1、利用二分法求方程的近似解教学设计一、教材分析与学情分析1、本节课教材分析本节内容选自北师大版高一数学上学期必修1第四章第1.2节是学生在学习了方程解的存在性的基础上，进一步用函数研究方程，即利用二分法求方程的近似解，使学生进一步体会函数与方程的关系，使学生感受函数的核心地位.同时为必修3学习算法做准备.本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精度的方程的近似解通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点引导学生用联系的观点理解有关内容，通
2、过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、数形结合的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想2、本节课地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性定理”，本节课是上节学习内容利用函数性质判定方程解的存在的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、函数与方程、逼近思想和算法思想等.3、学生情况分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与
3、函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难.二、教学目标根据教材内容和学生的实际情况，本节课的三维教学目标设定如下：【知识与技能】：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想.【过程与方法】：借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备 【情感态度与价值观】：通过探究、展示、交流，养成良好
4、的学习品质，增强合作意识.通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一.三、教学重点、难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解.难点：对二分法原理的探究，对精度、近似值的理解.四、教法、学法与教学手段教法分析：教师要处理好传授知识和培养能力的关系，要关注个体差异，满足不同层次学生的需要，因此，在教学中必须以充分暴露整个思维过程，认知过程为主要宗旨，通过问题引导、讨论交流、动手实践等探究活动来形成师生互动.因此，本节课我采用问题探索、师生互动探究式的教学方法.学法分析：相对教师的教法，学生应当采用自主探究、研讨发现的学习方法.老师要鼓励、引导学生自主探索，使学生在讨论、分析
5、、交流、实践等多种活动加深对二分法的感受和理解，同时鼓励主要通过小组活动方式，对所学的内容进行分析，归纳总结、讨论和交流，让学生经历知识的形成过程和发展过程，这就极大的发挥了学生的积极性和主动性. 学法指导：分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点.教学手段：计算机、投影仪、计算器.五、教学过程（一）设置情景，问题引入在数学学习中，解方程是我们经常遇到的问题.问题1：你会求哪些类型方程的解？有哪些方程不会求解？你会求下列方程的根吗？对于前两个方程，学生很快找出解决办法，最后一个方程学生无法根据之前学过的知识进行求解，这时教师适时总结：一元一次方程、一元二次方程我们会解，但是对于超越方程、高次方程
6、从方程角度难以求出方程的根教师追问：那么，第三个方程是不是就无解呢？ 生：不是.师：如果有解，该如何求出它的解或近似解？引出本节课的课题.【设计意图】：从学生熟悉的方程入手，引入求方程根的话题，引起学生的认知冲突，激起进一步探究的欲望.问题2：方程是否有解？能不能求方程的近似解？为了解决这个问题，先回顾上节课的内容.复习回顾：（1）方程的根与函数零点的关系. （2）函数零点存在性定理.方程有实根函数有零点.所以求方程求函数的零点.教师用几何画板展示出函数的图像让学生直观判断有没有零点.【点拨】：当从方程角度直接入手难以求出方程的根时，我们可以转化为求该方程相应函数的零点的问题.（二）互动探究，
7、获得新知以求方程的近似解（精度为0.1）为例进行探究.探究1：怎样确定解所在的区间？（1）图像法：教师用几何画板展示.（2）试值法：f(x)=lnx+2x-6 x1234-4-1.3071.0993.386 方程，由上面两种方法我们得出函数在区间（2,3）内有一个零点，这一节课的重点就是如何找出这个零点的位置.教师引导分析：根据我们的分析，我们可以将“求方程的近似解”问题转变为“找函数在区间（2,3）内的近似零点”问题.【设计意图】：进一步理清思路，明确问题，使问题由“求”变为“找”，问题的提出，进一步激发学生利用二分法探究问题的热情.探究2：怎样缩小解所在的区间？ 为了解决这个问题，我们先来
8、看个视频和玩个小游戏：播放视频并邀请学生现场模拟吉林卫视心动价给你中猜商品价格环节：游戏规则：某手机的价格在4002000元之间，猜测它的价格，猜对了将给予奖励每次猜后主持人会给出“高了”还是“低了”的提示，在20秒内且误差不超过10元时算猜对.让学生思考：（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？（2）误差不超过10元，怎么理解？（3）如何猜才能最快猜出商品的价格？经过三个问题的引导，大家很快便总结出猜价格的方法：不断取中点值与真实值比较，懂得判断真实值所属区间，区间长度不断缩短，直到“猜值”与真实值的误差小于10元为止.这种方法在数学中我们叫做“二分法”.【设计意图】：使学生更加轻松有
9、趣的学习，通过猜价格游戏来引出二分法的概念，让学生更容易接受二分法的思想和体会到学习二分法的使用价值，学生理解用二分法的思想缩小解所在的区间.回到例题“求方程的近似解.（精度为0.1）”.探究3：你有进一步缩小函数零点范围的方法吗？引导学生：通过刚刚游戏中取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。（一般地,我们把x=称为区间的中点）.【设计意图】：从游戏把学生拉回本节主题，把游戏和本例的解决过程融合到一起对比分析比较，使学生真正的理解二分法的本质.给出教材上的规范的定义：1.二分法的定义：对于在区间上连续不断且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近
10、零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法想一想：二分法的实质是什么？探究4：区间缩小到什么程度满足要求？ 给定精度，对于零点所在区间，当时，我们称达到精度.此时，区间内任何一个值都是零点满足精度的近似值.追问：精度0.1指的是什么？例题1、借助计算器，求函数零点的近似值.（精度为0.1）解：由前面的分析知：初始区间为（2，3），且.次数零点所在区间区间长度12.5-0.084（2.5，3）0.522.750.512（2.5，2.75）0.2532.6250.215（2.5,2.625）0.12542.56250.066（2.5，2.5625）0.0625由于所以，函数零点的近似值可以为：2.5
11、625（或2.5）.【设计意图】：引导学生画出数轴.从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握函数零点近似值的求法注意鼓励学生用通俗的语言概括上面求方程近似解的方法的思想，理解二分法的本质内涵.问题4：精度改为0.01会怎么样？教师用Excel演示不同精度的区间变化情况.2.用二分法求零点近似值的步骤 ：给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1、确定区间，验证，给定精度；2、求区间的中点；3、计算：（1）若=， 则就是函数的零点；（2）若， 则令（此时零点）；（3）若， 则令（此时零点）；4、判断是否达到精度：即若，则得到零点的近似值为（或）；否则重复步骤243.口诀： 定区
12、间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办？根据精度来判断.【设计意图】：让学生进一步总结用二分法求方程近似解的思维过程，归纳解题步骤，使学生由经验水平上升到理论水平.通过归纳总结形成理论知识，培养学生的概括能力.（三）变式训练，巩固新知变式1.利用计算器，求方程的近似解（精度为0.1）.解：令，问题转化为求连续函数的零点的近似值.因为.所以初始区间为（0，1）. 次数零点所在区间区间长度10.5-0.375（0.5，1）0.520.750.172（0.5，0.75）0.2530.0625-0.131（0.625，0.75）0.12540.68750.012
13、（0.625，0.6875）0.0625由于所以，原方程的近似解可以为：0.6875（或0.625）.以上过程由学生合作完成（两人一组，一人负责用计算器计算，一人负责填表，共同找出函数零点的近似值），对学生的做题情况进行展示.【设计意图】：让学生从中进一步体会二分法“逐渐逼近”的思想，并巩固用二分法求函数零点近似值的方法.（四）检验成果，深化理解1.下列函数的图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（ ）Dxy00xyCBxy0Axy0 思维升华：在零点的附近连续且.【设计意图】：让学生辨析什么情况下适应用二分法求零点，辨析过程也是学生认知完善的过程.2.用二分法求连续函数在内零点近似
14、值的过程中得到，则零点落在区间（ ） D.不能确定【设计意图】：进一步巩固如何判断零点所属区间的方法.（五） 课堂小结，回顾反思本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？1、二分法的实质：一分为二、逐步逼近.2、用二分法求方程的近似解的步骤.3、数学思想：数形结合、函数与方程、逼近思想.【设计意图】：通过学生对自己所学的知识进行归纳、整理、反思，把零碎的认知和知识点形成一个完整的知识体系.六、课外作业1.必做题： 书面作业：（1）课本P119习题 4-1 A组2、3、4.（2）利用计算器求方程的近似解 (精度为0.1).2选做题：查阅资料：查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料【设计意图】：必做题是对本节课所学知识的反馈，选做题是对本节课内容的拓展与延伸.两种不同形式的作业，既加深了学生对二分法的理解和感受，也培养了学生主动探索能力.七、板书设计课题：利用二分法求方程的近似解1、二分法的定义.2、求函数零点的近似值的步骤.3、例题分析.4、变式训练.投影
