1、专题10 二次函数与平行四边形含矩形菱形正方形的存在性问题（原卷版）第一部分 典例剖析+变式训练类型一 二次函数与平行四边形的存在性问题典例1 （2022攀枝花）如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说
2、明理由变式训练1（2022贵港模拟）如图，抛物线yax2+bx+6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为（2，0），点B坐标为（6，0）对称轴l与x轴交于点F，P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC（1）求抛物线的表达式；（2）当四边形ACPB面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PF，E是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由类型二 二次函数与矩形存在性问题典例2（2022绥化）如图，抛物线yax2+bx+c交y轴于点A（0，4），并经过点C（6，0），过点A作
3、ABy轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD点E从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EFAB于F，以EF为对角线作正方形EGFH（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由变式训练1（2022黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）经过原点O的抛物线yx2+bx+c交直线AB
4、于点A，C，抛物线的顶点为D（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MNy轴且MN2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由类型三 二次函数与菱形的存在性问题典例3（2022烟台）如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x1（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大
5、值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由变式训练1（2022朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），连接BC（1）求抛物线的解析式及点B的坐标（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值（3）动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向
6、点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由类型四 二次函数与正方形的存在性典例4（2022修水县二模）已知二次函数C1：ymx22mx+3（m0）（1）有关二次函数C1的图象与性质，下列结论中正确的有 .（填序号）二次函数C1的图象开口向上；二次函数C1的图象的对称轴是直线x1；二次函数C1的图象经过定点（0，3）和（2，3）；函数值y随着x的增大而减小（2）当m1时，抛物线C1的顶点坐标为 ；将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的表达式为 ；（3）设抛物线C1与y轴相交于点E，过点E作
7、直线lx轴，与抛物线C1的另一交点为F，将抛物线C1沿直线l翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由针对训练1（2022东胜区二模）如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于A（6，0），B（1，0），与y轴相交于点C（1）求该抛物线的表达式；（2）若在x轴上方的抛物线上有一动点P，且ACP的面积为24，求点P的坐标；（3）直线lAC，垂足为C，直线l上有一点N，在坐标平面内一点M，是否存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存
8、在，请说明理由第二部分 专题提优训练1（2022春渝中区月考）如图1，在直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx+3（a0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知tanCAO2，B（4，0）（1）求抛物线C1的表达式；（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PEx轴交BC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，点F是BC上一点，OF平分COB的面积，将抛物线C1沿射线CB方向平移，当抛物线恰好经过点F时，停止运动，记平移后的抛物线为C2已知点M是原抛物线C1上的动点，在抛物线C2的对称轴上是否存在一点N，使得以点C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？
9、若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由2（2019荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由3（2022仓山区校级
10、模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=13x43与x轴交于点A，经过点A的抛物线yax23x+c的对称轴是直线x=32（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PBx轴于点B，PCy轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=13PF，求证PEPF（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PEPF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由4（2019辽阳）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的边BC在x轴上，ABC90，以A为顶点的抛物线yx2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿AB方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PDAB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由
