1、第三章不等式3.4基本不等式:3.4基本不等式:(第2课时)学习目标1.进一步掌握基本不等式(a0,b0).2.会用基本不等式解决简单最大(小)值问题.3.会应用基本不等式解决一些简单的实际问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少?问题2:用长为4a的篱笆围成一个矩形菜园ABCD,怎样设计矩形菜园的长和宽,才能使所围成的菜园面积最大?二、信息交流,揭示规律师生交流1:解答这两道题使用的是什么数学工具?你是怎样想到的?这个式子使用时应该注意什么问题?你是直接使用的基本不等式吗?我们前面学习了
2、函数、数列等知识时,也用来解决过实际问题,用基本不等式解决实际问题的步骤是什么呢?三、运用规律,解决问题【例题】用长为4a的篱笆围成一个“日”字形菜地,一块种萝卜,另一块种茄子,如何设计才能使总面积最大?师生交流2:“日”字形菜地的总面积的表达式是什么?可以设几个变量?师生交流3:为什么写不下去了呢?那是不是不能用基本不等式求最值了呢?那怎么求最值呢?等号右边为什么不是定值呢?有没有办法解决这个问题呢?师生交流4:应用基本不等式求最值时,应满足什么条件?具体情形是怎样的?不满足定值时可采取什么办法?除取定值外,还必须满足什么条件?四、变式训练,深化提高变式训练1:某工厂要建造一个长方体无盖贮水
3、池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少?师生交流5:这个水池总造价的表达式是什么?水深为3m,容积为4800m3,池底面积为多少?池壁面积怎样用数学表达式表达?变式训练2:已知函数f(x)=x+.(1)当x0,2a-x0,所以矩形的面积为S=x(2a-x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2.由此知当x=a时,S最大为a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为a2.方法二:由方法一得出S=x(2a-x),因为=a,所以Sa2,当且仅当x=2a-x,即x=a时,Smax=a2.答:将菜地围成
4、正方形时,面积最大为a2.方法三:由方法一得出S=x(2a-x)=a2.下同方法二.方法四:设矩形的长为x,宽为y(x0,y0),则2x+2y=4a,即x+y=2a.面积S=xy=a2,当且仅当x=y,又x+y=2a,即x=y=a时,等号成立,Smax=a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为a2.师生交流1:;基本不等式;因为问题中涉及两个变量,这两个变量表达的条件和结论符合基本不等式的特征;等号成立的条件;问题2用到的是基本不等式的变形公式和ab;设出两个变量,用变量表示条件和目标函数,求最值,作答)三、运用规律,解决问题师生交流2:面积=总长宽;两个或一个.学生探究尝试:学生甲:设AB=
5、x,则AD=,0x2a,则S=x2?师生交流3:;不等号右边不是一个定值;是;可以用二次函数配方求解;x和-x不能抵消;可以提取一个,不等号右边就是定值,就能用基本不等式了.【例题】解:方法一:S=xa2.当且仅当x=a时,S最大为a2.此时AB=x,AD=.答:当长为a,宽为a时菜园总面积最大.方法二:设AD=x,则AB=,0x0,y0,则2x+3y=4a,所以菜园的总面积S=xy=(2x)(3y)a2.当且仅当2x=3y时,等号成立.又2x+3y=4a,所以x=a,y=.此时AB=x,AD=.答:当长为a,宽为a时菜园总面积最大.师生交流4:必须有定值.和a+b为定值时,积ab有最大值;积
6、ab为定值时,和a+b有最小值.配凑法.取等号的条件:当且仅当a=b时,.四、变式训练,深化提高师生交流5:总造价=池底单价池底面积+池壁单价池壁面积;1600m2;池壁面积=2池底长高+2池底宽高.变式训练1:解:设底面的长为x m,宽为y m,水池的总造价为z元,根据题意,得z=150+120(23x+23y)=240000+720(x+y),由容积为4800m3,可得3xy=4800.因此xy=1600.由基本不等式与不等式的性质,可得240000+720(x+y)240000+7202,即z240000+7202,z297600.当且仅当x=y=40时,等号成立.答:将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元.变式训练2:(1)-1(2)五、反思小结,观点提炼1.审题建模解模检验(审题最重要).2.一正、二定、三相等,缺一不可.3.两种类型,求最大值和求最小值.
