1、专题12 胡不归求最值问题1（2021江苏苏州市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx22xc的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PDPC的最小值是（ ）A4B22C2D【答案】A【分析】过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H根据，求出的最小值即可解决问题【详解】解：过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H二次函数yx22x+c的图象与y轴交于点B（0，3），c3，二次函数的解析式为yx22x3，令y0，x22x30，解得x1或3，A（1，0），B（3，0），OBOC3，BOC90，OBCOCB45，D
2、（0，1），OD1，BD4，DHBC，DHB90，设，则,，PJCB，DP+PJ的最小值为，的最小值为4故选：A【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题2（2021广东广州九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D，且与轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），P为抛物线对称轴上的动点，则的最小值是_【答案】【分析】先把抛物线的解析式化为顶点式，则有点D的坐标为，假设对称轴与x轴的交点为C，连接BD，过点P作PHBD于点H，过点A作AMBD于点M，根据题意易得BC=3，由勾股定理可得BD=6，进而可
3、得CDB=30，则，所以把求的最小值转化为求的最小值，最后由点A、P、H三点共线时取最小，即为AM的长，则问题可求解【详解】解：由抛物线可得，点D的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为，假设对称轴与x轴的交点为C，连接BD，过点P作PHBD于点H，过点A作AMBD于点M，如图所示：AB=6，BC=3，在RtDCB中，BDC=30，DBC=60，的最小值即为的最小值，当点A、P、H三点共线时有最小值，即为AM的长，的最小值为；故答案为【点睛】本题主要考查二次函数的几何综合及三角函数，关键是由“胡不归”法进行求解最值，然后利用三角函数进行求解线段的长3（2021江苏苏州中考二模）已知抛物线（为常数，
4、）经过点，点是x轴正半轴上的动点点在抛物线上，当的最小值为时，b的值为_【答案】4【分析】将点A（1，0）代入yx2bx+c，求出cb1，将点Q（，yQ）代入抛物线yx2bxb1，求出Q纵坐标为，可知点Q（，）在第四象限，且在直线xb的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QHx轴于点H，则点H（b+，0），在RtMQH中，可知QMHMQH45，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM，所以（）（1）+2 （b+）（），解方程即可【详解】解：抛物线yx2bx+c经过点A（1，0），1+b+c0，即cb1，yx2bxb1，点在抛
5、物线上，点Q（，）在第四象限，且在直线xb的右侧，AM+2QM2（AM+QM），点，可取点N（0，1），则AOON1，又AON90，OAN45，如图，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由GAM45，得AMGM，则此时点M满足的值取得最小值，符合题意，过点Q作QHx轴于点H，则点H（b+，0），在RtMQH中，可知QMHMQH45，QHMH，QMMH，点M（m，0），0（）（b+）m，解得，m，AM+2QM， （）（1）+2 （b+）（），b4，故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求函数关系式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程，解直角三角形等相关知识
6、，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解4已知抛物线yax2bxc与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tanCBD，如图所示（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EFPE交抛物线于点F，连接FB、FC，求BCF的面积的最大值；连接PB，求PCPB的最小值【答案】（1）；（2）；【详解】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x5），可得对称轴为直线x2，由锐角三角函数可求点C坐标，代入解析式可求解析式；（2）先求出直线BC解
7、析式，设P（2，t），可得点E（5t，t），点，可求EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；根据图形的对称性可知ACDBCD，ACBC5，过点P作PGAC于G，可得PGPC，可得，过点B作BHAC于点H，则PG+PBBH，即BH是PC+PB的最小值，由三角形面积公式可求解答案详解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x5），抛物线的对称轴为直线x2，D（2，0），又，CDBDtanCBD4，即C（2，4），代入抛物线的解析式，得4a（2+1）（25），解得 ，二次函数的解析式为 x2；（2）设P（2，t），其中0t4，设直线BC的解析式为 ykx+b，解得 即直线BC
8、的解析式为 ，令yt，得：，点E（5t，t），把 代入，得 ，即，BCF的面积EFBD（t），当t2时，BCF的面积最大，且最大值为；如图，据图形的对称性可知ACDBCD，ACBC5，过点P作PGAC于G，则在RtPCG中，过点B作BHAC于点H，则PG+PBBH，线段BH的长就是的最小值，又，即，的最小值为5（2021四川德阳五中九年级月考）如图，已知一条直线过点（0，4）且与抛物线yx2交于A，B两点，其中点B的横坐标是8（1）求这条直线AB的函数关系式及点A的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，写出点C的坐标，若不存在，请说明理由（3）过线段AB上一点P，作
9、PMx轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？【答案】（1）yx+4，A点的坐标为（2，1）；（2）存在，点C的坐标为（，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；（2）如图1，连接AC，BC，然后分若BAC90，则AB2+AC2BC2；若ACB90，则AB2AC2+BC2；若ABC90，则AB2+BC2AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；（3）设M（
10、a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在RtMQN中，由勾股定理得MNa2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x，从而得到MN+3PMa2+3a+9，确定二次函数的最值即可【详解】解：（1）点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为2，y（2）21，A点的坐标为（2，1），设直线的函数关系式为ykx+b，将（0，4），（2，1）代入得，解得直线yx+4，直线与抛物线相交，x+4x2，解得：x2或x8，当x8时，y16，点B的坐标为（8，16）；（2）如图1，连接AC，BC，由A（2，1），B（8，16）可求得AB2325设点C（m，0），同理可得AC2（m+2）2+12m2+4m+5，BC
11、2（m8）2+162m216m+320，若BAC90，则AB2+AC2BC2，即325+m2+4m+5m216m+320，解得：m；若ACB90，则AB2AC2+BC2，即325m2+4m+5+m216m+320，解得：m0或m6；若ABC90，则AB2+BC2AC2，即m2+4m+5m216m+320+325，解得：m32；点C的坐标为（，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）设M（a，a2），P（x，）如图2，设MP与y轴交于点Q，在RtMQN中，由勾股定理得又点P与点M纵坐标相同，点P的横坐标为，MPa，又268，当，取到最大值18，当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最
12、大值是18【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解6（2021广东南沙中考一模）已知，抛物线ymx2x4m与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C点D（n，0）为x轴上一动点，且有4n0，过点D作直线1x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NPAC于点P点E在第三象限内，且有OEOD（1）求m的值和直线AC的解析式（2）若点D在运动过程中，ADCD取得最小值时，求此时n的值（3）若点ADM的周长与MNP的周长的比为56时，求AECE的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【分析
13、】（1）利用待定系数法将A（4，0）代入ymx2x4m，求出m的值，即可求得抛物线解析式，令，求出点C的坐标，设直线AC的解析式为，将A、C的坐标代入即可求出答案；（2）在x轴上方作射线AM，使，过点D作于K，当C、D、K在同一条直线上时，最小，即取得最小值时，应用三角函数定义即可求出答案；（3）根据ADM的周长与的周长的比为56，可得出，建立方程求出n的值，再y轴上取一点R，使得，连接AR，再AR上取一点E使得OE=OD，构造相似三角形，可以证明AR就是的最小值【详解】解：（1）抛物线ymx2x4m与x轴交于点A（4，0），解得：，抛物线解析式为，令，得，设直线AC的解析式为，解得：，直线A
14、C的解析式为（2）A（4，0），为x轴上一动点，且，在x轴上方作射线AM，使，过点D作于K，如图1，当C、D、K在通一条直线上时，AD+DK最小，即取得最小值时，即，；（3）轴，ADM的周长与的周长的比为56，解得：(舍去)，如图2中，在y轴上取一点R，使得，连接，在上取一点E使得，当共线时，此时最小，的最小值【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数图像和性质、二次函数图像与性质，最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AR就是的最小值；题目综合性很强，难度大，对学生数学能力考查较全面，属于中考压轴题7（2021内蒙古包头中考三模）如图，抛物线yx2+bx+c
15、与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DEx轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m求DF+HF的最大值；连接EG，若GEH45时，求m的值 【答案】（1）yx2+2x+3；（2）；m1或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设D（m，m2+2m+3），F（m，m+3），则（m2+2m+3）（m+3）+2m，进而求解；由GEHEFH，EHF是公共角得到EHGFHE，则，得到，进而求解【详解】解：（1）设抛物线的表达式为ya（xx1）（xx2），
16、而 将点A、B的坐标代入上式得：y（x+1）（x3）x2+2x+3，故答案为：yx2+2x+3；（2）当x0时，yx2+2x+33，点C（0，3）设直线BC的解析式为ymx+n，把B（3，0），C（0，3）代入，得，解得，BC的解析式为：yx+3OBOC3，OBCOCB45作FKy轴于点K，又FHBC，KFHKHF45，设D（m，m2+2m+3），F（m，m+3），（m2+2m+3）（m+3）+2m，整理得：，由题意有0m3，且，10，当时，取最大值，的最大值为；作GMy轴于点M，记直线FH与x轴交于点NFKy轴，DEx轴，KFH45，EFHENF45，EFENKHFONH45，OHONyx2
17、+2x+3的对称轴为x1，MG1，KHF45，GEH45，GEHEFH又EHF是公共角，EHGFHE，在RtONH中，OHON|OEEN|OEEF|m（m+3）|2m3|，OEm，在RtOEH中，HE2OE2+OH2m2+（2m3）25m212m+9，5m212m+92m，解得m11，【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系8（2021四川成都市石室联合中学九年级开学考试）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物
18、线于点，过点作于点（1）求的值和直线的函数表达式；（2）设的周长为，的周长为，若，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；（2）由PNMANE，推出，列出方程即可解决问题（3）在y轴上 取一点M使得OM=，构造相似三角形，可以证明AM就是的最小值【详解】解：（1）令，则，或，抛物线与轴交于点，设直线解析式为，则，解得，直线解析式为；（2）如图1中，抛物线解析式为，解得；（3）如图2中，在轴上 取一点使得，连接
19、，在上取一点使得，此时最小（两点间线段最短，、共线时），最小值【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM就是的最小值，属于中考压轴题9（2021广东深圳外国语学校九年级期末）如图1，抛物线（）与轴交于点，与轴交于点，在线段上有一动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点（1）分别求出抛物线和直线的函数表达式；（2）连接、，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；（3）如图2，点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，求的最小值【答案】（1）抛物线，直线解析式为；（2）；（3）【分析】(1)用待定系数法即可求
20、解；(2)由S=SPNA+SPNB=PNOA= =- x2+6x，即可求解；(3)在y轴上取一点M使得0M=，构造相似三角形，可以证明AM就是EA+EB的最小值 .【详解】解：（1）抛物线（）与轴交于点与轴交于点，则有，解得，抛物线，令，得到，解得：或，设直线解析式为，则，解得，直线解析式为；（2）如图1中，设，则点，则设面积为，则，故有最大值，当时，的最大值为6，此时；（3）如图，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得OE=OE，此时最小（两点间线段最短，、共线时），最小值【点睛】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找
21、到线段AM就是EA+ EB的最小值，属于中考压轴题.10（2021四川资阳中考真题）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结当的值最小时，求的长【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数
22、图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）对于二次函数，当时，解得或，设点的坐标为，点的坐标为，解得，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，将点代入得：，解得或，当时，此时，当时，此时，综上，点的坐标为或；（3）二次函数的顶点坐标为，设点的坐标为，解得，则平移后的二次函数的解析式为，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，如图，连接，过点作于点，过点作于点，交
23、于点，连接，轴，由两点之间线段最短得：的最小值为，由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，则点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，解得，则，【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键11（2021江苏锡山九年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为(1,0)，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E（1）填空：a ，点B的坐标是 ；（2）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，
24、D重合），过点M作MNBD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NHx轴，垂足为H，交BD于点F，点P是y轴上一动点，当MNF的周长取得最大值时，求FPPC的最小值；（3）在（2）中，当MNF的周长取得最大值时，FPPC取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连结AQ，把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度（0360），得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点G在旋转过程中，是否存在一点G，使得GQOG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），(3,0)；（2）；（3）存在，【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式中可求出a，令y0可求出
25、点B的坐标；（2）通过配方法求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的表达式，设点，利用等角的三角函数值相等求出，利用二次函数的性质可求出使MNF的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，可得(FPPC )minFG，连接FC，FK，FK交y轴与点J，利用的面积计算求出FG；（3）由（2）求出点Q的坐标，取AQ的中点G，AOQ在旋转过程中，只需使AQ的中点G在坐标轴上即可满足GQOG，分四种情况进行求解【详解】解：（1）将点A(1,0) 代入yax22ax3中得，解得，即yx22x3，当y0时，x22x30，解得，点B的坐标是(3,0)，故答案为：1，(3,
26、0)；（2），点D(1,4)，点C(0,3)，设直线BD的表达式为，且经过点B(3,0)，点D(1,4)，解得，设点，由图形可知，当m2时，CMNF最大，此时F(2,2)，HF2，在x轴上取点，则OCK30，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，此时，(FPPC )min(FPPG)minFG，连接FC，FK，FK交y轴与点J，由点，点F(2,2)可求直线FK的表达式为，点，即，解得，当MNF的周长取得最大值时，FPPC的最小值为；（3）存在，由（2）可知，即点，将点P向下平移个单位得到点Q，点Q(0,2)，在RtAOQ中，则，取AQ的中点G，则有，AOQ在旋转过程中，只需使AQ的中点G在坐标轴上即可满足GQOG，如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点Q作QIx轴，垂足为I，GOQGQO，GOQIQO，IQOGQO，设，即点，同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点，当点G在y轴负半轴上时，点，当点G在x轴负半轴上时，点，综上，点Q的坐标为，【点睛】本题是函数与几何的综合，考查待定系数法求解函数的表达式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，第（2）题构造含30的直角三角形是解题的关键，第（3）题分类要全，不能漏解，难度较大，一般是中考压轴题
