1、专题13 最值模型-瓜豆原理动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“
2、瓜豆原理”。模型1、运动轨迹为直线模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线模型1-2如图，在APQ中AP=AQ，PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连
3、接即得Q点轨迹线段。【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。例1（2021四川绵阳中考真题）如图，在中，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（）ABCD
4、例2（2021四川广元中考真题）如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是（）AB1CD例3（2022湖北鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（）ABCD例4（2022山东日照中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是_例5（2022福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋
5、转，得到点，连接，则最小值为_例6（2022河南南阳二模）如图所示，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，连接CE，则CE长的最小值是_【模型解读】模型2、运动轨迹为圆弧模型2-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点Q点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【总结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：
6、AM=AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系模型2-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP，Q点轨迹是？ 【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM模型2-3. 如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点
7、轨迹是？ 【分析】考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下：见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形；见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形。例1（2022四川乐山三模）
8、在RtABC中，C90，AC10，BC12，点D为线段BC上一动点以CD为O直径，作AD交O于点E，则BE的最小值为（）A6B8C10D12例2（2021山东威海中考真题）如图，在正方形ABCD中，E为边AB上一点，F为边BC上一点连接DE和AF交于点G，连接BG若，则BG的最小值为_例3（2021四川达州中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为_例4（2022广东二模）如图，在中，AB是的直径，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为_例5（2022山东二模）如图，中，点是上的点，将沿翻折，得到，过点作
9、交的平分线于点，连接，则长度的最小值为_例6（2022广西贵港三模）如图，在ABC中，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则AEB面积的最小值是（）ABC2D例7（2020四川成都市中考真题）如图，在矩形中，分别为，边的中点动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_，线段长度的最小值为_课后专项训练1（2022安徽合肥市三模）如图，在RtABC纸片中，ACB90，AC4，BC3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将BDE沿DE翻折，使点B
10、落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（）ABCD2（2022贵州毕节中考真题）如图，在中，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_3（2022广东东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，BAP45，ABAP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _4（2022广东乐昌市二模）如图，ABC中，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_5（2022江苏宿迁三模）如图在ABC中，ACB90，A30，BC2D是AB上一动点，以D
11、C为斜边向右侧作等腰RtDCE，使CED90，连接BE，则线段BE的最小值为_6（2022广东珠海市三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点连接，将线段绕点C逆时针旋转 90得到，连接，则的最小值是_7（2022陕西师大附中三模）如图，正方形中，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为_8（2022浙江绍兴二模）如图，在ABC中，AB5，BC=3，AC4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，PQC90，则RtPQC的外心运动的路径长为 _，BQ的最小值为 _9（2022江苏盐城三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-
12、3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt，使得，连接线段，则线段的最小值为_10（2022江苏连云港二模）如图，在中，D是斜边AC的中点，E，F分别是AB，BC上的动点，且，连接EF，G为EF的中点，则点E，F在运动过程中，DG的最小值为_米11（2022河南二模）如图，正方形中，点坐标为，连接，点为边上一个动点，连接，过点作于点，连接，当取最小值时，点的纵坐标为（）ABCD12（2022山东临沂二模）如图，正方形ABCD的边长为，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值
13、为（）ABCD13（2022安徽三模）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（）A2BC3D14（2022江苏徐州市三模）如图，中，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为_15（2022广东深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BFFG，则CG的最小值为_16（2022广东测试编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是_17（2022河南洛阳二模）如图，正
14、方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（）ABCD18（2022湖北鄂州二模）如图，在RtABC中，C90，AB10，BC8，点F是AC上一点，且AFFC21，点E是边BC上一动点将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（）A1.2B1CD3.219（2022广东湖景中学一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（）A5BCD20（2022全国九年级课时练习）如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为_
