1、专题1.1 锐角三角函数（知识讲解）【学习目标】1结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在RtABC中，C90，A所对的边BC记为a，叫做A的对边，也叫做B的邻边，B所对的边AC记为b，叫做B的对边，也是A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即.同理；特别说明：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，
2、反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成， ，不能理解成sin与A，cos与A，tan与A的乘积书写时习惯上省略A的角的记号“”，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、常写成、(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0A90间变化时，tanA0要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30、45、60角
3、的各三角函数值，归纳如下：锐角3045160特别说明：(1)通过该表可以方便地知道30、45、60角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、的值依次为、，而、的值的顺序正好相反，、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)【典型例题】类型一、三角函数概念的辨析1 （1）如图1ABC中，C为直角，AC=6，BC=8，D，E两点分别从B，A开始同时出发，分别沿线段BC，AC向C点匀速运动，
4、到C点后停止，他们的速度都为每秒1个单位，请问D点出发2秒后，CDE的面积为多少？（2）如图2，将（1）中的条件“C为直角”改为C为钝角，其他条件不变，请问是否仍然存在某一时刻，使得CDE的面积为ABC面积的一半？若存在，请求出这一时刻，若不存在，请说明理由【答案】（1）D点出发2秒后，CDE的面积为12；（2）D点出发2秒钟时CDE的面积为ABC面积的一半，理由见解析.【分析】（1）D，E出发2秒后，BD=AE=2，然后求出CD，CE的长，根据三角形的面积公式求解即可；（2）如图，过B，D点分别作AC，CE边上的高，设D，E运动时间为x秒，根据根据三角形的面积公式列出方程式求解即可.解：（1
5、）D，E出发2秒后，BD=AE=2，CD=BCBD=82=6，CE=ACAE=62=4，则SCDE=CDCE=64=12.答：D点出发2秒后，CDE的面积为12.（2）如图，过B，D作AC边上的高DH，BG设D，E运动时间为x秒，则(8x)(6x)sinBCG=68sinBCG解得x=2或x=12（舍去），所以D点出发2秒钟时CDE的面积为ABC面积的一半，举一反三：【变式1】如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，求的值【答案】【分析】先证明ADCBEC，根据相似三角形的性质得到=，再证明CDECAB，根据相似三角形的面积比定义相似比的平方计算即可解：ADBC，BEAC，ADC=BE
6、C=90，C=C，ADCBEC，=，=，C=C，CDECAB，=，=（）=（）2=【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键【变式2】.如图，射线OA放置在45的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使AOB为直角三角形，并且（1）使tanAOB的值为1；（2）使tanAOB的值为【答案】（1）如图1所示：见解析；（2）如图2所示；见解析【分析】根据tanAOB的值分别为1、，构造直角三角形进而得出答案解：如图1所示：OA=,且tanAOB=1，AB=OB=,可找到格点B.如图2所示；同上一问的解法
7、，可以求得AB=,OB=.即可找到点B.【点拨】此题主要考查了应用设计与作图，利用锐角三角函数关系得出是解题关键类型二、求三角函数值2 如图，的顶点都是正方形网格的格点，求的三角函数值【答案】，【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最后根据三角函数的定义求解即可解：不妨设小正方形的边长为1，如图，过点C作于点F，交的延长线于点E，则，即，解得，在中，故答案为：，【点拨】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和三角函数的定义是解决此题的关键举一反三：【变式1】已知：如图，RtABC中，ACB=90，CDA
8、B于D点，AB=4，BC=3求：sinACD、cosACD、tanACD【答案】sinACD，cosACD，tanACD【分析】先得到B=ACD，根据勾股定理可以求得AC的长度，即可求得B即ACD的三角函数值解：CDAB，ACB=90，B+BCD =ACD+BCD=90，B=ACD，RtABC中，AB=4，BC=3，AC=，sinACD=sinB=，cosACD=cosB=，tanACD= tanB=【点拨】本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，考查了勾股定理的运用，本题中求AC的长是解题的关键【变式2】.（1）如图：在中，根据图中的作图痕迹可知为的_；（2）在第（1）问的条件下，请完善以下
9、求的过程：作于点，设为，则列方程得：_解得：_，_【答案】（1）角平分线；（2）x+x=1，-1，-1【分析】（1）根据角平分线的作法判断即可（2）证明BD=DE，根据BC=1，构建方程求解即可解：（1）由作图可知，AD平分CAB，故答案为：角平分线；（2）DEAB，DCAC，AD是角平分线，DC=DE，AED=90，CA=CB=1，C=90，B=45，BD=DE，x+x=1，x=-1，tanBAD=tanCAD=-1，故答案为：x+x=1，-1，-1【点拨】本题考查了作图-基本作图，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题类型三、由三角函
10、数值求边长3 如图，在中，点D在边上，且（1）求长；（2）求的正弦值【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求得，再根据三角函数的定义求得，勾股定理求得，即可求解；（2）过点A作交延长线于点E，根据等腰直角三角形的性质求得，根据三角函数的定义即可求解解：（1），；（2）如图，过点A作交延长线于点E， ，是等腰直角三角形，【点拨】此题考查了三角函数的有关性质，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义以及相关基本性质是解题的关键举一反三：【变式1】已知：如图，在四边形中，垂足为，过点作，交的延长线于点.（1）求证：四边形是平行四边形（2）若，求的长【答案】(
11、1)详见解析;(2)9【分析】(1)直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；(2)利用锐角三角函数关系得，设，再利用勾股定理得出AE的长，进而求出答案解：(1)，四边形是平行四边形；(2) 四边形是平行四边形，,，设，即，解得：，【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系、勾股定理，正确得出是解题关键【变式2】.如图，在矩形中，点是边上的点，于点（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意易得，则有，进而可得，然后可得，进而问题可求证；（2）由（1）得：，则有，进而可得，然后可得，设，则有，最后由三角函数可得，求解即可解：（
12、1）证明：四边形是矩形，；（2）解：由（1）得：，在中，设，则有，即，解得：，【点拨】本题主要考查三角函数及矩形的性质，熟练掌握三角函数及矩形的性质是解题的关键类型四、三角函数值的增减性4 如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、（1）若，试比较、的大小； （2）若，都是锐角，且试判断、的大小，并给出证明【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较解：在中，在中，又；根据得，又【点拨】考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大举一反三：【
13、变式1】我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较，角的正弦，余弦，正切值的大小.【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律（2）根据（1）中规律即可解：（1）由题图可知，.，又，且，又，又，.规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的
14、增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大.（2）；.【点拨】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键【变式2】.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是 ，（1）将向下平移 4 个单位后得到，请画出；（2）将绕原点 逆时针旋转 90后得到，请画出，并直接写出的值；【答案】（1）见解析；（2）图见解析，【分析】（1）将的向下平移 4 个单位后得到坐标，依次连接即可；（2）将三点绕绕原点逆时针旋转 90后得到，依次连接即可得到，作C2DB2C2，求出，即可求出的值.解：（1）将的向下平移 4 个单位后得到坐标，依次连接即可得到如图所示；（2）将
15、三点绕绕原点逆时针旋转 90后得到，依次连接即可得到如图所示 ，作C2DB2C2，在Rt中，.【点拨】本题是对图形平移旋转的考查，熟练掌握图形平移，旋转的作法及三角函数知识是解决本题的关键.类型五、由函数值确实锐角的取值范围5 如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高；（2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？【答案】（1）2米；（2）符合【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可；（2）先求出锐角三角函数值，再利
16、用锐角三角函数值求出角的范围即可解：（1），答：滑梯高为2米；（2）AC=2m,BC=4m，正切值随着角的增大函数值增大，这架滑梯的倾斜角符合安全要求【点拨】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键举一反三：【变式1】如图，在中，点是的中点，是等腰直角三角形，线段与线段相交于点，将绕点逆时针转动，点从线段上转到与点重合的过程中，线段的长度的取值范围_【答案】【分析】由旋转的性质可得DE=CD=3，由点Q在EF上运动，可得当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，当DQEF时，DQ有最小值，由锐角三角
17、函数可求解解：BC=6，点D是BC的中点，CD=BD=3，将DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合，DE=CD=3，线段EF与线段AB相交于点Q，点Q在EF上运动，当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，如图，连接DQ，当DQEF时，DQ有最小值，DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，E=45，DQ的最小值为故答案为：【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解决问题是本题的关键【变式2】.函数对任意实数都有，且是三角形的内角，则的取值范围是_【答案】【分析】因为cos0，所以只要0，函数值恒为正由0，得到三角函数不等式，再把正弦转化为余弦，解不等式，最后利用三角函数的增减性求出的取值范围解：由题意得： 即：，（2cos-1）（cos+2）0，解得cos，又因为0180，所以的取值范围为060故答案是：060【点拨】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）根的判别式当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根同时考查了锐角三角函数的性质，锐角的余弦随着角度的增大而减小；同角的正余弦的平方和为1记住特殊角的三角函数值
