1、第八单元 平面解析几何 第一节 直线与方程 基础梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角 定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_与直线l_方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_ 倾斜角的范围为_(2)直线的斜率 定义 一条直线的倾斜角a的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=_，倾斜角是90的直线斜率不存在 过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1 x2)的直线的斜率公式为k=_.2.直线方程的五种形式 名称 方 程 适用范围 点斜式 不含直线x=x0 斜截式 不含垂直于x轴的
2、直线 两点式 不含直线x=x1(x1 x2)和直线y=y1(y1 y2)截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3.几种特殊直线的方程(1)过点P(a，b)垂直于x轴的直线方程为_；过P(a，b)垂直于y轴的直线方程为_(2)已知直线的纵截距为b，可设其方程为_(3)已知直线的横截距为a，可设其方程为_(4)过原点且斜率是k的直线方程为_ 答案：1.(1)正方向 向上 0 0，180)(2)正切值 tan a 2121yyxx2.y-y0=k(x-x0)y=kx+b Ax+By+C=0(A2+B2 0)112121yyxxyyxx1xyab3.(1)x=a
3、 y=b(2)y=kx+b(3)x=my+a(4)y=kx 基础达标1.(教材改编题)经过A(-4，-3)，B(5，-1)两点的直线的倾斜角是()A.锐角 B.钝角 C.直角 D.零度角 2.(教材改编题)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有()A.ab0，bc0 B.ab0，bc0 C.ab0 D.ab0，bc0，-0，即ab0，bc0.3.B 解析：截距为0时有一条，截距不为0时有一条 4.(3,1)解析：将kx-y+1=3k变为直线的点斜式方程为y-1=k(x-3)，知直线过定点(3,1)5.2x+y-3=0 解析：过A、B两点的斜率为k=-2，由点斜式写出直线方程化简得2
4、x+y-3=0.132549 abcb5 11 1 解：当m=0时，a=90，满足题意；当m 0时，45a135，k1或k-1，1或 -1，解得0m 或m0.综上，m的取值范围是 .经典例题题型一 直线的倾斜角和斜率【例1】已知经过A(m,2)，B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为a，且45a135，试求实数m的取值范围 232mm232mm343,433.0.,.0,.,4 444ABCD 变式1-1 直线xcos q+y-1=0(qR)的倾斜角的范围是 ()答案：D 解析：设倾斜角为a，则k=tan a=-cos q.qR，-1-cos q1，-1tan a1，a 30,44 解：方法一：
5、由题意可知直线在坐标轴上的截距不能为零，设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为12-a，直线方程 为 +=1，因为直线过点A(-3,4)，所以 +=1，整理得a2-5a-36=0，解得a=9或a=-4，所以直线方程为 +=1或 +=1，即x+3y-9=0或4x-y+16=0.题型二 求直线的方程【例2】求经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等于12的直线方程 xa12ya3a412a9x3y4x16y方法二：因为直线在两坐标轴上都存在截距且不为零，故直线的斜率存在且不为零，故设直线方程为y-4=k(x+3)(k0)当x=0时，y=4+3k，当y=0时，x=-3，所以3k+4-3
6、=12，即3k2-11k-4=0，解得k=4或k=-，所以直线方程为y-4=4(x+3)或y-4=-(x+3)，即4x-y+16=0或x+3y-9=0.4k4k1313方法三：设直线方程为y=kx+b，因为直线过点A(-3,4)，所以3k-b+4=0，又直线在两坐标轴上的截距之和为12，所以b+=12.由解得k=4，b=16或k=-，b=3，所以直线方程为y=4x+16或y=-x+3，即4x-y+16=0或x+3y-9=0.bk1313变式2-1 求过点P(3,4)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程 解：当直线过原点时，方程为y=x；当直线不经过原点时，设方程为 +=1，把P(
7、3,4)代入得a=5,方程为2x+y-10=0，综上，所求方程为y=x或2x+y-10=0.xa2ya4343题型三 与直线方程有关的最值问题【例3】直线l过点M(2,1)，且分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，O为原点求当AOB面积最小时，直线l的方程 解：方法一：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0)，则有A 与B ，所以S(k)=(1-2k)=(4+4)=4，当且仅当-4k=，即k=-时，等号成立 故直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0.12,0k0,1 2k1212k12144kk 121k1212方法二：设过M(2,1)的直线为 +=1(a0，b0)，则 +=1.由基本不等式得2 +=1，即ab8，SAOB=ab4，当且仅当 =，即a=4，b=2时，等号成立 故直线方程为 +=1，即x+2y-4=0.xayb2a1b2 1a b2a1b2a1b124x2y变式3-1 过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则|PA|PB|的值最小时直线l的方程是_ 答案：x+y-3=0 解析：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0)，则A ，B(0,1-2k)，|PA|PB|=4，12,0k221441kk 22184 kk
