1、专题1.2 矩形的性质与判定（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系；2、理解并掌握矩形的性质定理、直角三角形斜边中线定理及证明过程;会用矩形的性质定理进行推导证明;3、会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力【知识点梳理】考点 1 矩形的性质 ：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）考点2 直角三角形斜边上的中线：推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。考点3 矩形的
2、判定：矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）四个角都相等的四边形是矩形。【典例分析】【考点 1 矩形的性质】【典例1】（2022青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO5，AB6，则矩形ABCD的面积是（）A28B32C48D50【变式1-1】（2022春东城区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ADB30，AB6，则OC（）A12BC6D3【变式1-2】（2022春中山市期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O若AOB60，BD8，则AD的长为（）A4B5C3D
3、4【变式1-3】（2022青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO5，AB6，则矩形ABCD的面积是（）A28B32C48D50【典例2】（2022武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE2，则OD（）A2B3C4D6【变式2-1】（2022武功县一模）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OPAB交BC于点P，连接OD，若OP3，AD8，则OD的长为（）A3B4C5D6【变式2-2】（2022兰州模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AEBD于点E，DAE2BAE，AD4，则OE（）AB
4、C2D【考点2 直角三角形斜边上的中线】【典例3】（2022春防城区期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（）A3kmB4kmC5kmD6km【变式3-1】（2022春北京期中）如图，RtABC中，ABC90，点O是斜边AC的中点，AC10，则OB（）A5B6C8D10【变式3-2】（2022宁德模拟）如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，若BD6，则AO 【变式3-3】（2021秋龙泉驿区期末）在矩形ABCD中，AB6，BC8，两对角线交于点O，则BO（）A3B4C5D10【考点3 矩形的判定】【典例4】（202
5、2春越秀区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（）AOBCOCBBAOB60CACBDDABAD【变式4-1】（2021春丰台区期末）在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明ABCD是矩形，这个条件可以是（）AABBCBACBDCACBDDAOB60【变式4-2】（2021秋高新区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）AABCBCDBABCADCCAOBODAODO【变式4-3】（2021秋法库县期末）在数学活动课上
6、，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）A测量对角线是否相互平分B测量其中三个角是否都为直角C测量对角线是否相等D测量两组对边是否分别相等【典例5】（2022春开封期中）如图，在ABCD中，E是DC边的中点，且EAEB（1）求证：ADEBCE；（2）求证：ABCD是矩形【变式5-1】（2021秋天府新区期末）已知：如图，在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E求证：四边形ADCE为矩形；【变式5-2】（2021秋皇姑区校级期中）如图，点B在线段MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交A
7、BM和ABN的平分线于点C和点D试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论【典例6】（2022春盐城月考）如图，在ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AFCB交CE的延长线于点F，连接BF（1）求证：AFBD；（2）当ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由【变式6-1】（2022青岛一模）已知：如图，ABC中，BD平分ABC交AC于点D，E为AB中点，过点A作AFBD，交DE延长线于点F（1）求证：AFBD；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请证明你的结论【变式6-2】（2022春滨海县月考）如图，在ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C
8、重合），过O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明【考点 4 矩形的性质与判定】【典例7】（2022春景县期中）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CECD，延长BC到点F，使CFBC，顺次连接点B，E，F，D，且BD1，AC（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证：四边形BEFD是矩形；（3）四边形BEFD的周长为 【变式7-1】（2022春长沙期中）如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于
9、点F，连接AC，BF，且AFBC（1）求证：四边形ABFC为矩形；（2）若AFD是等边三角形，且边长为，求四边形ABFC的面积【变式7-2】（2022隆阳区模拟）如图，在四边形ABCD的中，ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且AOCO，OAB是等边三角形（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若S四边形ABCD4，求BD的长【变式7-3】（2022春邗江区校级月考）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CEBD，EBAC，连接OE，交BC于F（1）求证：四边形OCEB是矩形；（2）如果设AC12，BD16，求OE的长专题1.2 矩形的性质与判定（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、
10、掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系；2、理解并掌握矩形的性质定理、直角三角形斜边中线定理及证明过程;会用矩形的性质定理进行推导证明;3、会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力【知识点梳理】考点 1 矩形的性质 ：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）考点2 直角三角形斜边上的中线：推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。考点3 矩形的判定：矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)
11、。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）四个角都相等的四边形是矩形。【典例分析】【考点 1 矩形的性质】【典例1】（2022青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO5，AB6，则矩形ABCD的面积是（）A28B32C48D50【答案】C【解答】解：四边形ABCD是矩形，AC2AO10，ABC90，BC，矩形ABCD的面积ABBC6848，故选：C【变式1-1】（2022春东城区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ADB30，AB6，则OC（）A12BC6D3【答案】C【解答】解：四边形ABCD是矩形，DAB90，ACBD2OC，在RtABD
12、中，ADB30，AB6，BD2AB12，BD2OC，OC6故选：C【变式1-2】（2022春中山市期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O若AOB60，BD8，则AD的长为（）A4B5C3D4【答案】D【解答】解：四边形ABCD是矩形，BD8，ACBD8，ABC90，OAOB4，AOB60，ABO是等边三角形，ABOA4，AD4，故选：D【变式1-3】（2022青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO5，AB6，则矩形ABCD的面积是（）A28B32C48D50【答案】C【解答】解：四边形ABCD是矩形，AC2AO10，ABC90，BC，矩形ABCD
13、的面积ABBC6848，故选：C【典例2】（2022武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE2，则OD（）A2B3C4D6【答案】C【解答】解：四边形ABCD是矩形，OBOD，OAOC，ACBD，OAOB，AE垂直平分OB，ABAO，OAABOB，AE2，OE2，ODOB2OE4；故选：C【变式2-1】（2022武功县一模）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OPAB交BC于点P，连接OD，若OP3，AD8，则OD的长为（）A3B4C5D6【答案】C【解答】解：在矩形ABCD中，AD8，OP3，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OPAB
14、，P是BC边的中点，BCAD8，AB2OP6，B90，AC10，点O为AC的中点，ADC90，ODAC5，故选：C【变式2-2】（2022兰州模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AEBD于点E，DAE2BAE，AD4，则OE（）ABC2D【答案】A【解答】解：四边形ABCD是矩形，DAB90，DAE2BAE，BAE30，DAE60，AEBD，AED90，ADE30，AOOD，OADODA30，AOEADO+DAO60，tanAOE，AD4，AEAD2，OE，故选：A【考点2 直角三角形斜边上的中线】【典例3】（2022春防城区期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的
15、中点M与点C被湖隔开若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（）A3kmB4kmC5kmD6km【答案】D【解答】解：ACBC，ACB90，点M是AB的中点，CMAB6（千米），故选：D【变式3-1】（2022春北京期中）如图，RtABC中，ABC90，点O是斜边AC的中点，AC10，则OB（）A5B6C8D10【答案】A【解答】解：RtABC中，ABC90，点O是斜边AC的中点，AC10，则OBAC5，故选：A【变式3-2】（2022宁德模拟）如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，若BD6，则AO 【答案】3【解答】解：四边形ABCD为矩形，ACBD，AOAC，BOBD，BD6，
16、AOBOBD3故答案为：3【变式3-3】（2021秋龙泉驿区期末）在矩形ABCD中，AB6，BC8，两对角线交于点O，则BO（）A3B4C5D10【答案】C【解答】解：四边形ABCD是矩形，BAD90，ADBC8，OBOD，BD10，BOBD5；故选：C【考点3 矩形的判定】【典例4】（2022春越秀区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（）AOBCOCBBAOB60CACBDDABAD【答案】A【解答】解：A、四边形ABCD是平行四边形，OAOCAC，OBODBD，OBCOCB，OBOC，ACBD，平行四边形ABC
17、D是矩形，故选项A符合题意；B、由四边形ABCD是平行四边形，AOB60，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；C、四边形ABCD是平行四边形，ACBD，平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，ABAD，平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：A【变式4-1】（2021春丰台区期末）在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明ABCD是矩形，这个条件可以是（）AABBCBACBDCACBDDAOB60【答案】B【解答】解：A、四边形ABCD是平行四边形，ABBC，ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、四
18、边形ABCD是平行四边形，ACBD，ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、四边形ABCD是平行四边形，ACBD，ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、由四边形ABCD是平行四边形，OAB60，不能判定ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：B【变式4-2】（2021秋高新区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）AABCBCDBABCADCCAOBODAODO【答案】B【解答】解：A、四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABC+BCD180，ABCBCD，ABC90，平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、
19、四边形ABCD是平行四边形，ABCADC，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、四边形ABCD是平行四边形，AOCOAC，BODOBD，AOBO，ACBD，平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，AOCOAC，BODOBD，AODO，ACBD，平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B【变式4-3】（2021秋法库县期末）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）A测量对角线是否相互平分B测量其中三个角是否都为直角C测量对角线是否相等D测量两组对边是否分别相等【答案
20、】B【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形故选：B【典例5】（2022春开封期中）如图，在ABCD中，E是DC边的中点，且EAEB（1）求证：ADEBCE；（2）求证：ABCD是矩形【答案】略【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，D+C180，E是DC边的中点，DECE，在ADE和BCE中，ADEBCE（SSS）；（2）由（1）可知，ADEBCE，DC，D+C180，DC90，四边形ABCD是平行四边形，平行四边形
21、ABCD是矩形【变式5-1】（2021秋天府新区期末）已知：如图，在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E求证：四边形ADCE为矩形；【答案】略【解答】证明：ABAC，AD是BAC的平分线，ADBC，BADCADADC90，AN为ABC的外角CAM的平分线，MANCANDAE90，CEAN，AEC90四边形ADCE为矩形【变式5-2】（2021秋皇姑区校级期中）如图，点B在线段MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交ABM和ABN的平分线于点C和点D试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论【答案】略【解答】解：四边形ACBD是矩形，
22、理由如下：CDMN，OCBCBM，BC平分ABM，OBCCBM，OCBOBC，OCOB，同理可证：OBOD，OBOCOD，O是AB的中点，OAOB，四边形ACBD是平行四边形，CDOC+OD，ABOA+OB，ABCD，四边形ACBD是矩形【典例6】（2022春盐城月考）如图，在ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AFCB交CE的延长线于点F，连接BF（1）求证：AFBD；（2）当ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由【答案】（1） 略 （2）：ABAC时，四边形BDAF为矩形【解答】（1）证明：点D是BC的中点，BDCD，点E是AD边的中点，AEDE，AFC
23、D，AFEDCE，AEFDEC，AEFDEC（AAS），AFCD，AFBD；（2）解：ABC满足：ABAC时，四边形BDAF为矩形，理由如下：ABAC，BDCD，ADB90，由（1）知四边形BDAF为平行四边形，BDAF为矩形【变式6-1】（2022青岛一模）已知：如图，ABC中，BD平分ABC交AC于点D，E为AB中点，过点A作AFBD，交DE延长线于点F（1）求证：AFBD；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请证明你的结论【答案】（1） 略（2）当ABC满足ABCB时，四边形AFBD是矩形【解答】（1）证明：AFBD，FAEDBE，E为AB的中点，EAEB，在AEF和BE
24、D中，AEFBED（ASA），AFBD；（2）解：当ABC满足ABCB时，四边形AFBD是矩形，理由如下：由（1）可知，AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形，ABCB，BD平分ABC，BDAC，BDA90，平行四边形AFBD是矩形【变式6-2】（2022春滨海县月考）如图，在ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明【答案】（1） OEOF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形【解答】解：（1）OE
25、OF，MNBC，OECBCE，OFCFCD，CE平分ACB，CF平分ACD，BCEACE，OCFFCD，ACEOEC，OCFOFC，OEOC，OCOF，OEOF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，AOCO，OEOF，四边形AECF是平行四边形，ECA+ACFBCD，ECF90，四边形AECF是矩形【考点 4 矩形的性质与判定】【典例7】（2022春景县期中）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CECD，延长BC到点F，使CFBC，顺次连接点B，E，F，D，且BD1，AC（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证：四边形BEFD是矩形；（3）四边形B
26、EFD的周长为 【答案】（1）略（2）略 （3）2+2【解答】（1）解：四边形ABCD是菱形，BD1，AC，S菱形ABCDACBD1；（2）证明：四边形ABCD是菱形，ACBD，OBOD，CECD，CFBC，四边形BEFD是平行四边形，OC是BDE的中位线，OCBE，BEBD，DBE90，平行四边形BEFD是矩形；（3）解：四边形ABCD是菱形，OCOAAC，由（2）可知，OC是BDE的中位线，BE2OCAC，四边形BEFD是矩形，EFBD1，BEDF，四边形BEFD的周长2（BD+BE）2+2，故答案为：2+2【变式7-1】（2022春长沙期中）如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中
27、点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AFBC（1）求证：四边形ABFC为矩形；（2）若AFD是等边三角形，且边长为，求四边形ABFC的面积【答案】（1）略 （2）3【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，BAECFE，点E是ABCD中BC边的中点，BECE，在ABE和FCE中，ABEFCE（AAS），ABFC，ABFC，四边形ABFC是平行四边形，又AFBC，平行四边形ABFC为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，ACF90，ACDF，AFD是等边三角形，AFDF2，CFDF，AC3，S矩形ABFCACCF33【变式7-2】（20
28、22隆阳区模拟）如图，在四边形ABCD的中，ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且AOCO，OAB是等边三角形（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若S四边形ABCD4，求BD的长【答案】（1）略 （2）4【解答】（1）证明：ABCD，OABOCD，在AOB和COD中，AOBCOD（ASA），BODO，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，OAB是等边三角形，OAOB，OAOCOBOD，ACBD，平行四边形ABCD是矩形；（2）解：OAB是等边三角形，ABOAOB，AOCO，AC2OA，AC2AB，四边形ABCD是矩形，ABC90，BCAB，S四边形ABCDABBCAB24，AB24，AB2，OB2，BD2OB4【变式7-3】（2022春邗江区校级月考）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CEBD，EBAC，连接OE，交BC于F（1）求证：四边形OCEB是矩形；（2）如果设AC12，BD16，求OE的长【答案】（1）略 （2）10【解答】（1）证明：CEBD，EBAC，四边形OBEC为平行四边形四边形ABCD为菱形，ACBD，BOC90，四边形OBEC为矩形；（2）解：四边形ABCD是菱形，AC12，BD16，ACBD，OAOCAC6，OBODBD8，DOC90，CD10，平行四边形OCED为矩形，OECD10
