1、专题17 二次函数中几何存在性的问题【中考考向导航】目录【直击中考】1【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】1【考向二 二次函数中构成直角三角形存在性问题】8【考向三 二次函数中构成三角形相似存在性问题】16【考向四 二次函数中构成矩形存在性问题】23【考向五 二次函数中构成菱形存在性问题】33【考向六 二次函数中构成正方形存在性问题】42【直击中考】【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】例题：（2022秋青海西宁九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标(3)在坐标轴是否存在一点使得是等
2、腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；【变式训练】1（2023秋陕西商洛九年级校考期末）如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由2（2022秋广西南宁九年级校考阶段练习）已知抛物线经过，两点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标以及这个最小周长；(3)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【考向二 二
3、次函数中构成直角三角形存在性问题】例题：（2022秋陕西渭南九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以、为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【变式训练】1（2023秋山东枣庄九年级统考期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为(1)求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2（2023秋山西阳泉九年级统考期
4、末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点，直线与抛物线的另一个交点为(1)求抛物线的解析式；(2)连接、，判断是什么特殊三角形，并说明理由；(3)在坐标轴上是否存在一点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由3（2023秋广东广州九年级统考期末）抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N(1)求该抛物线的解析式；(2)过点C作于点H，求点P的坐标；连接，在y轴上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在
5、，请说明理由【考向三 二次函数中构成三角形相似存在性问题】例题：（2022秋广西百色九年级统考期中）如图，抛物线经过点，和坐标原点，顶点为(1)求抛物线的表达式；(2)求证：是直角三角形；(3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，过点作轴，垂足为，是否存在点，使得以P，M，A为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【变式训练】1（2023秋湖南株洲九年级统考期末）如图，以D为顶点的抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线的表达式为(1)求抛物线的表达式；(2)在直线上存在一点P，使的值最小，求此最小值；(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与相
6、似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2（2023秋湖南邵阳九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点、B两点，顶点，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E，(1)求该抛物线解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由(3)点P是线段上一动点，过点P作直线轴交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求P点坐标与的最大值【考向四 二次函数中构成矩形存在性问题】例题：（2023秋贵州遵义九年级统考期末）已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点.(1)求抛物线解析式；(2)如图，若点是第一象限内抛物线上一
7、动点，过点作于点，求线段长的最大值(3)如图，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【变式训练】1（2022秋湖北黄冈九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称(1)求直线的解析式；(2)如图，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作于点G，求线段的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标2（2023秋广东江门九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，
8、已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，(1)求该抛物线的函数解析式；(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【考向五 二次函数中构成菱形存在性问题】例题：（2022秋辽宁沈阳九年级沈阳市广全学校校考阶段练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，(1)点C的坐标为_；抛物线的函数表
9、达式为_；(2)点D是上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标；(3)设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【变式训练】1（2022秋广东汕头九年级统考期末）如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B，且与x轴交于点(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达
10、式，并求出S的最大值；(3)若点P在平面内，点Q在直线上，平面内是否存在点P使得以O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2（2022秋黑龙江齐齐哈尔九年级统考期末）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围；(3)连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标；(4)在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由【考
11、向六 二次函数中构成正方形存在性问题】例题：（2022秋辽宁抚顺九年级校考阶段练习）如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点B的坐标是(1)求直线及抛物线的解析式；(2)C为抛物线上的一点，的面积为3，求点C的坐标；(3)P在抛物线上，Q在直线上，M在坐标平面内，当以A，P，Q，M为顶点的四边形为正方形时，直接写出点M的坐标【变式训练】1（2022秋湖南长沙九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点(1)求该抛物线的解析式；(2)当最小时，求此时点E的坐标；(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2（2022春江苏盐城九年级校考阶段练习）如图已知抛物线经过三点，点P为直线上方抛物线上一点(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求点P的坐标；(3)连接，交直线于点E，交y轴于点F；是否存在点P使与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；若点P的坐标为，点H在抛物线上，过H作轴，交直线于点K点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标
