1、专题15.解直角三角形一、单选题1（2021浙江温州市中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形若，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解【详解】在中， 在中，故选：A【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么2（2021浙江金华市中考真题）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）A米B米C米D米【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案【详解】过点A作，如
2、图所示：，故选：A【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键3（2021湖北随州市中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ）A1米B1.5米C2米D2.5米【答案】C【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsin与AD=ABsin，两线段作差即可【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB=CE=10米，sin，在RtECD中，sin，CD=，在RtABD中，sin，AC=CD-AD=8
3、-6=2故选择C【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键4（2021湖南株洲市中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口则上述说法正确的个数为（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】C【分析】三点共线，直接计算可得；做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出；方法同【详解】如图过E点作交的延长线于点M， 则当时,三点
4、共线， 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故正确当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故正确当时， 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故错误综上所述：说法正确的为：，共2个故选：C【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键5（2021湖南衡阳市中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）A7.5米B8米C9米D10米【答案】D【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案【详解】根据题意，得：米米故选：D【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角
5、函数的性质，从而完成求解6（2021天津中考真题）的值等于（ ）ABC1D2【答案】A【分析】根据30的正切值直接求解即可【详解】解：由题意可知，故选：A【点睛】本题考查30的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可7（2021重庆中考真题）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；）A69.2米B73.1米C80.0米D85.7米【答案】D【分析】作DFAB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以
6、及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在RtADF中利用三角函数求解即可得出结论【详解】如图所示，作DFAB于F点，则四边形DEBF为矩形，,斜坡CD的坡度（或坡比）为，在RtCED中，在RtADF中，ADF=50，将代入解得：，AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，故选：D【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键8（2021云南中考真题）在中，若，则的长是（ ）ABC60D80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解【详解】解：ABC=90，sin
7、A=，AC=100，BC=10035=60，AB=80，故选D【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键9（2021山东泰安市中考真题）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60，建筑物底端B的俯角为45，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度根据小颖的测量数据，计算出建筑物的高度约为（ ）（参考数据：）A136.6米B86.7米C186.7米D86.6米【答案】A【分析】作DFAB于F点，
8、EGBC于G点，根据坡度求出DF=50，AF=120，从而分别在BEG和CEG中求解即可【详解】如图，作DFAB于F点，EGBC于G点，则四边形DFBG为矩形，DF=BG，斜坡的坡度，AD=130，DF=50，AF=120，BG=DF=50，由题意，CEG=60，BEG=45，BEG为等腰直角三角形，BG=EG=50，在RtCEG中，CG=EG=50，米，故选：A【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键10（2021重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60，测得点
9、C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（ ）（参考数据：）A9.0mB12.8mC13.1mD22.7m【答案】C【分析】分别解直角三角形和，求出NE和MB的长度，作差即可【详解】解：，DF的坡度i=1：1.25，解得，顶端M与顶端N的高度差为，故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键11（2021四川泸州市中考真题）在锐角ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：
10、（其中R为ABC的外接圆半径）成立在ABC中，若A=75，B=45，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）ABCD【答案】A【分析】方法一：先求出C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于D，由三角形内角和可求C=60，由圆周角定理可求AOB=2C=120，由等腰三角形性质，OAB=OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=【详解】解:方法一：A=75，B=45，C=180-A-B=180-75-45=60，有题意可知，S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于
11、D，A=75，B=45，C=180-A-B=180-75-45=60，AOB=2C=260=120，OA=OB，OAB=OBA=，ODAB，AB为弦，AD=BD=，AD=OAcos30，OA=，S圆=故答案为A【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键12（2020柳州市柳林中学中考真题）如图，在RtABC中，C=90，AB=4，AC=3，则cosB=（）ABCD【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐
12、角三角函数关系得出答案【详解】在RtABC中，C=90，AB=4，AC=3，故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键13（2020山东济南市中考真题）如图，ABC、FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角PBE43，视线PE与地面BE的夹角PEB20，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，ACBE，FDBE若A点到B点的距离AB1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin430.7，tan430.9，sin200.3，tan200.4）A2.6mB2.8mC3.4mD4.5m【答案】B【分析】首先证明四边形ACDF是
13、矩形，利用PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用PEB的正切值即可得答案【详解】FDAB，ACEB，DFAC，AFEB，四边形ACDF是平行四边形，ACD90，四边形ACDF是矩形，DFAC，在RtACB中，ACB90，ABE=43，ACABsin431.60.71.12（m），DFAC1.12（m），在RtDEF中，FDE90，PEB=20，tanPEB0.4，DE2.8（m），故选：B【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键14（2020贵州黔南布依族苗族自治州中考真题）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D
14、处测得旗杆顶端A的仰角为55，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）ABCD【答案】B【分析】根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可【详解】解：在中，故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用注意数形结合思想的应用15（2020辽宁大连市中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】据题意可得OAB为直角三角形，AOB=30，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长【详解】解：由已知得，AOB=9060=3
15、0，OA=200m则AB=OA=100m故选：A【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键16（2020内蒙古赤峰市中考真题）如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则CDO的正弦值是（ ）A B C D【答案】A【分析】连接BC，且BOC=90，用勾股定理求出BC的长度，CDO与OBC均为所对圆周角，所以sinCDO=sinOBC，即CDO的正弦值可求【详解】解：如下图所示，连接BC，A过原点O，且BOC=90，OB=4，OC=3，根据勾股定理可得：，又同弧所对圆周角相等，CD
16、O与OBC均为所对圆周角，CDO=OBC，故sinCDO=sinOBC=，故选：A【点睛】本题考察了勾股定理、同弧所对圆周角相等以及求角的正弦值，解题的关键在于找出CDO与OBC均为所对圆周角，求出OBC的正弦值即可得到答案17（2020江苏镇江市中考真题）如图，AB5，射线AMBN，点C在射线BN上，将ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQAB设APx，QDy若y关于x的函数图象（如图）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（）ABCD【答案】D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得APBQx，由图象可得当x9时，y2，此时点
17、Q在点D下方，且BQx9时，y2，如图所示，可求BD7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解【详解】解：AMBN，PQAB，四边形ABQP是平行四边形，APBQx，由图可得当x9时，y2，此时点Q在点D下方，且BQx9时，y2，如图所示，BDBQQDxy7，将ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，BCCDBD，ACBD，cosB，故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键18（2020吉林长春市中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的
18、夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点通过测量可得、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小下列关系式正确的是（ ）ABCD【答案】A【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；【详解】由题可知，ABD是直角三角形，,选项B、C、D都是错误的，故答案选A【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键19（2020山东威海市中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线，上若直线且间距相等，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据ABG90，AB4，可以得到BAG的正切值，再根据平行线的性质，可
19、以得到BAG，从而可以得到tan的值【详解】解：作CFl4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得GEBF，CEEF，CEGCFB，BC3，GB，l3l4，GAB，四边形ABCD是矩形，AB4，ABG90，tanBAG=，tan的值为，故选：A【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答20（2020广东深圳市中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ） A2
20、00tan70米B米C200sin70米D 米【答案】B【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及PQT的度数，进而得到PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长【详解】解：在RtPQT中，QPT=90，PQT=90-70=20，PTQ=70，即河宽米，故选：B【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键21（2020湖南娄底市中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A越来越小B不变C越来越大D无法确定【答案】A【分析】根据杠杆原理及的值随
21、着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案【详解】解：动力动力臂=阻力阻力臂，当阻力及阻力臂不变时，动力动力臂为定值，且定值0，动力随着动力臂的增大而减小，杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，又动力臂，此时动力臂也越来越大，此时的动力越来越小，故选：A【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键22（2020江苏扬州市中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】首先根据圆周角定理可知，ABC，在RtACB中，根据锐角三角函
22、数的定义求出ABC的正弦值【详解】和ABC所对的弧长都是，根据圆周角定理知，ABC，在RtACB中，AB=根据锐角三角函数的定义知，sinABC，=，故选A【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题23（2020湖南湘西土家族苗族自治州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边则点C到x轴的距离等于（ ）ABCD【答案】A【分析】作CEy轴于E解直角三角形求出OD，DE即可解决问题【详解】作CEy轴于E在RtOAD中，AOD
23、=90，AD=BC=，OAD=，OD=，四边形ABCD是矩形，ADC=90，CDE+ADO=90，又OAD+ADO=90，CDE=OAD=，在RtCDE中，CD=AB=，CDE=，DE=，点C到轴的距离=EO=DE+OD=，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键24（2019浙江中考真题）如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（ ）A B C D【答案】C【分析】根据矩形的性质得出ABCDCB90，ACBD，AOCO，BODO，ABDC，再解直角三角形判定各项即可【详解】选项A，四边形ABCD是矩形，ABCDCB90，ACBD，AOCO
24、，BODO，AOOBCODO，DBCACB，由三角形内角和定理得：BACBDC，选项A正确； 选项B，在RtABC中，tan，即BCmtan，选项B正确；选项C，在RtABC中，AC，即AO，选项C错误；选项D，四边形ABCD是矩形，DCABm，BACBDC，在RtDCB中，BD，选项D正确.故选C【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键25（2019山东中考真题）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30，则甲楼高度为（ ）A11米B（3615）米C15米D（3610）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AEBD
25、，交BD于点E；可构造RtABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高ACEDBDBE【详解】解：过点A作AEBD，交BD于点E，在RtABE中，AE30米，BAE30，BE30tan3010（米），ACEDBDBE（3610）（米）甲楼高为（3610）米故选D【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.26（2019四川绵阳市中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( )ABCD【答案】A【分析】根据正方形的面积公式可
26、得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解【详解】解：大正方形的面积是125，小正方形面积是25，大正方形的边长为，小正方形的边长为5，故选A【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出27（2019重庆中考真题）如图，AB是垂直于水平面的建筑物为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角为（点A，B，C，D，E在同一平面内）斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物A
27、B的高度约为（ ）（参考数据，）A65.8米B71.8米C73.8米D119.8米【答案】B【分析】过点E作与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论【详解】解：过点E作与点M，延长ED交BC于G，斜坡CD的坡度（或坡比），米，设，则在中，即，解得，米，米，米，米，四边形EGBM是矩形，米，米在中，米，米故选B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键三、填空题2
28、8（2021四川广元市中考真题）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点则的正切值为_【答案】【分析】由题意易得BD=4，BC=2，DBC=90，BAE=BDC，然后根据三角函数可进行求解【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，DBC=90，BAE=BDC，故答案为【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键29（2021浙江衢州市中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD
29、，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得，（1）椅面CE的长度为_cm（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，A，B两点间的距离为_cm（结果精确到0.1cm）（参考数据：，）【答案】40 12.5 【分析】（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，列比例求出CM长度，则CE=AB-CM；（2）根据图2可得，对应袋图3中求出CD长度，列比例求AB即可【详解】解：（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，椅面CE与地面平行，解得：CM=8cm，CE=AB-CM=48-8=40cm；故答案为：40；（2）在图2中，椅面CE与地面平
30、行，H是CD的中点，椅面CE与地面平行，图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，因为 ，解得：，故答案为：12.5【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键30（2021浙江绍兴市中考真题）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上若，则BC长为_cm（结果保留根号）【答案】【分析】根据题意即可求得MOD=2NOD，即可求得NOD=30，从而得出ADB=30，再解直角三角形ABD即可【详解】解：时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中
31、心在矩形ABCD对角线的交点O，MOD=2NOD， MOD+NOD=90，NOD=30，四边形ABCD是矩形，AD/BC，A=90，AD=BC，ADB=NOD=30，故答案为：【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出NOD=30是解题的关键31（2021湖北武汉市中考真题）如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上小岛到航线的距离是_（，结果用四舍五入法精确到0.1）【答案】10.4【分析】过点A作ADBC，垂足为D，根据题意，得ABC=30，ACD=60，从而得到AC=BC=12,利用s
32、in60=计算AD即可【详解】过点A作ADBC，垂足为D，根据题意，得ABC=30，ACD=60，ABC=CAB=30，AC=BC=12,sin60=，AD=AC sin60=12=610.4故答案为：10.4.【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键32（2021四川乐山市中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，于点，连接若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为_【答案】【分析】设直线y2与y轴交于G，过A作AH直线y2于H，AFy轴于F，根据平行线的性质得到ABH，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，
33、于是得到GB（n+2）（3n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论【详解】解：如图，设直线y2与y轴交于G，过A作AH直线y2于H，AFy轴于F，BHx轴，ABH，在RtABH中， ,，即= sin随BA的减小而增大，当BA最小时sin有最大值；即BH最小时，sin有最大值，即BG最大时，sin有最大值，BGCACBAFC90，GBC+BCGBCG+ACF90，GBCACF，ACFCBG，即，BG（n+2）（3n）（n）2，当n时，BG最大值故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得ACFCBG是解题的关键33（2021四川乐山市
34、中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石顶点的仰角为，那么石碑的高度的长_米（结果保留根号）【答案】【分析】先根据已知条件得出ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60AD计算即可【详解】解：由题意可知：A=30，ADB=60CAD=30ADC是等腰三角形，DA=DC又DC=5米故AD=5米在RtADB中，ADB=60AB=sin60AD=米故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键34（2021浙江中考真题）如图，已知在中，则的值是_【答案】【分析】在直角三角形
35、中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案【详解】解： ， 故答案为：【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键35（2021浙江宁波市中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，则的长为_，的值为_【答案】2 【分析】由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案【详解】解： 与关于直线对称，矩形 矩形 为的中点， 如图， 四边形都是矩形， 设 则 解得： 经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去， 故答
36、案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键36（2021四川乐山市中考真题）在中，有一个锐角为，若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为_【答案】或或2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可【详解】解：情形1：，则，是等边三角形，；情形2：，则，解得；情形3：，则，；故答案为：或或2【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键37（2021浙江杭州市中考真题）sin30的值为_【答案】【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30=38（2020贵州黔南布
37、依族苗族自治州中考真题）如图所示，在四边形中，连接，若，则长度是_【答案】10【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出【详解】解：在中，在中，故答案为：10【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键39（2020辽宁阜新市中考真题）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为_m（结果精确到，参考数据：）【答案】4.7【分析】如图所示作出辅助线，得到BAC=20，AB=5，再利用余弦的定义，得到即可解答【详解】解：如图所示，
38、过点A作AC平行于水平面，过点B作BCAC于点C，则AC为所求，由题意可知：BAC=20，AB=5，则，即，故答案为：4.7【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线，熟悉余弦的定义40（2020湖北荆州市中考真题）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了_km【答案】24【分析】过点作，设，则，在中，根据勾股定理得到，进一步求得，再根据三角函数可求，可得，从而求解【详解】解：过点
39、作，设，在中，地在正中位置，又，小张某天沿路线跑一圈，他跑了故答案为：24【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题41（2020湖北省直辖县级行政单位中考真题）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60方向，此时轮船与小岛的距离为_海里【答案】20【分析】过点A作ACBD，根据方位角及三角函数即可求解【详解】如图，过点A作ACBD，依题意可得ABC=45ABC是等腰直
40、角三角形，AB=20(海里)AC=BC=ABsin45=10(海里)在RtACD中，ADC=90-60=30AD=2AC=20 (海里)故答案为：20【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值42（2020湖北孝感市中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为_（结果保留根号）【答案】【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得【详解】如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形由图中数据可知，在中，即解得是等腰三角形则的长为故答案为：【点睛
41、】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键三、解答题43（2021青海中考真题）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即），将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图2，求此时与之间的距离（结果保留一位小数）（参考数据，）【答案】1.4米【分析】作BEAD于点E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在RtABE、RtCDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在RtMEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解【详解】解：作BEAD于点
42、E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示AB=CD，AB+CD=AD=2，AB=CD=1在RtABE中，AB=1，A=35，BE=ABsinA=0.6，AE=ABcosA0.8在RtCDF中，CD=1，D=45，CF=CDsinD0.7，DF=CDcosD0.7BEAD，CFAD，BECM，又BE=CM，四边形BEMC为平行四边形，BC=EM，CM=BE在RtMEF中，EF=AD-AE-DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，EM=1.4，B与C之间的距离约为1.4米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出
43、BC的长度是解题的关键44（2021四川成都市中考真题）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长（结果精确到1米；参考数据：）【答案】8米【分析】过E作EFMN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB= x+3.5，由tanMBF=，解得 米，可求MN=MF+F
44、N=6.5+1.68米【详解】解：过E作EFMN于F，连接EB，设MF=x米，EFN=FND=EDN=A=90，四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，MEF=45，EFM=90，MF=EF=x,FB=FE+EB=x+3.5，tanMBF=，解得 米，经检验米符合题意，MN=MF+FN=6.5+1.6=8.18米【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键45（2021山东聊城市中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300
45、米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin650.91，cos650.42，tan652.14）【答案】420米【分析】过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F由三角函数可求，可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF140,在RtADF中，利用三角函数可求DFAFtan65299.60.,可求BCBECE420（米）【详解】
46、解过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F由题意得，37在RCDE中，四边形 BEDF 是矩形，BEDF，BFDE160，AFABBF300160140.在RtADF中，DFAFtan651402.14299.60.BCBECE299.60120420（米）所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键46（2021四川广元市中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为已知操控者A和
47、小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内参考数据：，计算结果保留根号）【答案】（1）米；（2）秒【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，进而得到DH的值；（2）先利用特殊角的三角函数值求出BAC的度数，接着求出GFA的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG和GF，进而得到DF的值，最后除以无人机速度即可【详解】解：如图1，过D点作DHAB，垂足为点H，过C点作
48、CEDH，垂足为点E，可知四边形EHBC为矩形，EH=CB，CE=HB，无人机测得小区楼房顶端点C处的俯角为，测得操控者A的俯角为，DMAB，ECD=45，DAB=75，CDE=ECD=45，CE=DE，设CE=DE=HB=x，AH=45-x，DH=DE+EH=x+，在RtDAH中，DH=tan75AH=，即，解得：x=30，DH= 此时无人机的高度为米；（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C，过A点作AGDF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG=（米），；，DFAB，DFA=CAB=30，,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为（秒）；所
49、以经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等47（2021四川资阳市中考真题）资阳市为实现5G网络全覆盖，20202025年拟建设5G基站七千个如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔的高【
50、答案】（1）5米；（2）19.25米【分析】（1）过点D作DECM，根据坡度及勾股定理求DE的长度；（2）延长AB交CM于点F，过点D作DGAF，则四边形DEFG是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形【详解】解：（1）过点D作DECM斜坡的坡度为设DE=x，则CE=2.4x在RtCDE中，解得：x=5（负值舍去）DE=5即D处的竖直高度为5米；（2）延长AB交CM于点F，过点D作DGAF，则四边形DEFG是矩形GF=DE=5，CE=2.4DE=12，由题意可得：ACF=45，ADG=53设AF=CF=a，则DG=EF=a-12，AG=AF-GF=a-5在RtADG中，解得：a=3
51、3经检验：符合题意，DG=33-12=21，又斜坡的坡度为，解得：BG=8.75AB=AF-GF-BG=19.25即基站塔的高为19.25米【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型48（2021江苏宿迁市中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， =1.732)【答案】无人机飞行的高度约为14米【分析】延
52、长PQ，BA，相交于点E，根据BQE45可设BEQEx，进而可分别表示出PEx5，AEx3，再根据sinAPE，APE30即可列出方程，由此求解即可【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，由题意可得：ABPQ，E90，又BQE45，BEQE，设BEQEx，PQ5，AB3，PEx5，AEx3，E90，sinAPE，APE30，sin30，解得：x14，答：无人机飞行的高度约为14米【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形49（2021浙江嘉兴市中考真题）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如
53、图2，当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）（1）求点转动到点的路径长；（2）求点到直线的距离（结果精确到）（参考数据：，）【答案】（1）；（2）点到直线的距离约为7.3cm【分析】（1）根据题目中的条件，首先由，求出，再继续求出，点转动到点的路径长，是以为半径，为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径；（2）求点到直线的距离，实际上是过点作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求【详解】解：（1）如图，又，点转动到点的路径长（2）如图，过点作于点，
54、过点作于点在中， 在中，又，点到直线的距离约为7.3cm【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破50（2021江苏连云港市中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示已知，鱼竿尾端A离岸边，即海面与地面平行且相距，即（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角求点O到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，
55、鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面求点O到岸边的距离（参考数据：，）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH【详解】（1）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为由，即，由，即，又，即，即到岸边的距离为（2）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为由，即，由，
56、即，即点到岸边的距离为【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度51（2021浙江绍兴市中考真题）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，（1）转动连杆BC，手臂CD，使，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动
57、连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由【答案】（1）106cm；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；（2）求出端点D能够到的最远距离，进行比较即可得出结论【详解】解：（1）过点C作于点P，过点B作于点Q，如图1，在中， ，手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm（2）能理由：当点B，C，D共线时，如图2，在中，手臂端点D能碰到点M【点睛】本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分
58、析与知识应用的能力52（2021四川达州市中考真题）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）（，） 【答案】桥墩AB的高约为72.4米【分析】延长DC交AB于点E，利用直角三角形BCE计算出BE，利用直角三角形ADE计算出AE，从而AB可求【详解】解：如图所示，延长DC交AB于点E，则EDBMAED=ABM=90，ECB=CBM=30在中，ECB =30，BC=48米，（米）（米）（米）在中，（米）（米）答：桥墩AB
59、的高约为72.4米【点睛】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，熟知解直角三角形的方法和步骤是解题的关键53（2021四川凉山彝族自治州中考真题）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）【答案】（1）2米；（2）米【分析】（1）作DHCE于H，解RtCDH，即可求出DH；（2）延长AD交CE于点G，
60、解RtGDH、RtCDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在ABG中，利用正切的定义求出AB即可【详解】解：（1）过D作DHCE于H，如图所示：在RtCDH中，CH=3DH，CH2+DH2=CD2，（3DH）2+DH2=（）2，解得：DH=2或-2（舍），王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，由题意得，AGC=30，GH=，CH=3DH=6，GC=GH+CH=+6，在RtBAC中，ACB=45，AB=BC，tanAGB=，解得：AB=，即大树AB的高度为米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、
61、仰角俯角的概念是解题的关键54（2021四川广安市中考真题）如图、图分别是某种型号跑步机的实物图与示意图已知跑步机手柄与地面平行，踏板长为，与地面的夹角，支架长为，求跑步机手柄所在直线与地面之间的距离（结果精确到.参考数据：，）【答案】1.3m【分析】过C点作FGAB于F，交DE于G在RtACF中，根据三角函数可求CF，在RtCDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解【详解】解：如图，过C点作FGAB于F，交DE于GCD与地面DE的夹角CDE为15，ACD为75，ACF=FCD-ACD=CGD+CDE-ACD=90+15-75=30，CAF=60，在RtACF中，CF=AC
62、sinCAF=m，在RtCDG中，CG=CDsinCDE=1.5sin15，FG=FC+CG=+1.5sin151.3m故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形55（2021湖南邵阳市中考真题）计算：【答案】1+2【分析】根据零指数幂运算法则、绝对值符号化简、特殊角的三角函数值代入计算，然后根据同类二次根式合并求解即可【详解】解：1+2【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值化简方法，同类二次根式是解题
63、关键56（2021四川眉山市中考真题）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从处测得该建筑物顶端的俯角为24，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达处，测得顶端的俯角为45，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：，）【答案】【分析】和中有公共直角边CE，根据等腰直角三角形以及锐角三角函数的边角关系解出CE的长度，再用无人机的飞行高度减去CE即可【详解】解：过点C作交AB的延长线于点C，作于点F，如图所示：在中，在中，解得：，【点睛】本题主要考查锐角三角函数解直角三角形，熟
64、练应用锐角三角函数中边与角的关系列出比例是解决本题的关键57（2021四川眉山市中考真题）计算：【答案】【分析】依次计算“0次方”、负整数指数幂、化简等，再进行合并同类项即可【详解】解：原式=【点睛】本题综合考查了非零数的零次幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂以及二次根式的化简等内容，解决本题的关键是牢记相关计算公式等，本题易错点为对的化简，该项出现的“ -”较多，因此符号易出错，因此要注意58（2021安徽中考真题）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，求零件的截面面积参考数据：，【答案】53.76cm2【分析】
65、首先证明，通过解和，求出AE，BE，CF，BF，再根据计算求解即可【详解】解：如图，四边形AEFD为矩形， ，EF/AB， ，在中， 又 同理可得，答：零件的截面面积为53.76cm2【点睛】此题主要考查了解直角三角形，通过解和，求出AE，BE，CF，BF的长是解答此题的关键59（2021四川泸州市中考真题）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45方向上，同时位于观测点B的北偏西60方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海
66、里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间【答案】（1）观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）救援船到达C点需要的最少时间为小时【分析】（1）过C作CEAB于E，分别在RtACE和RtBCE中，解直角三角形即可求解；（2）过C作CFBD，交DB延长线于F，求得四边形BFCE为矩形，在RtCDF中，利用勾股定理即可求解【详解】（1）过C作CEAB于E，由题意得：CAE=45，CBE=90-60=30，AC=25，在RtACE中，AE=CE=AC=25=25(海里)，在RtBCE中，BC=2CE=50(海里)，BE=25 (海里)
67、，观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）过C作CFBD，交DB延长线于F，CEAB，CFBD，FBE=90，四边形BFCE为矩形，CF=BE=25 (海里)，BF=CE=25(海里)，在RtCDF中，CF=25 (海里)，DF=55(海里)，CD=70(海里)，救援船到达C点需要的最少时间为(小时)【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键60（2021四川遂宁市中考真题）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45方向， C在北偏东30方向，他从A处走
68、了20米到达B处，又在B处测得 C在北偏东60方向（1）求C的度数；（2）求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）【答案】（1）30；（2）（）米【分析】（1）作交于点，根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果（2）过点B作BGAD于G，则有，可得，可求得，再根据可得结果【详解】解：（1）如图示，作交于点，且且（2）过点B作BGAD于G在中，,在中，, 答：两颗银杏树B、C之间的距离为 米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键61（2021四川自贡市中考真题）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测
69、得办公楼底部D处的俯角是53，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30，综合楼高24米请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1，参考数据，）【答案】办公楼的高度约为10.4米【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AD的长，进而得出CD的高度【详解】解：根据题意，BDA=53，AB=24，在RtBDA中，AD=，在RtACD中，CAD=30，CD=(米)，故办公楼的高度约为10.4米【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型62（2020四川广安市中考真题）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意
70、图，己知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，A=30，另一根辅助支架DE=78cm，E=60（1）求CD的长度（结果保留根号）（2）求OD的长度（结果保留一位小数参考数据：1.414，1.732）【答案】（1）的长度为；（2）的长度为18.9cm【分析】（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在CDE中利用三角函数sin60=，求出CD的长（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=AO，再代入数计算即可得到答案【详解】解：（1）在中，答：的长度为；（2）设水箱
71、半径OD的长度为x厘米，则CO=（+x）厘米，AO=（154+x）厘米，A=30，CO=AO，+x=（154+x），解得：x=154-78154-135.09618.9cm答：的长度为18.9cm【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用和圆的基本性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和圆的半径相等是解题关键63（2020山东日照市中考真题）阅读理解：如图1，RtABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，C90，其外接圆半径为R根据锐角三角函数的定义：sinA，sinB，可得c2R，即：2R，（规定sin901）探究活动：如图2，在锐角ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，其外接圆半径为R
72、，那么： （用、或连接），并说明理由事实上，以上结论适用于任意三角形初步应用：在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，A60，B45，a8，求b综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）（1.732，sin15）【答案】探究活动：，；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m【分析】探究活动：过点C作直径CD交O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案；
73、初步应用：根据，得出，即可得出b的值；综合应用：由题意得：D90，A15，DBC45，AB100，可知ACB30设古塔高DCx，则BC，灾解直角三角形即可得出答案【详解】解：探究活动：，理由如下：如图2，过点C作直径CD交O于点D，连接BD，AD，DBC90，sinAsinD，sinD，同理可证：，；故答案为：，初步应用：，综合应用：由题意得：D90，A15，DBC45，AB100，ACB30设古塔高DCx，则BC，古塔高度约为36.6m【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键64（2020辽宁铁岭市中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的
74、高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面（点在同一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度（结果精确到1米）（参考数据）【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米【分析】（1）在RtACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度（2）在RtBCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可【详解】解：（1）垂直于桥面在中，（米）答：大桥主架在桥面以上的高度为米 （2）在中，（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米【点
75、睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提50（2020辽宁盘锦市中考真题）如图，某数学活动小组要测量建筑物的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表测量项目测量数据测角仪到地面的距离点到建筑物的距离从处观测建筑物顶部的仰角从处观测建筑物底部的俯角请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）（选择一种方法解答即可）【答案】【分析】第一种选择：选取，解直角三角形ACE求得AE，根据AE+EB即可得到结论；第二种选择：选取，先解直角三角形BCD求出BD的长，再解直角
76、三角形ACE求出AE的长，根据AE+EB即可得到结论；第三种选择：选取，求出CD和AE的长即可【详解】解：第一种选择：选取四边形为矩形在中，答：建筑物的高度约为第二种选择:选取四边形为矩形在中，在中，答：建筑物的高度的为第三种选择:选取，四边形为矩形在中， 在中， 答：建筑物的高度约为【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题65（2020云南昆明市中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测
77、量点，分段测量山的高度，再进行累加因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动如图，点A，B的水平距离d800m，测量仪AC1.5m，觇标DE2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37，测量点A处的海拔高度为1800m（1）数据6400000用科学记数法表示为 ；（2）请
78、你计算该山的海拔高度（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】（1）6.4106；（2）2399.54m【分析】（1）科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数（2）如图，过点C作CHBE于H解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可【详解】解：（1）64000006.4106，故答案为6.4106（2）如图，过点C作CHBE于H由题意ABCH800
79、m，ACBH1.5m，在RtECH中，EHCHtan37600（m），DB600DE+BH599.5（m），由题意f0.043（m），山的海拔高度599.5+0.043+18002399.54（m）【点睛】本题考查解直角三角形的应用，科学记数法等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题66（2020山东烟台市中考真题）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体（1）为了设计“测温
80、机器人”的高度，科研团队采集了大量数据下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（1860岁）女性（1855岁）抽样人数（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC100厘米，点C在点P的正下方5厘米处若
81、两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角（参考数据表）计算器按键顺序计算结果（近似值）计算器按键顺序计算结果（近似值）0.178.70.284.31.75.73.511.3【答案】（1）176，164；（2）157.4【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题；（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tanFAC，根据表格即可得出FAC，即可得出答案【详解】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，故答案为：176，164；（2）如图2中，ABAC，AFBC，BFFC50cm，FACFAB，由题意AF10cm，tanFAC5，FAC78.7，BAC2FAC157
82、.4，答：两臂杆的夹角为157.4【点睛】本题考查解直角三角形的应用，样本平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型67（2020海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度如图， 隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为（1）填空：_度，_度；（2）求隧道的长度(结果精确到米)(参考数据：)【答案】（1）30，45；（2）2729米【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可
83、；（2）过点作于点过点作于点.在中求出AM的值，在中求出NB的值，进而可求隧道的长度.【详解】解:（1）由题意知PQ/AB，A=30，B=45，故答案为：30，45；（2）过点作于点过点作于点. 则米，米，在中，.在中，(米).答:隧道的长度约为米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题68（2020山西中考真题）图是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过图是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，
84、两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一
85、个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，由点与点在同一水平线上，均垂直于地面可知，所以的长度就是与之间的距离同时，由两圆弧翼成轴对称可得在中，与之间的距离为（1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人根据题意，得解，得经检验是原方程的解 当时，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人根据题意，得解，得 经检验是原方程的
86、解答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质69（2020江西中考真题）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动（结果保留小数点后一位）（1）若，求点到直线的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度（参考数据：，）【答案】（1）；（2）【分析】（1）过点A作，根据已知条件分别求出AP
87、和PM，再相加即可；（2）根据已知条件可得，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论；【详解】（1）如图所示，过点A作，则,，又，,，又,，mm，点到直线的距离是（2）如图所示，根据题意可得，根据（1）可得，旋转的角度=【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键70（2020湖南衡阳市中考真题）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120时，感觉最舒适（如图）侧面示意图为图；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图，点、在同一直线上，（1）求的长；（2）如图，垫入散热架后，要使显示屏的
88、边缘线与水平线的夹角仍保持120，求点到的距离（结果保留根号）【答案】（1）12cm；（2）点到的距离为（12+12）cm【分析】（1）在RtAOC中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可；（2）过点O作OMAC，过点B作BEAC交AC的延长线于点E，交OM于点D，BE即为点到的距离，根据题意求出OBD=30，四边形OCED为矩形，根据BE=BD+DE求解即可【详解】解：（1），即OC的长度为12cm（2）如图，过点O作OMAC，过点B作BEAC交AC的延长线于点E，交OM于点D，BE即为点到的距离，OMAC，BEAC，BEOD，MNAC，NOA=OAC=30，AOB=120，NOB
89、=90，NOB=120，BOB=120-90=30，BCAC，BEAE，MNAE，BCBE，四边形OCED为矩形， OBD=BOB=30，DE=OC=12cm，在RtBOD中，OBD=30，BO=BO=24cm，BD= ，BE=BD+DE= ，答：点到的距离为【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型71（2019上海中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60时，箱盖落在的位置（如图2所示）
90、，已知厘米，厘米，厘米（1）求点到的距离；（2）求E、两点的距离【答案】（1）点D到BC的距离为（45+70）厘米；（2）E、E两点的距离是厘米【分析】（1）过点D作DHBC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD=AD=90厘米，DAD=60，利用矩形的性质可得出AFD=BHD=90，在RtADF中，通过解直角三角形可求出DF的长，结合FH=DC=DE+CE及DH=DF+FH可求出点D到BC的距离；（2）连接AE，AE，EE，利用旋转的性质可得出AE=AE，EAE=60，进而可得出AEE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE=AE，在RtADE中，利用勾股定理可求出AE的长
91、度，结合EE=AE可得出E、E两点的距离【详解】解：（1）过点D作DHBC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示由题意，得：AD=AD=90厘米，DAD=60四边形ABCD是矩形，ADBC，AFD=BHD=90在RtADF中，DF=ADsinDAD=90sin60=45厘米又CE=40厘米，DE=30厘米，FH=DC=DE+CE=70厘米，DH=DF+FH=（45+70）厘米答：点D到BC的距离为（45+70）厘米（2）连接AE，AE，EE，如图4所示由题意，得：AE=AE，EAE=60，AEE是等边三角形，EE=AE四边形ABCD是矩形，ADE=90在RtADE中，AD=90厘米，DE=30
92、厘米，厘米，EE=30厘米答：E、E两点的距离是30厘米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出DF的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度72（2019江西中考真题）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，（结果精确到0.1）（1）如图2，填空：_；求投影探头的端点到桌面的距离（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小（参考数据：，）【答案】（1）160，;(2) 当投影探头的端点到桌面的距离为时，为33.2【分析】（1）过点作，根据平行线的性质解答便可；过点作于点，解直角三角形求出，进而计算使得结果；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，求出，再解直角三角形求得便可【详解】解：（1）过点作，如图1，则，故答案为160；过点作于点，如图2，则，投影探头的端点到桌面的距离为：；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图3，则，【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形
