1、专题1.3 解直角三角形（能力提升）一、选择题。1（2022春上虞区期末）已知AD是ABC的中线，BC6，且ADC45，B30，则AC（）ABCD62（2022惠城区校级二模）如图，在等腰三角形ABC中，ABAC6，BC8，点D为BC的中点，DEAB于点E，则cosBDE的值等于（）ABCD3（2022宣州区二模）如图，在网格中小正方形的边长均为1，ABC的顶点都在格点上，则sinABC等于（）ABCD4（2022秋上海期中）在RtABC中，B90，如果A，BCa，那么AC的长是（）AatanBacotCD5（2022秋靖江市期中）如图，在66正方形网格中，ABC的顶点A、B、C都在网格线上，
2、且都是小正方形边的中点，则sinA的值为（）AB2CD6（2022秋二道区校级月考）如图，AOB45，点C在射线OB上若OC3，则点C到OA的距离等于（）A3B3C3D67（2022高新区校级三模）如图，在ABC中，DC平分ACB，BDCD于点D，ABDA，若BD1，AC7，则tanCBD的值为（）A5BC3D8（2022长春模拟）如图是小夏同学家的衣架示意图已知ABAC18cm，B，则衣架的宽BC为（）A36sincmB36coscmC18tancmDcm9（2022西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足ADBC，则AED的正
3、切值是（）AB2CD10（2022碑林区校级模拟）如图，在ABC中，ACB60，B45，AB，CE平分ACB交AB于点E，则线段CE的长为（）A+1B2CD二、填空题。11（2022仓山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tanPAB+tanPBA 12（2022百色一模）如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，若BC14，AD12，BDAD，则sinC 13（2022碑林区校级三模）如图，已知在ABC中，AB6，ABC45，tanACB3，过点A作直线l（l不经过线段BC），分别过点B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，则BD+CE的最大值为 14（2022秋上海
4、期中）在RtABC中，C90，sinA，AB10，那么BC的长是 15（2022秋青州市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2BCAC，tan3，则点C的坐标为 16（2022秋新泰市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则C的正弦值为 17（2022秋惠山区期中）如图，ABC中，ACB90，CDAB，已知tanB，SACD2，则SABC 18（2022秋香坊区校级月考）如图，在ABC中，ACB90，tanABC，点D为AB上一点，连接
5、CD，过A作AECD于E，AE，连接BE，若SBCE18，则BD的长为 三、解答题。19（2022春东城区期中）在ABC中，B30，AB10，AC13，求BC的长20（2021秋淮阴区期末）在等腰ABC中，ABAC13，BC10，求sinB，cosB21（2022秋张店区校级月考）（1）求tan260+4sin30cos45的值（2）在RtABC中，C90，c4，a2，解这个直角三角形22（2022秋张店区校级月考）如图，在RtABC中，C90，BC8，tanB，点D在BC上，且BDAD求AC的长和tanADC的值23（2021秋包河区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD90，AB6，BC
6、4，tanA，求AD的长24（2022秋西岗区校级月考）ABC中，B45，BAC15，AC10cm，求BC边的长度25（2022秋工业园区校级月考）我们给出定义：如果两个锐角的和为45，那么称这两个角互为半余角，如图，在ABC中，A，B互为半余角，且，则求A的正切值26（2022广州）如图，AB是O的直径，点C在O上，且AC8，BC6（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sinACD的值专题1.3 解直角三角形（能力提升）一、选择题。1（2022春上虞区期末）已知AD是ABC的中线，BC6，且ADC
7、45，B30，则AC（）ABCD6【答案】B。【解答】解：如图，过点A作AEBC，垂足为E，ADC45，B30，AB2AE，AEED，BC6，AD是ABC的中线，CDBD3，设AEDEx，则AB2x，CEx3，BEx+3，在RtAEB中，根据勾股定理得，（2x）2x2+（x+3）2，2x26x9，在RtAEC中，根据勾股定理得，AC2x2+（x3）2，AC22x26x+9，AC218，AC3（负值舍去）故选：B2（2022惠城区校级二模）如图，在等腰三角形ABC中，ABAC6，BC8，点D为BC的中点，DEAB于点E，则cosBDE的值等于（）ABCD【答案】B。【解答】解：连接AD，如图，A
8、BAC6，BDCD4，ADBC，在RtABD中，AD2，EDAB，ABEDBDAD，ED，在RtBED中，cosBDE故选：B3（2022宣州区二模）如图，在网格中小正方形的边长均为1，ABC的顶点都在格点上，则sinABC等于（）ABCD【答案】C。【解答】解：小正方形的边长均为1，AC25，BC220，AB225，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形，且ACB90，sinABC故选：C4（2022秋上海期中）在RtABC中，B90，如果A，BCa，那么AC的长是（）AatanBacotCD【答案】D。【解答】解：如图：在RtABC中，AC故选：D5（2022秋靖江市期中）如图，在66正
9、方形网格中，ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA的值为（）AB2CD【答案】C。【解答】解：ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，因此可将ABC向右平移正方形边长的一半得到ABC，如图所示，则点A、B、C在格点上，过点C作CDAB，垂足为D，则AD3，CD4，AC5，sinAsinA，故选：C6（2022秋二道区校级月考）如图，AOB45，点C在射线OB上若OC3，则点C到OA的距离等于（）A3B3C3D6【答案】A。【解答】解：如图，过点C作CDOA，垂足为D，在RtCOD中，COD45，OC3，CDOC3，即点C到OA的距离为3，故选
10、：A7（2022高新区校级三模）如图，在ABC中，DC平分ACB，BDCD于点D，ABDA，若BD1，AC7，则tanCBD的值为（）A5BC3D【答案】B。【解答】解：如图，延长BD交AC于点EDC平分ACB，BDCD于点D，CDECDB90，DCEDCB在DCE和DCB中，DCEDCB（SAS）BDED1ABDA，AEBE2AC7，CEACAE5CD2tanCBD2故选：B8（2022长春模拟）如图是小夏同学家的衣架示意图已知ABAC18cm，B，则衣架的宽BC为（）A36sincmB36coscmC18tancmDcm【答案】B。【解答】解：如图，过点A作ADBC于点DABAC，ADBC
11、，BC2BDADBC，BDABcosBC2BD2ABcos36cos（cm）故选：B9（2022西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足ADBC，则AED的正切值是（）AB2CD【答案】A。【解答】解：连接OD，ADBC，O是AB中点，ODAB1，ODOAOEOD，点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，ABCAED，tanAEDtanABD，故选：A10（2022碑林区校级模拟）如图，在ABC中，ACB60，B45，AB，CE平分ACB交AB于点E，则线段CE的长为（）A+1B2CD【答案】B。【解答】解：如图，作A
12、DBC于D，作EFBC于F，在RtABD中，BDADABsinB，在RtADC中，DAC90ACB30，CDADtan301，BC+1，在RtBEF中，设BFEFx，在RtEFC中，FEC90BCE60，CFEFtan60x，由CF+BFBC得，x1，EC2EF2，故答案为：B二、填空题。11（2022仓山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tanPAB+tanPBA【答案】。【解答】解：设小正方形的边长是a，tanPAB，tanPBA，tanPAB+tanPBA+12（2022百色一模）如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，若BC14，AD12，BDAD，则s
13、inC【答案】。【解答】解：AD12，BDAD9，CDBCBD1495，在RtACD中，AC，sinC13（2022碑林区校级三模）如图，已知在ABC中，AB6，ABC45，tanACB3，过点A作直线l（l不经过线段BC），分别过点B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，则BD+CE的最大值为 4【答案】4。【解答】解：如图，作AHBC于H，取BC的中点F，取DE的中点G，连接AF，连接FG，FG是梯形BCED的中位线，FGBDCE，BD+CE2FG，BDDE，FGDE，AGF90，FGAF，AHBAHC90，ABC45，AHBHAB6，tanACB3，CH2，CH2，BCBH+CH8，CFBF
14、，FHCFCH2，AF2，当点G和A点重合时，FG最大AF2，BD+CE的最大值为：4，故答案为：414（2022秋上海期中）在RtABC中，C90，sinA，AB10，那么BC的长是 5【答案】5。【解答】解：在RtABC中，sinA，AB10，BC5故答案为：515（2022秋青州市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2BCAC，tan3，则点C的坐标为 （，）【答案】（，）。【解答】解：作CDAO于D，OC2BCAC，OC：BCAC：OC，BCOOCA，COBCAO，COBOAB，COB+OAB+ABO90，ABO，tanABOtan3，t
15、anABO3，OB2+AO2AB2，OB2+（3OB）240，OB2，OA6，tan3，CD3DO，OBCD，ABOACD，AO：ADOB：CD，6：（6+OD）2：（3OD），OD，CD3OD，点C坐标为：（，），故答案为：（，）16（2022秋新泰市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则C的正弦值为 【答案】。【解答】解：点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），BO3，AO4，AB5，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，CO541，BC，sinC，故答
16、案为：17（2022秋惠山区期中）如图，ABC中，ACB90，CDAB，已知tanB，SACD2，则SABC10【答案】10。【解答】解：CDAB，tanB，ABC中，ACB90，CDAB，ACDCBD，SACD：SCBD1：4，SACD2，SCBD8，SABCSACD+SCBD2+810故答案为：1018（2022秋香坊区校级月考）如图，在ABC中，ACB90，tanABC，点D为AB上一点，连接CD，过A作AECD于E，AE，连接BE，若SBCE18，则BD的长为 3【答案】3。【解答】解：作BFCD交CD延长线于F，CAE+ACE90，BCF+ACE90，CAEBCF，AECF90，AC
17、ECBF，tanABC，CF2AE8，令CEx，则BF2x，SBCECEBF18，x218，x3，CE3，BF6，AEBF，EFCFCE，EF835，DF3，BD2BF2+DF2，DB2+，BD3故答案为：3三、解答题。19（2022春东城区期中）在ABC中，B30，AB10，AC13，求BC的长【解答】解：过点A作ADBC，垂足为D，如图，在RtABD中，B30，AB10，AD5，cosB，BD5；在RtADC中，AD5，AC14，DC12，BCBD+CD520（2021秋淮阴区期末）在等腰ABC中，ABAC13，BC10，求sinB，cosB【解答】解：作ADBC与D，ABAC13，D是B
18、C的中点，即BD5，AD12，sinB，cosB21（2022秋张店区校级月考）（1）求tan260+4sin30cos45的值（2）在RtABC中，C90，c4，a2，解这个直角三角形【解答】解：（1）tan260+4sin30cos45（）2+43+；（2）在RtABC中，c4，a2，b2sinB，sin30，B30A90B6022（2022秋张店区校级月考）如图，在RtABC中，C90，BC8，tanB，点D在BC上，且BDAD求AC的长和tanADC的值【解答】解：（1）在RtABC中，C90，BC8，tanB，tanB，解得：AC4；（2）设CDx，则ADBD8x，在RtACD中，根
19、据勾股定理得：AD2CD2+AC2，即（8x）2x2+16，解得：x3，CD3，则tanADC23（2021秋包河区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD90，AB6，BC4，tanA，求AD的长【解答】解：如图，延长AD与BC交于点E在直角ABE中，tanA，AB6，BE8，AE10，ECBEBC844在ABE与CDE中，BCDE90，EE，DCEAtanDCEtanA，设DE4x，则CD3x，在直角CDE中，EC2DE2+CD2，42（4x）2+（3x）2，解得：x（负值舍去），DE，ADAEDE10即AD的长为24（2022秋西岗区校级月考）ABC中，B45，BAC15，AC10cm，
20、求BC边的长度【解答】解：过点A作 ADBC，交BC的延长线于点DB45，BAC15，ADC90，DCA60，BAD45在RtACD中，cosDCAcos60，sinDCAsin60，AC10，CD5，AD5在RtABD中，BADB，BDAD5BCBDCD5525（2022秋工业园区校级月考）我们给出定义：如果两个锐角的和为45，那么称这两个角互为半余角，如图，在ABC中，A，B互为半余角，且，则求A的正切值【解答】解：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D，设BC2a，则AC3a，A，B互为半余角，A+B45，DCBA+B45，在RtCDB中，DBBCsin452a2a，CDBCcos452
21、a2a，ADAC+CD3a+2a5a，在RtADB中，tanA，A的正切值为26（2022广州）如图，AB是O的直径，点C在O上，且AC8，BC6（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sinACD的值【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；（2）AB是O的直径，ACB90，在RtABC中，且AC8，BC6AB10，ODAC，AECEAC4，又OAOB，OE是ABC的中位线，OEBC3，由于PQ过圆心O，且PQAC，即点O到AC的距离为3，连接OC，在RtCDE中，DEODCE532，CE4，CD2sinACD
