1、2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷03（人教B版2019）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1已知直线与垂直，则的值是（ ）A或BCD或【答案】C【解析】由题意得 ，选C.2若方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】若方程表示椭圆，则，解得或.3圆与直线的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D不能确定【答案】C【解析】圆的圆心为（2,0），半径为1，圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系为相离，4如图，三棱锥ABCD中，AB底面BCD，BCCD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则A
2、E的长为ABCD【答案】B【解析】连AE, CBD是等腰Rt, BECD且BE=1，AB底面BCD, ABBE，由勾股定理，AE.5向量，若，且，则的值为（ ）AB1CD4【答案】C【解析】解：向量，若，则，解得；又向量，且，则，解得；所以6已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A2BC3D【答案】A【解析】双曲线的一条渐近线为过第一象限，所以点在渐近线上，可得，所以所以7在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【答案】C【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.8已知抛物线（）与
3、双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为抛物线与双曲线焦点相同，所以，因为与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得：，因为，代入上式可得：，化简得：，两边同时除以得：，解得或（舍），设渐近线斜率为k，由，解得，所以倾斜角应大于，所以区间可能是，二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9（多选）设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则（ ）ABCD【答案】AC【解析
4、】如图，建立空间直角坐标系，则，A对；，B错；，C对；，D错10若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中正确的是（ ）A若，则为椭圆B若为椭圆，且长轴在轴上，则C若为双曲线，则或D若是双曲线，则其离心率有【答案】CD【解析】对于选项A，当时，曲线化为，此时为圆，故A不正确；对于选项B，若为椭圆，且长轴在轴上，则，解得，故B不正确；对于选项C，若为双曲线，则，解得或，故C正确；对于选项D，若是双曲线，则或，当时， ，此时离心率.当时， ，此时离心率;故D正确.故选：CD.11已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（ ）A的最大值为B的最大值为C的最大值为D的最大值为【答案】CD【解析】对于A，设，
5、则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，解得，所以的最大值为，故A说法正确；对于B，的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为，所以的最大值为，故B说法正确；对于C，设，把代入圆方程得，则，解得，最大值为，故C说法错误；对于D，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，解得，所以的最大值为，故D说法错误.12如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）ABC向量与的夹角是60D与所成角的余弦值为【答案】AB【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们
6、彼此的夹角都是60，所以，则，所以A正确；，所以B正确；显然为等边三角形，则.因为，且向量与的夹角是120，所以与的夹角是120，所以C不正确；因为，所以，所以，所以D不正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设平面与向量垂直，平面与向量垂直，则平面与位置关系是_【答案】平行【解析】因为，所以因为平面与向量垂直，所以平面与向量也垂直而平面与向量垂直，所以可得故答案为：平行.14已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】因为双曲线的离心率为2，所以，所以，所以该双曲线的渐近线方程为.15已知半径为5的动圆C的圆心在直线上.若动圆C过点，求圆C的方程_，存在
7、正实数_，使得动圆C中满足与圆相外切的圆有且仅有一个.【答案】或 【解析】依题意，可设动圆C的方程为：其中圆心满足.又动圆过点，解方程组，可得或，故所求圆C的方程为：或.由圆O的圆心到直线l的距离，当满足时，即时，动圆C中有且仅有1个圆与圆相外切.16在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为_【答案】【解析】以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则令，则，所以平面的一个法向量点到平面的距离为，四、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17若直线的方程为.（1）若
8、直线与直线垂直，求的值；（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【解析】解：（1）直线与直线垂直，解得（2）当时，直线化为：不满足题意当时，可得直线与坐标轴的交点，直线在两轴上的截距相等，解得：该直线的方程为：，18已知圆，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为.（1）若点运动到处，求此时切线的方程；（2）求满足条件的点的轨迹方程.【解析】（1）切线斜率不存在时，即，满足圆心到切线距离等于半径，当切线斜率存在时，设综上，切线的方程为或；（2）设，则由得19如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.（1）求证：
9、平面平面；（2）若是的中点，连接，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【解析】解：（1）是圆的直径，与圆切于点，底面圆，平面，.又在中，平面，从而平面平面.（2） ，为二面角的平面角， ，如图建立空间直角坐标系，易知，则，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为， ， ，即故平面的一个法向量为，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20已知直线，且垂足为（1）求点的坐标；（2）若圆与直线相切于点，且圆心的横坐标为2，求圆的标准方程【解析】解：（1）根据题意，直线，若，则有，解可得，则直线的方程为，即；联立两直线的方程：，解可得，即的坐标为；（2）根据题意，若圆与直线相切
10、于点且且垂足为，则圆心在直线上，设的坐标为，则有，解可得，则圆心的坐标为，圆的半径，则圆的标准方程为21已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆E上，且（1）求椭圆E的方程；（2）过的直线分别交椭圆E于和，且，问是否存在实数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）由已知，得，即 又点在椭圆上，所以，解得，故椭圆的标准方程为 （2）当轴时，由，由当轴时，由，得， 当都不与轴垂直时，设，设，直线的方程与椭圆E的方程联立并消去y得：，则， 所以，从而， 同理可得所以，令，得综上，存在常数，使得成等差数列22已知圆与直线相交于两点，且.（1）求的值；（2）过点作圆的切线，切点为；再过作圆的切线，切点为，若，求得最小值（其中为坐标原点）.【解析】（1），圆心到直线距离的距离， 解得 .（2）设，由于， 切线，同理：切线， 化简得到：，最小值即为原点到直线距离.故.
