1、专题14 反比例函数 【专题目录】技巧1：求反比例函数表达式的六种方法技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用【题型】一、反比例的定义【题型】二、反比例函数的图象【题型】三、反比例函数的性质【题型】四、求反比例函数解析式【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义【题型】六、反比例函数与一次函数综合【题型】七、实际问题与反比例函数【考纲要求】1、理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式2、会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质3、能用反比例函数解决某些实际问题.【考点总结】一、反比例函数的概念反比例函数的概念反比例函数
2、的定义如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k0)的形式，那么称y是x的反比例函数.二次函数的图象及性质图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.【考点总结】二、反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质反比例函数(k0,k为常数)的图象和性质函数图象所在象限性质(k0,k为常数)k0一、 三象限(x,y同号)在每个象限内,y随x增大而减小k0，b0 Bk0 Ck0，b0，b0【类型】二、反比例函数与一次函数的图象与性质3如图，正比例函数y1k1x和反比例函数y2的图象交于A(1，2)，B两点，给出下列结论：k1k
3、2；当x1时，y1y2时，x1；当x0)的图象如图所示，则以下结论：两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；当x2时，y1y2；当x1时，BC2；两函数图象构成的图形是轴对称图形；当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小其中正确结论的序号是_【类型】三、反比例函数与一次函数的有关计算题型1：利用点的坐标求面积5如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2xn与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y在第一象限内交于点C(1，m)(1)求m和n的值；(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y交于点P，Q，求APQ的面积题型2：利用面积求点的坐标6如
4、图，A，B(1，2)是一次函数y1axb与反比例函数y2图象的两个交点，ACx轴于点C，BDy轴于点D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1y20?(2)求一次函数表达式及m的值(3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若PCA和PDB面积相等，求点P的坐标参考答案1A2.C3C点拨：把点A(1，2)的坐标分别代入yk1x，y中，得k12，k22.所以是错误的，易知点B的坐标为(1，2)，由图象可知，是正确的，当y1y2时，x1或1x0，所以是错误的，故选C.45解：(1)把C(1，m)的坐标代入y，得m，m4.点C的坐标为(1，4)把C(1，4)的坐标代入y2xn，得42
5、1n，解得n2.(2)对于y2x2，令x3，则y2328，点P的坐标为(3，8)令y0，则2x20，得x1，点A的坐标为(1，0)对于y，令x3，则y.点Q的坐标为.PQ8，AD314.APQ的面积ADPQ4.点拨：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的表达式，解答这类题通常运用方程思想6解：(1)在第二象限内，当4x0.(2)双曲线y2过A，m42.直线y1axb过A，B(1，2)，解得y1x.(3)设P，过P作PMx轴于M，PNy轴于N，PMn，PNn.SPCASPDB，ACCMBDDN，即(n4)1，解得n.P点坐标为.【题型讲解】【题型】一、反比例的定义例1、反比例函数经
6、过点，则下列说法错误的是（ ）AB函数图象分布在第一、三象限C当时，随的增大而增大D当时，随的增大而减小【答案】C【提示】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一提示即可【详解】将点（2,1）代入中，解得：k=2，Ak=2，此说法正确，不符合题意；Bk=20,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；Ck=20且x0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；Dk=20且x0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C【题型】二、反比例函数的图象例2、已知点，都在反比例函数的图像上，且，则，的
7、大小关系是（ ）ABCD【答案】A【提示】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，的大小关系【详解】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限，观察图像：当时，则故选A【题型】三、反比例函数的性质例3、已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）ABCD【答案】B【提示】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可【详解】解： 观察图像可得，所以，符合题意；观察图像可得，所以，不符合题意；观察图像可得，所以，不符合题意；观察图像可得，所以，符合题意；综上，其中符合的是，故答案为：B【题型】四、求反比例函数解析式例4、已知反比例函数的图象经过点(
8、2，4)，那么这个反比例函数的解析式是()Ay=By=Cy=Dy=【答案】D【提示】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可【详解】解：设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-故选：D【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义例5、如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（ ）ABC3D4【答案】D【提示】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用ADO的面积建立方程求出，即可得出结论【详解】点A的坐标为（m，2n），D为AC的中点，D（m，n），AC轴，ADO的面积
9、为1，故选：D【题型】六、反比例函数与一次函数综合例6、如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ）A B或 C D或【答案】D【提示】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可【详解】解：函数与的图象相交于点两点，不等式的解集为：或，故选：D【题型】七、实际问题与反比例函数例7、南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天设每天打通土石方x千立方米（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方
10、比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？【答案】（1）（0x600）；（2）实际挖掘了500天才能完成首期工程【提示】（1）根据“工作时间=总工作量每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可【详解】解：（1）共有土石方总量600千立方米，（0【分析】根据反比例函数的性质即可求得答案【详解】解：由题意得，则当时，；当时，故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握当时反比例函数的性质是解题的关键 7当时，函数的值是_【答案】-2【分析】把代入函数的解析式进行计算即可【详解】解
11、：由题意得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求反比例函数的函数值，正确理解自变量与函数值之间的关系成为解答本题的关键三、解答题8如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上(1)求点B的坐标(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积【答案】(1)点B的坐标为（3，2）(2)16【分析】（1）利用A的坐标得到B的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标；（2）过点B作轴交AC于点D，根据反比例函数的中心对称性得到C的坐标，从而求得直线AC解析式，进而求得D点坐标，然后根据求得即可
12、（1）点A的坐标为（1，6），点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到，点B的横坐标为3，将代入中，得，点B的坐标为（3，2）；（2）过点B作轴交AC于点D，如图所示，由题意，可知点C与点B关于原点对称，点C的坐标为（3，2），设直线AC解析式为y=kx+b，将A、C代入得，解得，直线AC的解析式为，由题意，易得点D的纵坐标为2，将代入中，得，点D的坐标为（1，2），【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键反比例函数（提升测评）一、单选题1如图，直线AB交x轴于点C，交反比例
13、函数y（a1）的图像于A、B两点，过点B作BDy轴，垂足为点D，若SBCD5，则a的值为（）A8B9C10D11【答案】D【分析】设，由SBCD=即可求解.【详解】解：设，BDy轴SBCD=5，解得：故选：D【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键2已知一次函数与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是()ABC或D【答案】C【分析】构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式进行求解【详解】解：由，消去得到：，一次函数与反比例函数的图象有2个公共点，即，或，故选：C【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题3关于函数，
14、下列说法中正确的是（）A图像位于第一、三象限B图像与坐标轴没有交点C图像是一条直线Dy的值随x的值增大而减小【答案】B【分析】根据反比例函数的图像和性质即可判断【详解】解：在y=-中，k=-20，图像位于第二、四象限，图像是双曲线，在每一象限内，y随着x增大而增大，故A，C，D选项不符合题意，x0，y0，函数图像与坐标轴没有交点，故B选项符合题意，故选：B【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键4已知函数，当时，随增大而减小，则关于的方程的根的情况是()A有两个正根B有一个正根一个负根C有两个负根D没有实根【答案】B【分析】先根据反比例函数的性
15、质求出ab0，再根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断即可【详解】解：当时，随增大而减小，ab0，方程有两个不相等的根，方程有一个正根一个负根故选：B【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是求出ab05如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（）ABCD【答案】B【分析】根据反比例函数的增减性即可得到答案【详解】解：反比例函数y=的图象在每一象限内随的增大而减小，而A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=第一象限的图象上， 故选B【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“的
16、图象当时，图象在每一象限内随的增大而减小”是解本题的关键二、填空题6如图，A、B是双曲线y上的两个点，过点A作ACx轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为_【答案】8【分析】设根据中点坐标公式和ODC的面积确定mn=16，再结合反比例函数比例系数k的几何意义即可求解【详解】解：设D为OB中点，ACx轴，ODC的面积为1，mn=8点B在反比例函数上，k=mnk=8故答案为：8【点睛】本题考查中点坐标公式，根据图形面积求反比例函数比例系数k，熟练掌握这些知识点是解题关键7已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为_（用“”连接）【答案】【分析】分别将
17、点代入反比例函数解析式中，求出的大小进行比较即可【详解】解：将点代入反比例函数中，可得：，故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数值的大小比较，解本题的关键在熟练掌握代入法和有理数比大小的方法当然本题也可以利用反比例函数的性质来进行比较三、解答题8如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式：(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC的面积【答案】(1)反比例函数解析式为 ，次函数解析式为(2)x4或-1x0(3)【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B的坐
18、标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；（3）过C点作CDy轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据 即可求出答案（1）解：反比例函数y的图象经过点A（4，1）， ，反比例函数解析式为 ，又点B（1，n）在反比例函数上， ，B的坐标为（-1，-4），把A（4，1），B（1，-4）代入 ，得 ，解得 ，一次函数解析式为 ；（2）解：由图象及交点坐标可知：当x4或-1x0时，k1x+b；（3）解：过C点作CDy轴，交直线AB于D，B（-1，-4），B、C关于原点对称，C（1，4），把x=1代入y=x-3，得y=-2，D（1，-2），CD=6，【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用
