1、1已知椭圆C：1(ab0)过点，且长轴长等于4.(1)求椭圆C的方程；(2)F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：ykxm与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若，求k的值导学号03350771解：(1)由题意，椭圆的长轴长2a4，解得a2.因为点在椭圆上，所以1，解得b23，所以椭圆C的方程为1.(2)由直线l与圆O相切，得1，即m21k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120.由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2
2、)m2k2kmm2.所以x1x2y1y2.因为m21k2，所以x1x2y1y2.又因为，所以，解得k2，所以k.2.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切A，B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线ykx(k0)与椭圆相交于E，F两点 (1)求椭圆C的方程；(2)当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值导学号03350772解：(1)由题意知e，e2，a24b2.又圆x2y2b2与直线xy0相切，b1，a24，故所求椭圆C的方程为x21.(2)设点E(x1，kx1)，F(x2， kx2)，其中x10)，即当k2时，上式取等号所以当四边形AEBF面积取
3、最大值时，k2.3已知椭圆C：1(ab0)，椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2，且右焦点到直线x的距离等于半短轴的长已知点P(4,0)过P点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点T与点M关于x轴对称(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围；(3)证明：直线TN恒过某定点导学号03350773解：(1)由题意知解得故椭圆C的方程为1.(2)由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为yk(x4)由得(2k21)x216k2x32k240.(16k2)24(2k21)( 32k24)1696k20，解得0k2.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，y1y2k2(x14
4、)(x24)，从而x1x2y1y222.因为0k2b0)的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值导学号03350774解：(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d，所以b.由题意，得所以a23，b22.所以椭圆E的方程为1.(2)证明：设点P(x0，y0)，则椭圆E的切线l0的方程为yy0k(xx0)，联立直线l0与椭圆E的方程，得消去y，得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，所以4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理，得(2x)k22kx0y0(y3)0.设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2.因为点P在圆O上，所以xy5.所以k1k21.所以两条直线的斜率之积为常数1.ZXXK
