1、专题15.5 角平分线的判定与性质【八大题型】【沪科版】【题型1 利用角平分线的性质求长度】1【题型2 利用角平分线的性质求面积】6【题型3 利用角平分线的性质证明】10【题型4 角平分线的判定】17【题型5 尺规作角平分线】23【题型6 角平分线的性质与判定综合运用】28【题型7 利用角平分线的性质判断多结论问题】40【题型8 角平分线的性质的实际应用】46【知识点1 角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.【题型1 利用角平分线的性质求长度】【
2、例1】（2023春辽宁丹东八年级统考期末）如图，AC平分DAB，CEAB，BC=DC，AB=17，AD=9，则AE的长为（）A13B12C11D10【答案】A【分析】过点C作CFAD，交AD的延长线于点F，由HL可证明RtDFCRtBEC和RtAFCRtAEC，从而得到BE=DF和AF=AE，利用AB+AD=AE+BE+AF-DF=2AE即可得到答案【详解】解：过点C作CFAD，交AD的延长线于点F，AC平分DAB，CEAB于点E，CFAD于点F，CF=CE，DFC=BEC=90，在RtDFC和RtBEC中，CE=CFCD=CB，RtDFCRtBECHL，BE=DF，在RtAFC和RtAEC中
3、，CE=CFAC=AC，RtAFCRtAECHL，AF=AE，AB=17，AD=9，AB+AD=AE+BE+AF-DF=2AE=17+9=26，AE=13故选：A【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答【变式1-1】（2023春贵州八年级统考期末）如图，已知ABCD，射线AE平分BAC，过点E作EHAC于点H，作EFAB于点F，并延长FE交CD于点G，连接CE若AEC=90，EH=1则FG的长为 【答案】2【分析】先根据平行线的性质可得BAC+ACD=180，再根据角平分线的定义和“等角的
4、余角相等”可得ACE=ECD，再由ABCD,GFAB，可得GFCD，由角平分线的性质可得EF=EH,EG=EH，即可求出FG的长【详解】ABCD，BAC+ACD=180，即BAE+CAE+ACE+ECD=180AEC=90，CAE+ACE=90，BAE+ECD=90AE平分BAC，BAE=CAE，ACE=ECD，CE平分ACDABCD,GFAB，GFCDEHAC，EF=EH=1,EG=EH=1，FG=EF+EG=2故答案为：2【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”熟练掌握以上知识，且证明CE平分ACD是解题的关键【变式1-2】（2023春福建漳州八年级校考期中）如图
5、，ABC中，A=90，CD是ABC的角平分线，DEBC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则BDE的周长是 cm【答案】12【分析】根据角平分线的性质得出DE=AD，再证RtDAC RtDECHL，推出CE=AC，进而解答即可【详解】解：A=90，CD是ABC的角平分线，DEBC于点E，DE=AD，在RtDAC和RtDEC中，DE=DADC=DC，RtDAC RtDECHL，AC=EC，BDE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BC-CE=AB+BC-AC=8+10-6=12cm，故答案为：12【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关
6、键是根据角平分线的性质得出DE=AD【变式1-3】（2023春陕西西安八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，RtABC中，A=90，AB=AC，ABC的平分线BD交AC于点D，CEBD，交BD的延长线于点E，若BD=5，则CE的值为 【答案】52【分析】延长BA、CE相交于点F，由角平分线的性质可得ABD=CBD，利用ASA证明BCEBFE，得到CE=EF，根据同角的余角相等得到ABD=ACF，通过ASA证明ABDACF，得到BD=CF，从而即可得到答案【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F，BD平分ABC，ABD=CBD，CEBD，BEF=BEC=90，在BCE和BFE中，ABD=CBD
7、BE=BEBEF=BEC=90，BCEBFEASA，CE=EF，BAC=90，CEBD，ACF+F=90，ABD+F=90，ABD=ACF，BAC=90，BAC+CAF=180，BAC=CAF=90，在ABD和ACF中，ABD=ACFAB=ACBAC=CAF=90，ABDACFASA，BD=CF，CF=CE+EF=2CE，BD=2CE=5，CE=52，故答案为：52【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键【题型2 利用角平分线的性质求面积】【例2】（2023春陕西
8、西安八年级校考期末）如图，已知ABC的周长是18，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=2，则ABC的面积是（）A6B9C18D36【答案】C【分析】由角平分线的性质得到OM=OD=ON，由ABC的面积=AOB的面积+OBC的面积+OAC的面积，得到ABC的面积=12AB+BC+ACOD，由ABC的周长=18，OD=2，即可求出ABC的面积=12182=18【详解】解：过O作OMAB于M，ONAC于N，OB，OC分别平分ABC和ACB，OM=OD，ON=OD，ABC的面积=AOB的面积+OBC的面积+OAC的面积，ABC的面积=12ABOM+12BCOD+12ACON=12A
9、B+BC+ACOD，ABC的周长=18，OD=2，ABC的面积=12182=18故选：C【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到ABC的面积=12AB+BC+ACOD【变式2-1】（2023春河南洛阳八年级统考期末）如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，交CD于点E，BC=10，DE=3，则BCE的面积等于（）A9B13C15D30【答案】C【分析】过E作EFBC于F，根据角平分线性质得出EF=DE=3，根据三角形面积公式求出即可【详解】解：过E作EFBC于F，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，EF=DE=3，BC=10，BCE的面积为
10、12BCEF=15故选C【点睛】考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出DE=EF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等【变式2-2】（2023春福建福州八年级校考期中）如图，B=C=90，AE平分BAD，DE平分DAC，若SCDE:SABE=2:3，则SADESDCE= 【答案】5:2【分析】过点E作EFAD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE=EF，然后证明RtABERtAFEHL，根据全等三角形的面积相等可得SABE=SAFE，同理可得：SEFD=SECD，设SCDE=2k，SABE=3k，表示出SADE=5k，然后求解即可【详解】如图，过点
11、E作EFAD于F，B=90，EBAB，AE平分BAD，BE=EF，在RtABE和RtAFE中，AE=AEBE=EF，RtABERtAFEHL，SABE=SAFE，同理：SEFD=SECD，设SCDE=2k，SABE=3k，SADE=SAFE+SEFD=SABE+SCDE=3k+2k=5k，SADE:SDCE=5k:2k=5:2，故答案为：5:2【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键【变式2-3】（2023春山东枣庄八年级校考期末）如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和EFD
12、的面积分别为50和4.5，则AED的面积为 【答案】41【分析】过点D作DHAC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明RtADFRtADH，RtDEFRtDGH，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可【详解】解：如图，过点D作DHAC于H，如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，DHAC，DF=DH，在RtADF和RtADH中，AD=ADDF=DH，RtADFRtADHHL，SRtADF=SRtADH，在RtDEF和RtDGH中，DE=DGDF=DH，RtDEFRtDGHHL，SRtDEF=SRtDGH，ADG和EFD的面积分别为50和4.5，SRtA
13、DE+SRtDEF=SADG-SRtDGH，SRtADE+4.5=50-4.5SRtADE=41故答案为：41【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并作出辅助线构造全等三角形是解题的关键【题型3 利用角平分线的性质证明】【例3】（2023春四川绵阳八年级校考期中）如图，已知C=60，AE,BD是ABC的角平分线，且交于点P(1)直接写出DPE=_；(2)求证：PD=PE；(3)探究AB、AD、BE的数量关系【答案】(1)120(2)见解析(3)AB=AD+BE【分析】（1）根据角平分线平分线以及三角形的内角和定理，求出APB的度数，对顶角相等，即可得到DPE的度
14、数；（2）过点P作PFAB,PGAC,PHBC，证明PGDPHE，即可得证；（3）在AB上截取BM=BE，证明BPMBPE，APMAPD即可得出结论【详解】（1）解：C=60，ABC+CAB=180-C=120，AE,BD是ABC的角平分线，PAB=12CAB,PBA=12CBA，PAB+PBA=12CAB+12CBA=60，APB=180-PAB+PBA=120，DPE=APB=120；故答案为：120；（2）证明：过点P作PFAB,PGAC,PHBC，则：PGD=PGC=PHE=90，AE,BD是ABC的角平分线，且交于点P，PG=PF=PH，C+PGC+PHC+GPH=180，GPH=1
15、20，DPE=120，DPG=EPH，PGDPHE，PD=PE；（3）解：在AB上截取BM=BE，BP平分ABC，PBM=PBE，BP=BP，BPMBPE，BPM=BPE=180-APB=60，APM=APB-BPM=60，APD=180-APB=60，APD=APM，AP平分DAB，DAP=MAP，又AP=AP，APMAPD，AM=AD，AB=AM+BM=AD+AE【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等【变式3-1】（2023春江苏扬州八年级统考期末）如图，ABC中，D为BC的中点，DEBC交BAC的平分线于E，EFAB，交AB于
16、F，EGAC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论【答案】相等，证明见解析【分析】连接EB、EC，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质可得EF=EG、EB=EC，然后借助“HL”证明RtEFBRtEGC，由全等三角形的性质可证明BF=CG【详解】BF与CG的大小关系为相等证明如下：连接EB、EC，如下图，AE是BAC的平分线，且EFAB于F，EGAC于G，EF=EG，EDBC于D，D是BC的中点，EB=EC，RtEFBRtEGC(HL)，BF=CG【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及垂直平分线段的性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关判定与性质是
17、解题关键【变式3-2】（2023春湖北荆门八年级校联考期末）如图，已知ABC中，BAC、ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OFBC于F，(1)试判断AOB与COF有何数量关系，并证明你的结论；(2)若ACB=60，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论【答案】(1)AOB+COF=180，证明见详解(2)OE=OD，证明见详解【分析】（1）过O作OMAC于M，ONAB于N，根据角平分线性质求出OM=ON=OF，求出CO平分ACB，求出AOB=90+12ACB，COF=90-OCF，即可求出答案（2）求出MOE=DOF，OME=OFD，根据AAS证出MOEF
18、OD即可【详解】（1）AOB+COF=180，证明：过O作OMAC于M，ONAB于N，AD平分CAB，BE平分CBA，OFBC，OM=ON，ON=OF，OM=OF，O在ACB的角平分线上，OCF=12ACB，OFBC，CFO=90，COF+OCF=90，COF=90-OCF，AD平分CAB，BE平分CBA，OAB=12CAB，OBA=12CBA，AOB=180-OAB+OBA=180-12CAB+CBA=180-12180-ACB=90+12ACB=90+OCF，由得：AOB+COF=90+OCF+90-OCF=180；（2）OE=OD，证明：ACB=60，由（1）知：AOB=90+12ACB
19、=90+30=120，EOD=AOB=120，OMAC，OFBC，OME=OFD=90，CMO=CFO=90，MOF=360-90-90-60=120，MOE=DOF=120-MOD，在EOM和DOF中OME=OFDMOE=DOFOM=OFEOMDOFAAS，OE=OD【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力【变式3-3】（2023春湖北荆门八年级校联考期末）如图，已知ABC中，BAC、ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连OC，过O作OFBC于F(1)试判断AOB与COF有何数量关系，并证明你的结论；(2)若A
20、CB=60，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论【答案】(1)AOB+COF=180，见解析(2)OE=OD，见解析【分析】（1）过O作OMAC于M，ONAB于N，根据角平分线性质求出OM=ON=OF，求出CO平分ACB，求出AOB=90+12ACB，COF=90-OCF，即可求出答案（2）求出MOE=DOF，OME=OFD，根据AAS证出MOEFOD即可【详解】（1）AOB+COF=180，证明：过O作OMAC于M，ONAB于N，AD平分CAB，BE平分CBA，OFBC，OM=ON，ON=OF，OM=OF，O在ACB的角平分线上，OCF=12ACB，OFBC，CFO=90，COF+OCF
21、=90，COF=90-OCF，AD平分CAB，BE平分CBA，OAB=12CAB，OBA=12CBA，AOB=180-OAB+OBA=180-12CAB+CBA=180-12180-ACB=90+12ACB=90+OCF，由得：AOB+COF=90+OCF+90-OCF=180；（2）OE=OD，证明：ACB=60，由（1）知：AOB=90+12ACB=90+30=120，EOD=AOB=120，OMAC，OFBC，OME=OFD=90，CMO=CFO=90，MOF=360-90-90-60=120，MOE=DOF=120-MOD，在EOM和DOF中OME=OFDMOE=DOFOM=OFEOM
22、DOFAAS，OE=OD【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力【知识点2 角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB【题型4 角平分线的判定】【例4】（2023春广东江门八年级台山市新宁中学校考期中）如图，在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD（OABC，直线l垂直平分AC；作ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD；(1)尺规作图补全图形；(2)判断BAD和BCD的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)BAD+BCD=180；证明见解析【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；（2）DMAB交AB于点M；作DNBC交BC的延长线于点N；构造RtDMARtDNC(HL)可得BAD=DCN；进而得出结论；【详解】（1）解：作图如下：（2）解：BAD+BCD=180 ；理由如下：如图，作DMAB交AB于点M；作DNBC交BC的延长线于点N；l 垂直平分AC DA=DC
