1、专题17 二项式定理9种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、二项式定理的正用和逆用考点二、二项展开式中的特定项考点三、三项展开式中的特定项考点四、两个多项式积的特定项考点五、二项展开式的系数和问题考点六、二项式系数与项的系数最值考点七、整除和求余问题考点八、近似计算问题考点九、杨辉三角问题1二项式定理：，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数.项数：共项，是关于与的齐次多项式通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有项。顺序：注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数：的指数从逐项减到，是降幂排
2、列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令令5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，二项式系数和：令,则二项式系数的和为，变形式奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。1、求二项展开式中的项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk1Cankbk的特点，
3、一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0,1,2，n).2、几个多项式和展开式中的特定项系数问题对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可3、求形如的式子中与特定项相关的量第一步：分别写出与的二项展开式的通项；第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）；第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。注：几个多项式积展开式中特定项系数问题对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要
4、注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏4、(abc)n展开式中特定项的求解方法5、赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立因此，可将x，y设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，1或0”，有时也取其他值如：(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可6、二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大7、二项式
5、系数的最值与项的系数的最值问题（1）二项式系数的最值问题如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数和相等且最大；（2）项的系数的最值问题求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可8、应用二项式定理解决整除问题的方法用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。【注意】在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，是除数），利用二项式定理
6、展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。考点剖析考点一、二项式定理的正用和逆用1（2023全国高二课堂例题）写出的展开式2（2024浙江温州统考一模） .3（2023上高二课时练习）（1）求的展开式；（2）化简4（2023上高二课时练习）已知等式，则的值分别为（）ABCD考点二、二项展开式中的特定项5（2024陕西宝鸡统考一模）展开式中的第四项为（）ABC240D6（2024上辽宁葫芦岛高三统考期末）的展开式中常数项为第（）项A4B5C6D77（2023四川南充统考一模）二项式的展开式中常数项为（）AB60C210D8（2020上内蒙古赤峰高三校联考期中）在二项式的展开式中的指数为整数
7、的项的个数为（）A1B2C3D49（2024上北京西城高二统考期末）在的展开式中，的系数为（）A3B6C9D1210（2023上辽宁朝阳高三校联考期中）在的展开式中，项的系数为 11（2020下广东梅州高二校考阶段练习）设的展开式的第项与倒数第项的比是，求展开式中的第项12（2024江西贵溪市第一中学校考模拟预测）若的二项展开式的第7项为常数项，则 .13（2024上山东日照高三山东省五莲县第一中学校考期末）已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则 ，且展开式中的常数项为 .考点三、三项展开式中的特定项14（2023辽宁统考）的展开式共（）A10项B15项C20项D21项15（2024全
8、国模拟预测）的展开式中，常数项为（）ABC70D7216（2023上江西南昌高二南昌十中校考阶段练习）在的展开式中，项的系数为（）A299B300CD17（2023上河北唐山高三开滦第一中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（）A208BC217D18（2023上山东日照高二日照一中校考阶段练习）若的展开式中的系数为，则实数 19（2023上江西高二统考阶段练习）若，且，则的值为 .20（2023广东东莞市东华高级中学校联考一模）在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为 .考点四、两个多项式积的特定项21（2024海南海口统考模拟预测）在的展开式中的系数为 .22（2024上山东滨州高三统考期末
9、）的展开式中的系数为 （用数字作答）23（2023全国模拟预测）的展开式中常数项为 （用数字作答）24（2024上陕西西安高三长安一中校考阶段练习）的展开式中的常数项为 .25（2024上江西高二校联考期末）若的展开式中的系数为70，则实数 26（2024上全国高三专题练习）展开式中的常数项是120，则实数 27（2023上河南驻马店高二河南省驻马店高级中学校考阶段练习）已知，则的值为（）AB1C2D考点五、二项展开式的系数和问题28（2024全国模拟预测）若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（）AB945C2835D29（2024上黑龙江高二校联考期末）在的二项展开式中，各二项式系
10、数之和为，各项系数之和为，若，则（）A3B4C5D630（2024全国模拟预测）已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（）AB1215C135D31（2022上高二课时练习）的展开式中各项系数的和为，则的值为（）A8B9C10D1132（2023下河南开封高二校考期中）已知二项式的展开式中各项系数之和为256求：(1)的值；(2)展开式中项的系数；(3)展开式中所有含的有理项33（2020下广东梅州高二校考阶段练习）在二项式的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有偶数项系数之和；(4)系数绝对值之和.34（2023上上海高二上海市第二中学校考阶段练
11、习）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.35（2023下辽宁大连高二育明高中校考期中）若.求：(1)；(2).36（2023下重庆荣昌高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).考点六、二项式系数与项的系数最值37（2023上全国高三阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（）ABCD38（2023江西南昌江西师大附中校考三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（）A第二项B第三项C第四项D第五项39（2023下四川雅安高二校考阶段练习）（1）若，求的值；（2）在的展开式中，求二项式系数最大的项
12、；系数的绝对值最大的项是第几项；40（2024上上海高二上海市复旦中学校考期末）已知在的展开式中，前三项的系数分别为，且满足(1)求展开式中系数最大的项；(2)求展开式中所有有理项41（2024上山东潍坊高二昌乐二中校考期末）已知在的展开式中，第6项为常数项(1)求n的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；(2)求含的项的系数.42（2024上辽宁沈阳高二校联考期末）已知的展开式的所有二项式系数之和为64(1)求该二项式及其展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项考点七、整除和求余问题43（2023陕西西安西安市长安区第二中学校联考模拟预测）设的小数部分为x，则（）A1B2C3D444（
13、2024上河北廊坊高三河北省文安县第一中学校联考期末）设，且，若能被7整除，则（）A-4B-5C-6D-745（2023上山东高二校联考阶段练习）被8除的余数为（）A1B3C5D746（2023下山东菏泽高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）设，且，若能被13整除，则等于（）A0B1C11D1247（2023下江苏连云港高二校考阶段练习）如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（）A星期三B星期四C星期五D星期六考点八、近似计算问题48（2022高二单元测试）的计算结果精确到0.001的近似值是（）A0.930B0.931C0.932D0.93349（2023下辽宁高三朝阳市第一
14、高级中学校联考阶段练习）已知，则下列排序正确的是（）ABCD50（2023湖南株洲统考一模）已知，则（）ABCD考点九、杨辉三角问题51（2024上江西高二校联考期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（）ABCD52（2023上湖北高三校联考阶段练习）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现，比欧洲发现早500年左右现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（）ABCD53（2023上黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考期末）我国南宋数学家
15、杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前15项之和为（）A114B116C124D12654（2023上浙江高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（）A252B426C462D92455（2023下安徽滁州高二统考期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛“杨辉三
16、角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（）AB第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C记第n行的第个数为，则D第20行中第8个数与第9个数之比为过关检测一、单选题1（2024上河北张家口高三统考期末）的展开式中，的系数为（）A30B60C120D322（2024上北京房山高三统考期末）的展开式中的常数项是（）ABCD3（2024
17、上广东广州高三校考期末）在展开式中的系数为（）AB0C1D24（2024上北京昌平高三统考期末）已知，则（）AB32C495D5855（2023全国校联考模拟预测）在的展开式中常数项为（）A721B-61C181D-596（2024上辽宁高二校联考期末）已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（）ABCD7（2024上辽宁大连高二统考期末）的展开式中，二项式系数最大的是（）A第3项B第4项C第5项D第6项8（2024上山东潍坊高二昌乐二中校考期末）则（ ）A0B1C2D9（2024上辽宁高二辽宁实验中学校联考期末），则（）A31B1023C1024D32二、多选题10（
18、2024上辽宁辽阳高二统考期末）若展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A该展开式中共有6项B各项系数之和为1C常数项为D只有第4项的二项式系数最大11（2023上广东茂名高二广东高州中学校考期中）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）A所有奇数项的二项式系数和为B二项式系数最大的项为第7项C所有项的系数和为D有理项共5项12（2024上辽宁高二盘锦市高级中学校联考期末）已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（）AB展开式中的系数为280C展开式中所有项的系数和为D展开式中的第二项为13（2024上河南高二校联考期末）已知，则下列说法正确的是（）ABCD14（202
19、2上辽宁本溪高二校考期末）若，则（）ABCD三、填空题15（2024上北京西城高二统考期末）在的展开式中，所有项的系数和等于 .（用数字作答）16（2024上山东德州高三统考期末）在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 17（2024上云南曲靖高二曲靖一中校考期末）在的展开式中，的系数是 .18（2024上广东深圳高三统考期末）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）19（2024上天津河西高三统考期末）的展开式中的常数项为 .20（2024上天津河北高三统考期末）已知，若的展开式中含项的系数为40，则 .21（2024上广东揭阳高三统考期末）在二项式的展开式中，若常数项恰是所有奇
20、数项的二项式系数之和的5倍，则实数a的值为 （用数字作答）四、解答题22（2024上河南南阳高二南阳市第五中学校校联考期末）已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64.(1)求 的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项.23（2024上江西高二校联考期末）的展开式中，二项式系数之和为a，各项系数之和为b，且(1)求n的值；(2)求的展开式中的常数项24（2024上上海高二校考期末）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数(1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项；(2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数25（2024上吉林高二长春市第二实验中学校联考期末）（1）求的展开式中含项的系数；（2）求除以的余数.26（2023上吉林长春高二东北师大附中校考期末）已知展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等，且(1)求的值；(2)求的值
