1、专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】 “两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动两定)类型一异侧线段和最小值问题问题： 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PAPB值最小【解题思路】根据两点之间线段最短，PAPB的最小值即为线段AB的长连接AB交直线l 于点P，点P即为所求 类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PAPB值最小【
2、解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决作点B关于l的对称点B，连接AB，与直线l的交点即为点P. 类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PAPB|AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PAPB|的最大值为线段AB的长连接AB并延长，与直线l的交点即为点P. 类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决 模型二“一点两线”型(两动一定)问题：点P是AOB的内部一定
3、点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PMN周长最小【解题思路】要使PMN周长最小，即PMPNMN值最小根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可 模型三“两点两线”型(两动两定)问题：点P，Q是AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PMMNNQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小
4、解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B，连接AB，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值三计算请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|PAPB|的值最大解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|PAPB|取得最大值三计算请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP的值最小解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：
5、验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值三计算请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|PAPB|的值最大解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B，连接AB并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|PAPB|取得最大值三计算请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为 4，ABC60，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为 【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，点O是对角线BD的中点，E是AB
6、边上一点，且AE1，P是CD边上一点，则|PEPO|的最大值为 【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB12，DAB60，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BFDE4点P为AC上一点，则|PFPE|的最大值为 【变式1-4】结论：如图，抛物线yax2bx4与x轴交于，A（1，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC的最小值为 【典例2】模型分析问题：点P是AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使PMN的周长最小解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P，P“，连接P
7、P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P，M，N，P四点共线时，PMN的周长最小三计算注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，BAD121，BD90，点M、N分别在BC、CD上，（1）当MANC时，AMN+ANM ；（2）当AMN周长最小时，AMN+ANM 【变式2-2】如图，在边长为2的等边ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则PMN周长的最小值为 【典例3】模型分析问题：点P，Q是AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位
8、置，使四边形PMNQ的周长最小解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P，点Q关于OB的对称点Q，连接PQ，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P，M，N，Q四点共线时，四边形PQNM的周长最小三计算请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE2DF2，点G，H分别在CD，BC边上，则四边形EFGH周长的最小值为 【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB6，BC3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为 【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且
9、MN的长度为定值，试确定点M，N 的位置，使AM+MN+BN的值最小解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造AMNA，作点A关于直线l的对称点A“，连接A“B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小三计算请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程【典例4-2】模型演变问题：如图，直线ab，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MNa，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造AMNA，连接AB；二证：验证当A，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小三计算请写
10、出【模型演变】中解题思路“二证”的过程【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若O的面积为2，MN1，则AM+CN的最小值为 【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ABD沿射线DB方向平移得到ABD，连接BC，DC，求BC+DC的最小值专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】 “两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动两定)类型一异侧线段和最小值问题问题： 两
11、定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PAPB值最小【解题思路】根据两点之间线段最短，PAPB的最小值即为线段AB的长连接AB交直线l 于点P，点P即为所求 类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PAPB值最小【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决作点B关于l的对称点B，连接AB，与直线l的交点即为点P. 类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PAPB|AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|
12、PAPB|的最大值为线段AB的长连接AB并延长，与直线l的交点即为点P. 类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决 模型二“一点两线”型(两动一定)问题：点P是AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PMN周长最小【解题思路】要使PMN周长最小，即PMPNMN值最小根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可 模型三“两点两线”型(两动两定)问题：点P，Q是AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小【解题思路】要使四边形PQ
13、NM周长最小，PQ为定值，即求得PMMNNQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B，连接AB，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值三计算请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程【解答】解：如图，点B与点B关于直线l对称，PBPB，PA+PBPA+PBAB，此时PA+PB的值最小【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A
14、，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|PAPB|的值最大解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|PAPB|取得最大值三计算请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程【解答】证明：如图，P为l上异于P的一点，连接PA、PB，在ABP中，由三角形的三边关系得：|PAPB|AB，PAPBAB，|PAPB|PAPB|，当A、B、P三点共线时，|PAPB|的值最大【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP的值最小解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共
15、线时，AP+BP取得最小值三计算请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程【解答】解：图形如图所示：理由：在直线l上任意取一点P，连接PA，PBPA+PBAB，ABPA+PB，PA+PBPA+PB，AP+PB的值最小【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|PAPB|的值最大解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B，连接AB并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|PAPB|取得最大值三计算请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程【解答】解：如图，在直线L上任意取一点P，连接PB，|PAPB|AB，当A，B，P共线时，|P
16、APB|的值最大，最大值为AB的长【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为 4，ABC60，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为 【答案】2【解答】解：如图，连接DN，DM，过点D作DHBC交BC的延长线于点H四边形ABCD是菱形，ABCBCDAD，ABCADC60，ABC，ADC都是等边三角形，B，D关于AC对称，MBMD，MB+MNMD+MNDN，ABCD，DCH60，DHCH，CHCDcos602，DH2，BNCN2，CD4，NHCN+CH4，DN2，MB+MN2，MB+MN的最小值为2故答案为：2【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，点O
17、是对角线BD的中点，E是AB边上一点，且AE1，P是CD边上一点，则|PEPO|的最大值为 【答案】【解答】解：如图，连接OE，过点O作OHAB于点H四边形ABCD是矩形，AOHB90，OHAD，OBOD，AHHB2，OHAD3，AE1，EHAHAE1OE，|PEOP|EO，|PEOP|的最大值为故答案为：【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB12，DAB60，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BFDE4点P为AC上一点，则|PFPE|的最大值为 【答案】2【解答】解：在OB上取一点E，使得OEOE，中点E，作射线FE交AC于点P则PEPE，|PFPE|PFPEFE，
18、当P与P重合，P、E、F三点在同一直线上时，|PFPE|有最大值，即为FE的长，在菱形ABCD中，ABC120，ABD60，DAB60，ABD为等边三角形ABBDAD12ODOB6BFDE4，OEOE2，BEOBOE4，BFBEABD60，BEF为等边三角形，EFFB2故|PFPE|的最大值为2故答案为：2【变式1-4】结论：如图，抛物线yax2bx4与x轴交于，A（1，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC的最小值为 【答案】4【解答】解：连接BC交直线l于M点，连接MA，如图，当x0时，yax2bx44，则C（0，4），抛物线
19、yax2bx4与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，A、B点关于直线l对称，MBMA，MA+MCMB+MCBC，此时MA+MC的值最小，BC4，MA+MC的最小值为4，当M点运动到M点时，MA+MC有最小值，最小值为4故答案为：4【典例2】模型分析问题：点P是AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使PMN的周长最小解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P，P“，连接PP“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P，M，N，P四点共线时，PMN的周长最小三计算注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分
20、析】中解题思路“二证”的过程【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP，交OA于M，交OB于N，根据轴对称的性质可得MPPM，PNPN，PMN的周长的最小值PP【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，BAD121，BD90，点M、N分别在BC、CD上，（1）当MANC时，AMN+ANM ；（2）当AMN周长最小时，AMN+ANM 【答案】121，118【解答】解：（1）BAD121，BD90，C18012159，MANC59，AMN+ANM180MAN18059121，故答案为121（2）如下图，作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，则AA即为A
21、MN的周长最小值作DA延长线AH，DAB121，HAA59，AAM+AHAA59，MAAMAA，NADA，且MAA+MAAAMN，NAD+AANM，AMN+ANMMAA+MAA+NAD+A2（AAM+A）259118故答案为：118【变式2-2】如图，在边长为2的等边ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则PMN周长的最小值为 【答案】3【解答】解：如图，连接AP，作点P关于AB，AC的对称点P，P，连接AP，AP，PP，PP分别交AB，AC于点M，N，连接PM，PN，此时PMN的周长最小，最小值PP的长过点A作AHPP于点HAPAPAP，PABPAB，PACPAC，PAP2P
22、AB+2PAC2（PAB+PAC）120，PP30，AHPP，PHPHPAcos30PA，PPPA，PA最小时，PP的值最小，当PABC时，PA的值最小，此时PA，PP的最小值为3，PMN的周长的最小值为3，故答案为：3【典例3】模型分析问题：点P，Q是AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P，点Q关于OB的对称点Q，连接PQ，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P，M，N，Q四点共线时，四边形PQNM的周长最小三计算请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程【解答】解：如图，分别作点P，
23、Q关于OA、OB的对称点P、Q，连接PQ，交OA于M，交OB于N，根据轴对称的性质可得MPPM，QNQN，四边形PQNM周长的最小值PQ【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE2DF2，点G，H分别在CD，BC边上，则四边形EFGH周长的最小值为 【答案】10+2【解答】解：作点E关于BC的对称点E，作点F关于CD的对称点F，连接EF交BC、CD于点H、G，则EHEH，GFGF，此时四边形EFGH周长取最小值，EFGH周长EF+EH+HG+FGEF+EH+HG+FGEF+EFAE2DF2，DF1，AF514，DF1，BE523，AF5+16，AE5+38，EF10，EF2EFGH
24、周长最小值为：10+2【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB6，BC3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为 【答案】3+3【解答】解：如图所示，作出点A关于CD的对称点A，作出点E关于BC的对称点E，连接AE，分别交CD、BC于点Q、P，AQAQ，EPEP，四边形AEPQ的周长AQ+PQ+EP+AEAE+AE，此时周长最小，AB6，BC3，点E是AB的中点，AD3，AEBE3，ADAD3，AEBEBE3，AA6，AE9，AE3，四边形AEPQ的周长3+3，故答案为：3+3【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N
25、为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N 的位置，使AM+MN+BN的值最小解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造AMNA，作点A关于直线l的对称点A“，连接A“B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小三计算请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程【解答】解：如图，四边形AMNA为平行四边形，AAMN，AMAN，点A与点A关于直线l对称，NANA，AM+BNAN+NBBA，此时AM+BN的值最小，AM+MN+BN的值最小【典例4-2】模型演变问题：如图，直线ab，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，
26、b上的动点，且MNa，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造AMNA，连接AB；二证：验证当A，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小三计算请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程【解答】解：图形如图所示：理由：在直线a上任意取一点M，作MNb于点N，连接AMBN，AN四边形AANM是平行四边形，AAMN，MNMN，AAMN，AAMN，四边形AANM是平行四边形，AMAN，AM+MN+BNAN+NN+MNAB+MNAM+MN+BN，AM+MN+BN的值最小【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若O的面积为2
27、，MN1，则AM+CN的最小值为 【答案】3【解答】解：O的面积为2，则圆的半径为，则BD2AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CABD，且使CA1，连接AA交BD于点N，取NM1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，理由：ACMN，且ACMN，则四边形MCAN为平行四边形，则ANCMAM，故AM+CNAM+ANAA为最小，则AA3，则AM+CN的最小值为3，故答案为：3【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ABD沿射线DB方向平移得到ABD，连接BC，DC，求BC+DC的最小值【答案】【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADBC1，A90，BD，将ABD沿射线DB平移得到ABD，BDBD2，作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接DG，则CDGDCEBD，CG2CE，CECG，以BD，GD为邻边作平行四边形BDGH，则BHDGCD，当C，B，H在同一条直线上时，CB+BH最短，则BC+DC的最小值CH，四边形BDGH是平行四边形，HGBD2，HGBD，HGCG，CHBC+DC的最小值为：
