1、计时双基练四十八证明平行与垂直A组基础必做1已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1) B(1，1,1)C. D.解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得xyz。故选C。答案C2若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内解析，共面。则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内。答案D3直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为()A2 BC. D解析由已知得sn0，故121(x2x)1(x)0，解得x。答案D4若平面，的法
2、向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC、相交但不垂直D以上均不正确解析n1n22(3)(3)15(4)0，n1与n2不垂直，与相交但不垂直。答案C5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点。则AM与PM的位置关系为()A平行 B异面C垂直 D以上都不对解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1, )，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)。(，2,0)(0,1，)(，1，)，(，2,0)(2，0,0
3、)(，2,0)。(，1，)(，2,0)0。即，AMPM。答案C6如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE。则M点的坐标为()A(1,1,1) B.C. D.解析连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，M为线段EF的中点。在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，1)。由中点坐标公式，知点M的坐标。答案C7已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2,3)，且，则x_。解析由，得ab，所以abx260，解得x4。答案48已知点P是平行四边形ABCD所在的平
4、面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)。对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；。其中正确的是_。解析0，0，ABAP，ADAP，则正确。又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确。由于(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误。答案9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_。解析分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，A1MANa，M，N，。又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)。0，。是平面BB1
5、C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C。答案平行10(2016咸阳模拟)如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点。(1)求证：AF平面BCE。(2)求证：平面BCE平面CDE。证明设ADDE2AB2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a，2a)。因为F为CD的中点，所以F。(1)，(a，a，a)，(2a,0，a)，可得()，又AF平面BCE，所以AF平面BCE。(2)因为，(a，a,0)，(0,0，2a)，所以0，0，所以，。又CD
6、DED，所以平面CDE，即AF平面CDE。又AF平面BCE，所以平面BCE平面CDE。11.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形。平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5。(1)求证：AA1平面ABC。(2)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值。证明(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC。因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC。所以AA1平面ABC。(2)由(1)知AA1AB，AA1AC。由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC。如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,
7、4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)。设D(x，y，z)是直线BC1上的一点，且，0,1。所以(x，y3，z)(4，3,4)。解得x4，y33，z4，所以(4，33，4)。由0，即9250，解得。因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，此时，。B组培优演练1(2016兰州模拟)已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)则不重合的两个平面与的位置关系是_。解析由已知得，(0,1，1)，(1,0，1)，设平面的一个法向量为m(x，y，z)，则得得令z1，得m(1,1,1)。又n(1，1，1)，所以mn。即mn，所以
8、。答案平行2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_。解析以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1y)，B(1,1,1)，(x1,0,1)，(1,1，y)，由于B1E平面ABF，所以(1,1，y)(x1,0,1)0，得xy1。答案13.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与
9、OP互相平分，则满足的实数有_个。解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中点坐标为。又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3。xy1，即点P坐标满足xy1。有2个符合题意的点P，即对应有2个。答案24(2015北京海淀一模)如图1，在RtABC中，ACB30，ABC90，D为AC中点，AEBD于点E，延长AE交BC于点F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。(1)求证：AE平面BCD。(2)求二面角ADCB的余弦值。(3)在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存
10、在，请说明理由。解(1)证明：因为平面ABD平面BCD，交线为BD，又在ABD中，AEBD于点E，AE平面ABD，所以AE平面BCD。(2)由(1)中AE平面BCD，可得AEEF。由题意可知EFBD，又AEBD，如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Exyz，不妨设ABBDDCAD2，则BEED1。由题图1条件计算得AE，BC2，EF，则E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1,0)，A(0,0，)，F，C(，2,0)，(，1,0)，(0,1，)。由AE平面BCD可知平面DCB的法向量为。设平面ADC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y，x1，所以n(1，1)。因为平面DCB的法向量为(0,0，)，所以cos n，。所以二面角ADCB的余弦值为。(3)设，其中0,1。由于，所以，其中0,1。所以。由n0，即(1)0，解得(0,1)。所以在线段AF上存在点M使得EM平面ADC，且。