1、专题九 平面向量讲义9.2 数量积知识梳理.数量积1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角(2)范围：设是向量a与b的夹角，则0180.(3)共线与垂直：若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则|a|b|cos_叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos_叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积3.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3
2、)(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20题型一. 基本公式1若非零向量a、b满足|a|=|b|且(2a+b)b，则a与b的夹角为（）A6B3C23D562已知非零向量a，b夹角为45，且|a|2，|ab|2则|b|等于（）A22B2C3D23已知向量a，b及实数t满足|a+tb|3若ab=2，则t的最大值是 题型二. 几何意义投影1设向量e1，e2是夹角为23的单位向量，若a=3e1，b=e1e2，则向量b在a方向的投影为（）A32B
3、12C12D12如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则APAC= 3如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量AB在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则APAB的取值范围是 题型三. 转换基底1如图，在ABC中，ADAB，BC=23BD，|AD|1，则ACAD=（）A23B3C32D232已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=AB+AC且APBC，则实数的值为（）A37B73C712D1273如图，P为AOB所在平面内一点，向量OA=a，OB=b，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量OP=c若|a|3，|
4、b|2，则c(ab)的值为 题型四. 数量积运算律求最值1向量a，b的夹角为120，|a|=|b|=1，|c|=2，则|a+2b+c|的最大值为（）A23B2C2+3D42已知向量a，b满足|a|5，|b|1且|a4b|21，则ab的最小值为 3在梯形ABCD中，ABCD，ABBC2，CD1，M是线段BC上的动点，若BDAM=3，则BABC的取值范围是 题型五.数量积坐标运算1已知向量a=（2，1），b=（1，1），c=（m2，n），其中m，n均为正数，且（ab）c，下列说法正确的是（）Aa与b的夹角为钝角B向量a在b方向上的投影为55C2m+n4Dmn的最大值为22如图，在矩形ABCD中，A
5、B=2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF=2，则AEBF的值是 3已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=2EC，AEBD=23，则AFEF的最小值为（）A23B43C15275D7336题型六. 极化恒等式1设向量a，b满足|a+b|=10，|ab|=6，则ab=（）A1B1C4D42如图，ABC是边长为23的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则APBP的取值范围是 3已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PB+PC)的最小值为（）A3B6C2D83课后作业. 数量积1已知向量a、b满足|a|=1，|b
6、|=2，|2a+b|=3|2ab|，则a与b夹角为（）A45B60C90D1202已知ABC满足AB2=2BACA，则ABC的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰直角三角形D等腰三角形3已知向量ae，|e|1，对任意tR，恒有|ate|ae|，则（）AaeBa（ae）Ce（ae）D（a+e）（ae）4如图，在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则ABAC=（）A34B28C16D225如图，在ABC中，BAC=3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若AC3，AB4，则APCD的值为（）A3B1312C1312D1126如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF=2，则AEBF的值是 7已知a、b均为单位向量，且ab=0若|c4a|+|c3b|=5，则|c+a|的取值范围是（）A3，10B3，5C3，4D10，58已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB1，BC2，若AM是BC边上的高，点P在ABC内部或边界上运动，则AMBP的取值范围是（）A1，0B12，0C34，12D34，09在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|DB|DC|2，DABC=DBAC=DCAB=0，动点P，M满足|AP|1，PM=MC，则|BM|2的最大值为
