1、数 学 必修5 人教B版新课标导学第三章 不等式 3.2 均值不等式第2课时 均值不等式的应用证明问题1 课前自主学习 2 课堂典例讲练 3 课 时 作 业 返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 课前自主学习返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为a2，高分别为a和b，C、D的底面积均为b2，高分别为a和b(其中ab)现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜先取者有没有必胜的方案？若有，有几种？返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 常见的不等式：1a2b2_(a、bR)2
2、ab_ a2b22(a、bR)2ab(ab2)2返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 1已知 a、bR，则下列不等式不一定成立的是 导学号 27542680()Aab 1ab2 2 B(ab)(1a1b)4Ca2b2ab abD 2abab abD返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 A 中 ab 1ab2 ab 1ab2 2，B 中(ab)(1a1b)2 ab21ab4，当且仅当 ab 时取等号C 中(a2b2)2ab(ab)2(ab)(a3b3)0当且仅当 ab 时，取等号选 D返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 2若 0a1,
3、0b1，且 ab，则 ab,2 ab，2ab，a2b2 中最大的一个是导学号 27542681()Aa2b2B2 abC2abDabD返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 解法一：0a1,0b2ab，ab2 ab，aa2，bb2，aba2b2，故选 D解法二：取 a12，b13，则 a2b21336，2 ab 63，2ab13，ab56，显然56最大返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 3在ABC 中，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边，若 a、b、c 成等差数列，则 B 的取值范围是 导学号 27542682()A0B4B0B3C0B2D2BB返
4、回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 a、b、c 成等差数列，2bac.cosBa2c2b22aca2c2ac2 22ac3a2c28ac146ac8ac1412，当且仅当 ac 时，等号成立余弦函数在(0，)上为减函数，00，y0，(x2y)(1y2x)xy4yx 42xy4yx 48，当且仅当xy4yx，即 x2y 时，等号成立由2x1y1x2y，得x4y2.x4，y2 时，x2y 取最小值 8.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 5若 a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的 a、b 恒成立的是_(写出所有正确命题的编号).导学号 275
5、42684ab1；a b 2；a2b22；a3b33；1a1b2.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 abab221，成立欲证 a b 2，即证 ab2 ab2，即 2 ab0 显然不成立欲证 a2b2(ab)22ab2，即证 42ab2，即 ab1，由知成立a3b3(ab)(a2abb2)3a2abb232(ab)23ab324323abab56，由知，ab56不恒成立欲证1a1b2，即证abab 2，即 ab1，由成立返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 课堂典例讲练返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 命题方向1 不等式的证明
6、技巧字母轮换不等式的证法已知 a、b、c 为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca.导学号 27542685解析 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，a2b2c2abbcca.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 点评 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换abca后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 跟踪练习 1 导学号 27542686若 a、b、c 均为正数，求证：a3b3c
7、33abc.解析 a3b3a2bab2a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，a、b 为正数，(ab)20，ab0，a3b3a2bab2，同理可得 b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 将式两边分别相加，得2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2(a2bbc2)(ab2ac2)(b2ca2c)b(a2c2)a(b2c2)c(a2b2)b2aca2bcc2ab6abc，a3b3c33abc.显然，当且仅当abc时，a3b3c33abc.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 命题方
8、向2 利用均值不等式证明不等式已 知 a0，b0，c0，且 a b c 1.求 证：1a 1b 1c9.导学号 27542687解析 证法一：a0，b0，c0，1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc 3(baab)(caac)(cbbc)32229.即1a1b1c9(当且仅当 abc 时取等号)返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 证法二：a0，b0，c0，1a1b1c(abc)(1a1b1c)1bacaab1cbacbc13(baab)(caac)(cbbc)32229.1a1b1c9(当且仅当 abc 时取等号)返回导航第三章 不等式 数 学 必
9、修 人 教 B 版 点评 含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“abc1”下，1的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 跟踪练习 2 导学号 27542688已知 x0，y0，z0，且 xyz1.求证：x y z 3.解析 x0，y0，z0，xy2 xy，xz2 xz，yz2 yz，2(xyz)2(xy xz yz)xyz1，xy xz yz1 成立xyz2(xy xz yz)3，即(x y z)23，x y z 3.返回导航第三章 不等式
10、数 学 必 修 人 教 B 版 命题方向3 均值不等式的综合应用已知 a、b、c、d 都是实数，且 a2b21，c2d21，求证：|acbd|1.导学号 27542689解析 证法一(综合法)：因为 a、b、c、d 都是实数，所以|acbd|ac|bd|a2c22b2d22a2b2c2d22.又因为 a2b21，c2d21，所以|acbd|1.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 证法二(比较法)：显然有|acbd|11acbd1.先证 acbd1.acbd(1)acbd1212acbda2b22c2d22ac2bd220，acbd1.再证 acbd1.返回导航第三章 不等式
11、 数 学 必 修 人 教 B 版 1(acbd)1212(acbd)a2b22c2d22acbdac2bd220，acbd1.综上得|acbd|1.证法三(分析法)：要证|acbd|1，只需证明(acbd)21，即只需证明 a2c22abcdb2d21.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 由于a2b21，c2d21，因此式等价于a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2)将式展开化简得(adbc)20.因此a、b、c、d全是实数此式成立，故式成立，从而原命题得证点评 三种证法各有侧重点，但都植根于条件a2b21与c2d21的灵活运用上，解题时要善于展开联想，不放过一种
12、可能的思路火花，多方探索、对比，对开阔视野，训练思维很有帮助返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 跟踪练习 3 导学号 27542690已知 a0，b0，ab1，求证：(a1a)(b1b)254.解析 左边(a1a)(b1b)ab 1abbaab(1ab ab)2baab2.a、b(0，)，baab2，又 a0，b0，ab1，返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 1ab2 ab.ab12，1ab2，ab12，1ab ab32，(ab 1ab)294.左边9422254，(当且仅当 ab12时取等号)返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 求函数 y x25x24的最小值.导学号 27542691错解 y x25x24x241x24 x241x242.函数的最小值为 2.辨析 误解中忽视了判定等号是否成立返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 正解 y x25x24x241x24 x241x242.当且仅当 x241x24，即 x241 时，等号成立，这显然不可能令 t x24，x244，t2.yt1t在2，)上为增函数，当 t2 时，函数取最小值52.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 B 版 课 时 作 业
