课时练习）若函数的图象与且的图象关
7、于直线对称，则的值等于（）ABCD题型05 “正余弦”型对称 【解题攻略】（1）两中心；（2）两垂直轴则；（3）一个中心，一条轴，则 【典例1-1】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（）ABCD【典例1-2】.定义在上的偶函数f（x）满足f（x）f（x2）0，当时，（已知），则（）ABCD 【变式1-1】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下列说法中错误的是（）A函数是周期函数；B函数的图象关于点对称；C函数为上的偶函数；D函数为上的单调函数 【变式1-2】已知函数的定义域为，为的导函数，且，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）ABC
8、D 【变式1-3】.定义在上的函数满足，；且当时，则方程所有的根之和为（）A6B12C14D10 题型06 伸缩型对称 【解题攻略】伸缩变换yf(ax) yf(x) yaf(x)【典例1-1】（2023秋湖南怀化高三统考）已知不是常函数，且是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则（）AB1是的一个周期CD【典例1-2】（2023河南长葛市第一高级中学统考模拟预测）若函数f（x）的定义域为R，且f（2x1）为偶函数，f（x1）的图象关于点（3，3）成中心对称，则下列说法正确的个数为（）的一个周期为2 直线是图象的一条对称轴A1B2C3D4 【变式1-1】（2022秋重庆南岸高三重庆市第十一中学
9、校校考阶段练习）已知是定义在上的函数，是奇函数，且是偶函数，则下列选项一定正确的是（）A函数的周期为2B函数的周期为3CD【变式1-2】（2022秋吉林长春高三长春市第二中学校考阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（）ABCD【变式1-3】（2022秋广西玉林高三校联考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（）ABCD题型07 一元三次函数型中心对称 【解题攻略】所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”【典例1-1】给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程
10、有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则（）A8082B2021C-8082D-2023 【典例1-2】已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点若，则（）A0B4CD 【变式1-1】在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列可能正确的序号是（）ABCD 【变式1-2】设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（）A0BC1D 【变式1-3】一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值
11、范围是（）ABCD 题型08“局部周期”型函数性质 【解题攻略】 局部周期函数，可类比以下函数图像：【典例1-1】定义在0,+上的函数fx满足fx=x2,x0,1fx-1-2,x1,+.（i）f2021=_.（ii）若方程fx-kx=0有且只有两个解，则实数k的取值范围是_.福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题【典例1-2】.已知fx=12x+a,x0,fx-1,x0,且方程fx=x恰有两解.则实数a的取值范围是_.【变式1-1】（2021下天津武清高三天津市武清区杨村第一中学校）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则 .【变式1-2】（2021上四
12、川资阳高三统考期末）已知函数，函数在处的切线为，若，则与的图象的公共点个数为 题型09 双函数型对称 【解题攻略】 双函数性质：1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系【典例1-1】（2023广西玉林统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，则（）Af（x）为奇函数Bg（x）为奇函数CD 【典例1-2】（2023春河南开封高三统考开学考试）已知函数，的定义域为，且，若为偶函数，则（）A24B26C28D30 【变式1-1】（2023秋江西高三校联考期末）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，且，则（）A80B86C
13、90D96 【变式1-2】（2023秋全国高三校联考阶段练习）的定义域为，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（）A的图象关于对称B的图象关于对称C4为的周期D 【变式1-3】（2022秋四川成都高三成都七中校考专题练习）已知函数的定义域均为为偶函数，且，下列说法正确的有（）A函数的图象关于对称B函数的图象关于对称C函数是以4为周期的周期函数D函数是以6为周期的周期函数题型10 原函数与导函数型双函数对称 【解题攻略】原函数与导函数的性质性质1若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称性质2奇函数的导数为偶函数性质3若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称性
14、质4偶函数的导数为奇函数性质5若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于对称偶函数的导数为奇函数性质6若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T性质7若函数是可导函数，定义域为D，其导函数的图像关于轴对称，则图像关于对称，为定义域内任意一点【典例1-1】（2023四川成都校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且是偶函数，则（）A2022B2023C2024D2025【典例1-2】（2022上四川遂宁高三射洪中学校考阶段练习）已知函数及其导函数定义域均为，为奇函数，则正确的有（）；.ABCD【变式1-1】（2023广西梧州苍梧中学校考模拟预
15、测）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，现有下列四个结论：；其中所有正确结论的序号是（）ABCD【变式1-2】（2023全国高三专题练习）设定义在R上的函数与的导函数分别为和若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）ABC，D【变式1-3】7.设定义在实数集上的函数与的导数分别为与，若，且为奇函数，则下列说法不正确的是（）AB图象关于直线对称CD辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题题型11 放大镜型函数性质 【解题攻略】 形如等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大。2.放大
16、（缩小）时，要注意是否函数值有0。3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。【典例1-1】定义在上函数满足，且当时，则使得在上恒成立的的最小值是_. 【典例1-2】.已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：函数在上单调递增；函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.其中所有正确结论的编号是_. 【变式1-1】已知定义在1,+)上的函数f(x)=4-8x-12(1x2)12f(x2)(x2)，则A在1,6上，方程f(x
17、)-16x=0有5个零点B关于x的方程f(x)-12n=0(nN*)有2n+4个不同的零点C当x2n-1,2n(nN*)时，函数f(x)的图象与x轴围成的面积为4D对于实数x1,+)，不等式xf(x)6恒成立 【变式1-2】设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是（）ABCD 【变式1-3】定义域为的函数满足：，当时，若时，恒成立，则实数的取值范围是ABCD 题型12 抽象函数赋值型性质 【典例1-1】（2023春辽宁高三校联考阶段练习）已知是定义在上的函数，且在区间内单调递增，对，都有.若，使得不等式成立，则实数的最大值为 .【典例1-2】（2023全国高三对口高考）
18、已知定义域为的函数对任意实数x，y满足，且，给出下列结论：；为奇函数；为周期函数；在内单调递减其中正确结论的序号是 【变式1-1】（2023江苏南通统考模拟预测）若函数的定义域为，且，则 【变式1-2】（2023浙江高三专题练习）若定义在上的函数满足：，且，则满足上述条件的函数可以为 .（写出一个即可）【变式1-3】（2022秋湖南衡阳高三衡阳市一中校考）定义在R上的函数f(x)满足x，yR，且f(0)0， f(a)=0 (a0). 则下列结论正确的序号有 .f(0)=1；.题型13 对称型恒成立求参 【解题攻略】 一般地，已知函数，（1）若，有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立
19、，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集【典例1-1】（2021上江苏南京高三南京市中华中学校考期末）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）ABCD 【典例1-2】（2020湖南永州统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（）ABCD 【变式1-1】（2021上上海浦东新高三上海市建平中学校考阶段练习）已知，满足对于任意的，都有，设，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是 【变式1-2】（2018上上海奉贤高一上海市奉贤中学校考阶段练习）设函数，对任意非零实数，若等式成立，则正整数的值为 .【变式1-3】已知是定
20、义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD 题型14 构造“对称”型函数 【典例1-1】（2021上湖北高三校联考阶段练习）已知满足，满足，则（）ABCD前三个答案都不对 【典例1-2】（2022上上海徐汇高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）设且满足，则 . 【变式1-1】（2022全国高三专题练习）已知，那么的值是 【变式1-2】（2021上浙江宁波高三余姚中学校考）已知满足，若对任意的，恒成立，则实数k的最小值为 高考练场1.（2022秋云南保山高三统考阶段练习）设函数，若是奇函数，则（）ABCD2.已知函数满足，若函数与图像的交点
21、为，则_. 3.（2023上贵州贵阳高三校联考阶段练习）已知函数，当时，则 .4.（2023上上海闵行高三校联考期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是 .5.已知定义在上的函数满足：，当时，则（）ABCD 6.（2023秋重庆九龙坡高三统考期末）已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）ABCD7.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）A0B1C2D48.已知函数的定义域均为R，且满足则
22、（）A3180B795C1590D1590 9.已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（）A是奇函数B是偶函数C关于点对称D关于直线对称 10.设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，现有下列四个结论：；其中所有正确结论的序号是（）ABCD 11.已知定义域为的奇函数满足：当时，；当时，现有下列四个结论：的周期为2；当时，；若，则；若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是其中所有正确结论的序号是（）ABCD 12.（2023秋广东广州高三执信中学校考开学考试）设为定义在整数集上的函数，对任意的整数均有则 13.已知函数，对于，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD
