1、几何最值之将军饮马巩固练习1.如图所示，在四边形ABCD中，A90，C90，D60，AD3，AB，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则BMN的周长最小值为（ ）A. B. C. 6D. 3【解答】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B和点B，连接BB交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M和N（不同于点M和N），连接MB，MB，NB和NB，如图1所示：BBMBMNNB，BMBM， BNBN，BMMNBNBB，又BBBMMNNB，MBMB，NBNB，NBNM BM BMMNBN，NBNMBM时周长最小；连接DB，过点B作BHDB于BD的延长线于点H，如
2、图示2所示：在RtABD中，AD3，AB，230，530，DBDB，又ADC1260，130，730，DBDB，BDB1257120，DBDBDB，又BDB6180，660，HD，HB3，在RtBHB中，由勾股定理得：BB，NBNMBM6，故选C.2.如图，在四边形ABCD中，DAAB，DA6，BC150，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BPPQ最小值是( )A. 12B. 15C. 16D. 18【解答】D【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EBEF，BC150，BEC30，BEF60，BEF是等边三角形，连接BP，P
3、F，PQ，则BPFP，BPQPFPPQ，当F，P，Q在同一直线上且FQEB时，BPPQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，DAAB.DA6，AE ，RtQEF中，FQAE18，BPPQ最小值值为18，故选D.3.如图，等边ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AMCN，连接BM、BN，当BMBN最小时，MBN 度.【解答】30【解析】作CHBC，使得CHBC，连接NH，BH，如图所示：ABC是等边三角形，ADBC，CHBC，DACDAB30，ADCH，HCNCADBAM30，AMCN，ABBCCH，ABMCHN（SAS），BMHN，BNHNBH，B，N，
4、H共线时，BMBNNHBN的值最小，当B，N，H共线时，如图所示：ABMCHN，ABMCHBCBH45，ABD60，DBM15，MBN451530，当BMBN的值最小时，MBN30.4.如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PCPD的最小值为 .【解答】【解析】如图，作PMAD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设AM，四边形ABC都是矩形，AB/CD， AB CD4， BCAD6，2，AM2，DMEM4，在RtECD中，PM垂直平分线段DE，PDPE，PCPDPCPEEC，PDPC，PDPC的最小值为.5.如图，在ABC中，ACB90，点D是
5、直线BC上一点.（1）如图1，若ACBC2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求CMD周长的最小值；（2）如图2，若AC4，BC8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段CD的长度；若不存在，请说明理由.【解答】（1）CMD周长的最小值为；（2）存在，详细见解析【解析】（1）如图，作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，此时，CMD周长的值最小，ACBC，ACB90，BCE45，连接BE，BCBE2，CBE是等腰直角三角形，CMD周长的最小值 ；（2）存在，AC4，BC8，当AD1AB时，AD1B的等腰三角形，ACBC，CD1BC8当BD2
6、AB 时，AD2B是等腰三角形，当AD3D3B时，AD3B的等腰三角形，BD38CD3，解得CD23，当BD4AB 时，AD4B的等腰三角形，CD48 ，综上所述，以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8或8或3或8.6.如图，在锐角三角形ABC中，BC4 ，ABC45，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CMMN的最小值.【解答】4【解析】如图所示，过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC于N，则CE即为CMMN的最小值.BC，ABC45，BD平分ABC，BCE是等腰直角三角形，故CMMN的最小值为4.7.如图，在平行四边形ABCD中，BD是对
7、角线，ADB90，E、F分别为边AB、CD的中点.（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若BE4，DEB120，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PFPM的最小值.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：平行四边形ABCD中，ADBC，DBCADB90，ABD中，ADB90，E时AB的中点，DEABAEBE，同理，BFDF，平行四边形ABCD中，ABCD，DEBEBFDF，四边形DEBF是菱形；（2）连接BF，如图所示：菱形DEBF中，DEB120，EBF60，BEF是等边三角形，M是BF的中点，EMBF，则，即PFPM的最小值是.8.已知：矩形ABCD中，AD2AB，AB
8、6，E为AD中点，M为CD上一点，PEEM交CB于点P，EN平分PEM交BC于点N.（1）求证：PEEM；（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点P作PGEN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DKKGPG的最小值.【解答】（1）见解析；（2）BP2NC2PN2；（3）【解析】（1）证明：过P作PQAD于Q，则PQAB，如图所示：AD2AB，E为AD中点，AD2DE，PQDE，PEEM，PQEDPEM90，QPEPEQPEQDEM90，QPEDEM，PQEEDM（ASA），PEEM；（2）三者的数量关系是：BP2NC2PN2点N与点C重合时，P为BC的中
9、点，显然BP2NC2PN2成立；点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2NC2PN2成立；证明：连接BE、CE，如图所示：四边形ABCD为矩形，AD2AB，E为AD中点，AABC90，ABCDAEDE，AEB45，DEC45，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS），BEC90，BECE，EBCECB45，EBCECD，又BECPEM90，BEPMEC，EBPECM在BEP和CEM中，BEPCEM（ASA），BPMC，PEME，EN平分PEM，PENMEN45，在EPN和EMN中，EPNEMN（SAS），PNMN，在RtMNC中有：MC2NC2MN2，BP2NC2PN2；（3）连接PM，如图所示：由（2），可得PN MN， PE ME，EN垂直平分PM，PGEN，P、G、M三点共线，且G为PM的中点，K为EM中点，又D90，由（2），可得PEM为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得，当ME取得最小值时，DKGKPG取得最小值，即当MEDE6时，DKGKPG有最小值，最小值为.
