1、几何最值之将军饮马巩固练习（基础）1.如图，正方形ABEF的面积为4，BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PCPE最小，则这个最小值的平方为（ ）A. B. C. 12D. 【解答】B【解析】连接AC、AE，过点C作CGAB，如图所示：正方形ABEF，AEBF,OAOE，即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EPCP的值最小，EPCPAC，正方形ABEF的面积为4，BCE是等边三角形，ABBE2，BEBC2，在RtBCG中，CBG906030，BC2，CG1，即这个最小值的平方为.2.如图，在ABC中，ABAC,AC的垂直平分线交AC于点N
2、，交AB于点M，AB12，BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PAPB的最大值为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 2【解答】B【解析】MN垂直平分AC，MAMC，又BMMCBC20，BMMAAB12，BC20128，在MN上取点P，MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，PAPC，PAPBPCPB，在PBC中PCPBBC当P、B、C共线时（PCPB）有最大值，此时PCPBBC8，故选B.3.如图，在MON的边OM,ON上分别有点A,D，且MON30，OA10，OD6，B，C两点分别是边OM,ON上的动点，则ACBCBD的最小值为 .【解答】【解析】作点D关于OM的对称点D，
3、作点A关于ON的对称点A，连接AD，与OM,ON的交点就是点B、C，如图所示：此时ACBCBDACBCBDAD为最短距离。连接OD，OA，根据对称性可知：OAOA,ODOD，AOA60，DOD60，AOA和DOD是等边三角形，ODOD6，OAOA10，AOD90，根据勾股定理，得，ACBCBD的最小值为.4.如图，在菱形ABCD中，AB6，ABC60，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN2，点M在BC上且BMBC,P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为 .【解答】2【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N，连接PN,MN，根据轴对称性质可知，PNPN，PMPNPMPNMN，当P,
4、M,N三点共线时，取“”,在菱形ABCD中，AB6，ABC60，AC6，O为AC中点，AOOC3，AN2，ON1，ON1，CN2，AN4，CMABBM642，PMABCD，CMN60，NCM60，NCM为等边三角形，CMMN2，即PMPN的最大值为2.5.如图，在菱形ABCD中，AB，A120，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PKQK的最小值为 .【解答】【解析】过点C作CEAB，如图所示：菱形ABCD中，AB2，A120，ABC60，BC2，BD平分ABD，BE，CEBE，BD平分ABD，在AB上作点P关于BD的对称点P，PKQKPKKQ，当P,K,Q三点共线且PQAB
5、时，PKQK有最小值，即最小值为平行线AB,CD的距离，则最小值为.6.如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE2，当EFCF取得最小值时，则ECF的度数为多少？【解答】ECF30【解析】过E作EMBC，交AD于N，如图所示：AC4，AE2，EC2AE，AMBM2，AMAE，AD是BC边上的中线，ABC是等边三角形，ADBC，EMBC，ADEM，AMAE，E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EFCF的值最小，ABC是等边三角形，ACB60，ACBC，AMBM，ECFACB30.7.如图，在ABC中，已知ABAC,AB的垂
6、直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB.（1）若ABC70，则NMA的度数是 度；（2）若AB8，MBC的周长是14.求BC的长度；若点P为直线MN上一点，请你直接写出PBC周长的最小值.【解答】（1）NMA50；（2）BC6，最小值为14【解析】（1）ABAC，CABC70，A40，AB的垂直平分线交AB于点N，ANM90，NMA50；（2）MN是AB的垂直平分线，AMBM，MBC的周长BMCMBCAMCMBCACBC，AB8，MBC的周长是14，BC1486；当点P与M重合时，PBC周长的值最小，理由：PBPCPAPC,PAPCAC，P与M重合时，PAPCAC，此时PBPC最小，PB
7、C周长的最小值ACBC8614.8.如图，在四边形ABCD中，BCAD,BC AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，ACCD，连接BE、CE、CF.（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB4，D30，点P为BE上的动点，求PAF的周长的最小值.【解答】（1）菱形；（2）【解析】（1）四边形ADCE是菱形，理由如下点E是AD的中点，AE ADBC AD，AEBCBCAD，即DCAE，四边形ABCE是平行四边形，ACCD，点E是AD的中点，CEAEDE，四边形ABCE是菱形；（2）由（1）得，四边形ABCE是菱形AEECAB4，且点A、C关于BE对称，点F是AE的中点，AF
8、AE2，当PAPF最小时，PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，PAF的周长最小，此时PAF的周长PAPFAFCFAF，在RtACD中，点E是AD的中点，则CEDE，ECDD30，ACE903060ACE是等边三角形，ACAECE4，AFEF,CFAE，PAF的周长最小CFAF .9.如图，在ABC中，ABAC,AD是中线，且AC是DE的中垂线（1）求证：BADCAD；（2）连接CE，写出BD和CE的数量关系，并说明理由；（3）当BAC90，BC8时，在AD上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求BCP的面积.【解答】（1）见解析；（2）BDCE；（3）8【解析】（1）AB
9、AC,AD是中线，BADCAD；（2）BDCE.理由：AD是中线，BDCD，AD,AE关于AC对称，CDCE，BDCE；（3）连接BE交AD于点P，此时PEPC的值最小，如图所示：ABAC，BAC90，BDDC4，ADAE4，由题意AEBD,AEADBD，四边形ABDE是平行四边形，PAPD2，PDBC，.10.如图，在ABC中，ACB90，以AC为边在ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE（1）说明：AECEBE；（2）若DAAB,BC6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PBPC最小，并求出此时PBPC的值.【解答】（1）见解析；（2）12【解析】（1）ADC是等边三角形，DFAC，DF垂直平分线段AC，AEEC，ACECAE，ACB90，ACEBCE90CAEB90，BCEB，CEEB，AECEBE；（2）连接PA,PB,PC，如图所示：DAAB，DAB90，DAC60，CAB30，B60，BCAEEBCE6.AB12，DE垂直平分AC，PCAP，PCPBPA，当PBPC最小时，也就是PBPA最小，即P,B,A共线时最小，当点P与点E共点时，PBPC的值最小，最小值为12.
