1、专题10第三章 三角恒等变换(知识梳理) 学习目标1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会利用正弦、余弦、正切的两角和差公式与二倍角公式.3.对三角函数式进行化简、求值和证明.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin .cos()cos cos sin sin .sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .tan().tan().2.二倍角公式sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3.升幂缩角公式1cos 22cos2.1cos 22sin2.4.降幂扩角公式
2、sin xcos x，cos2x，sin2x.5.和差角正切公式变形tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan ).6.辅助角公式yasin xbcos xsin(x).类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1已知，为锐角，cos ，tan()，求cos 的值.解是锐角，cos ，sin ，tan .tan tan().是锐角，故cos .反思与感悟注意未知角用已知各角之间来表示，就可以利用和差倍半的公式展开，就能够解决此类问题.跟踪训练1已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值.解tan tan()0.而(0，)，故.tan
3、，0，.0，.2()(，0).tan(2)tan()1，2.类型二整体换元的思想在三角恒等变换中的应用例2求函数ysin xsin 2xcos x(xR)的值域.解令sin xcos xt，则由tsin知t，又sin 2x1(sin xcos x)21t2.y(sin xcos x)sin 2xt1t22.当t时，ymax；当t时，ymin1.函数的值域为.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来(如例2中令sin xcos xt).跟踪训练2求函数f(x)sin xcos xsin xcos x，xR的最值及取到最值时x的
4、值.解设sin xcos xt，则tsin xcos xsin，t，sin xcos x.f(x)sin xcos xsin xcos x即g(t)t(t1)21，t，.当t1，即sin xcos x1时，f(x)min1.此时，由sin，解得x2k或x2k，kZ.当t，即sin xcos x时，f(x)max.此时，由sin，sin1.解得x2k，kZ.综上，当x2k或x2k，kZ时，f(x)取得最小值，f(x)min1；当x2k，kZ时，f(x)取得最大值，f(x)max.类型三转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用例3已知函数f(x)coscos，g(x)sin 2x.(1)求函数f(x
5、)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.解(1)f(x)cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期T.(2)h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos，当2x2k(kZ)时，h(x)有最大值.此时x的取值集合为.反思与感悟1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.2.本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3已知cos，x，求的值.
6、解sin 2xtan.x，x2，又cos，sin.tan.cos xcoscoscos sinsin .sin xsinsincos sin cos，sin 2x.类型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4已知锐角三角形ABC中，sin(AB)，sin(AB).(1)求证：tan A2tan B；(2)设AB3，求AB边上的高.(1)证明sin(AB)，sin(AB)，2.tan A2tan B.(2)解AB，sin(AB)，tan(AB)，即.将tan A2tan B代入上式并整理得2tan2B4tan B10，解得tan B，舍去负值，得tan B.tan A2tan B2.设AB边上的高为CD，则ABADDB，由AB3，得CD2.AB边上的高等于2.反思与感悟在三角恒等变换中，需将所求三角函数或一个代数式整体视为一个“元”参与计算和推理，由已知条件化简，变形构造方程(组)，应用方程思想求解变量的值.
