1、2实际问题的函数建模1实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容怎样用函数知识刻画实际问题呢？一般可以从以下两步进行：1认真读题，缜密审题应用问题往往文字较多，已知信息繁杂，因此读题是解应用题的起点读题就像语文阅读一样，要弄清楚整个题目有几层意思，每层意思是什么，要解决什么问题，与其相关的因素有哪些，等等在读题时必须要对关键字、词、句、式仔细分析，重要部分做标记，或边读边列，才能捕捉到题中函数模型与数量的关系2引进数学符号，建立函数模型理解了题意还需要用数学去刻画它，换句话说，是用数学的眼光看实际问题，用数学的语
2、言表达实际问题，也就是数学建模选用函数模型，要根据题中的各个量，合理选取参数，设定变元，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，建立相应的函数模型例如，在教材问题3中，除去一条曲线和上面的几个点，在题干上几乎没有数字，也没有类似于“相等”“大于”或“乘积”这样的明确关系，其实那条曲线也可以完全不要面对这样的问题，就要分析每一句话，弄清其含义“河道”被抽象为曲线，“沿河边”的电缆也就是这条曲线上的“曲线段”，“监测站”可以被看作是曲线上的点然后是建模，曲线被拉直，电缆的总长度并没有发生变化，但是，这样就可以给直线加上方向、原点和单位长度，直线变成数轴了，原问题就成为求绝对值函数值这样一个明确且熟悉的
3、数学问题了通过以上两步，就完成了用数学知识对实际问题的“刻画”，用数学刻画实际问题是数学应用的第一步【例11】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2013年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2013年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()AyBy()mCy0.9550xm Dy(10.0550x)m解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为a.50年内覆盖面积减少了5%，(1a)5015%，解得a.从2013年起，经过x年后，冰雪覆盖面积答案：A【例12】汽车油箱为长方体形状容器，它的长为a cm，宽为b cm，高为c cm，汽车开始行驶时
4、油箱内装满汽油已知汽车的耗油量是n cm3/km，汽车行驶路程y(km)与油箱内剩余油量的液面高度x(cm)的函数关系式为()Ay(cx)(0xc)By(cx)(0xc)Cy(nx)(0xc)Dy(nx)(0xc)解析：因为汽车行驶时耗油量等于长方体容量的体积减去油箱内剩余油量，所以nyabcabx，故y(cx)(0xc)答案：B【例13】某商店将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个商店老板统计发现，若该商品每涨价1元，其销售量就减少20个该商品售价与所获利润有什么函数关系？分析：由题意知，商品售价的取值范围是90,110)，当商品售价在90,110)内每取一个值时，所获利
5、润总有唯一确定的值与之对应，因此变量利润是变量商品售价的函数由于利润(售价进价)销售量，为了表达两个变量间的函数关系，首先用字母表示变量，设商品售价为x元时，所获利润为y元，用含x的代数式表示出因涨价而减少的销售量，即可得到y与x的函数关系式解：设商品售价定为每个x元时，所获利润为y元，x90,110)，此时销售量为40020(x90)2 20020x.由题意得y(2 20020x)(x80)20(x95)24 500，即商品售价x与所获利润y之间的函数关系式为y20(x95)24 500，x90,110)谈重点 用函数刻画实际问题的关键用函数刻画实际问题的关键在于理解题意，这就要求：一要加强
6、对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；二要不断拓宽知识面，提高自己的间接生活阅历，如经常了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等方面的知识，也可以是涉及角度、面积、体积、造价等方面的最优化问题，逐步渗透、细水长流，循序渐进地培养实际问题数学化的意识和能力；三要抓住题目中的关键词或关键量，特别是关于变量的相等关系，这是函数解析式的原型，例如本题中的利润2利用给定的函数模型解决实际问题利用给定的函数模型解决实际问题时，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力求解时一般按以下几步进行：第一步：认真审题读
7、懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，尤其是理解叙述中的名词、概念，以及题中单位之间的关系分析出已知是什么，求什么，涉及哪些知识确定自变量与函数的关系审题时要抓住题目中的关键量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想，实现实际问题向数学问题的转化第二步：引进数学符号，建立函数模型设自变量为x，函数为y，用含x的表达式表示各相关变量，根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识以及其他相关知识建立函数关系式，即建立函数模型第三步：用数学方法将所得到的函数模型问题予以解答，求得结果第四步：再转化成实际问题，进行检验作出规范解答例如：某医药研究所开发一种
8、新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效求服药一次治疗疾病的有效时间这是一个一次函数、指数函数相结合的题目，根据条件设出解析式或结合图像中的已知点求解析式是解答的关键(1)当t0,1时，函数的解析式为ykt，将M(1,4)代入得k4，y4t.又当t(1，)时，函数的解析式为，将点(3,1)代入得a3.综上有yf(t)(2)由f(t)0.25，解得t5.服药一次治疗疾病的有效时间为小时【例21
9、】北京市的一家报刊摊点，从报社买进某种报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社在一个月(30天计算)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解：设每天从报社买进x(250x400)(xN)份报纸，每月获得总利润y元，则y0.10(20x10250)0.1510(x250)0.5x625，x250,400函数y在250,400上单调递增，当x400时，ymax825元即摊主每天从报社买进40
10、0份时，每月获得的利润最大，最大利润为825元【例22】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式Pf(t)；写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Qg(t)(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天)分析：本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题解：(1)f(t)设g(t)a(
11、t150)2100，将t50，g(t)150代入得.g(t)(t150)2100(0t300)(2)设t时的纯收益为y元，当0t200时，yf(t)g(t)(t300).当t50时，y取到最大值，最大值为100.当200t300时，yf(t)g(t)(2t300).当t300时取到最大值，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大解技巧 分段函数求最值的步骤1根据图形运动的特殊情况确定临界值和确定自变量的取值范围；2分别画出不同情况下的图形；3分别列出不同情况下的函数关系式；4求出各个函数在各自自变量取值范围内的最大(小)值，通过比较得到图形运动中的最大(小)值3用函数模型
12、解决实际问题函数模型是应用最广泛的数学模型之一所谓的函数模型，就是把实际问题用函数语言抽象概括得到的关于实际问题的数学描述，抓住题中所蕴含的数学信息，恰当、准确地建立函数模型，用相应的模型对我们日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题以及其他与几何、物理等知识有关的实际问题进行归纳加工，建立相应的函数，确定变量的限制条件，运用函数的方法进行求解，最后就可以解决一些实际问题了常见的函数模型有：(1)直线模型：即一次函数模型ykxb(k0)，其增长特点是直线上升(x的系数k0)，通过画图可以很直观地认识它(2)指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0)，其增
13、长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(b1，a0)，通常形象地称为指数爆炸(3)对数函数模型：ymlogaxn(m0，a0，a1)，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(a1，m0)(4)幂函数模型：yaxnb(a0)，其中最常见的是二次函数模型yax2bxc(a0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小(或增大)，后增大(或减小)在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，结合图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题相结合，如取整等谈重点 两种模型课本从两个方面展开对数学模型的学习，一是机理模型，二是拟合模型1机理模型对于一个实际问题
14、，如果在建模过程中，我们的注意力集中在使用数学语言描述问题中主要因素之间的相互联系或制约的关系，这样构建出来的模型称之为机理模型这一类模型描述的是实际问题中主要因素间相互作用的机理，通过对模型所进行的数学的分析，比较容易使人们加深对所研究的实际问题的认识因此，机理模型是相当广泛的一类数学模型2拟合模型我们知道，数据是从实际问题中直接观测得到的，它包含与问题相关的大量信息，如果我们面临的问题比较复杂，不能通过适当的假设来发现问题中的主要因素及其相互作用的机理时，数据资料往往能够为我们寻找所讨论的问题中有关变量的关系给出很好的提示我们称直接从拟合数据资料出发组建的数学模型为拟合模型由于组建模型时缺
15、乏有关因素之间作用机制的细致讨论，模型的使用和分析的深度受到了限制一般来说，这类模型会告诉我们可能会发生什么情况，但无法说清楚为什么会是这样通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的大多数实际问题都不能事先知道函数模型，对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，
16、再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是：能够根据原始数据、表格，绘出散点图通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据【例31】灌满开水的热水瓶放在室
17、内，如果瓶内开水原来的温度是1度，室内气温是0度，t分钟后，开水的温度可由公式0(10)ekt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ，过1小时后又测得瓶内水温变为98 .已知某种奶粉必须用不低于85 的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100 的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20 )分析：先用待定系数法来确定k的值，然后根据给出的时间列出方程解出水的温度与85 相比即可，大于这个度数可以用，否则不可以用解：根据题意，有9820(10020)e60k，整理得e60k，.利用计算器，
18、解得k0.000 422 0.故2080e0.000 422 0t.从早上六点至中午十二点共过去六小时，即360分钟当t360时，2080e0.000 422 03602080e0.151 9，由计算器算得89 85 ，即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉析规律 利用待定系数法求函数关系式一般来说，若题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数解析式然后再利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题【32】某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满公司欲提高档次，并提高租金如果每
19、间客房每日增加2元，客房出租就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高多少时，每天客房的租金总收入最高？分析：列出函数的解析式，转化为求函数的最大值解：设客房租金每间提高2x元时，客房租金总收入为y元，由题意得y(202x)(30010x)20x2400x6 00020(x10)28 000(0x150，xN)，则当x10时，y有最大值为8 000，即将客房租金提高到2021040(元/间)时，每天客房租金总收入最高为8 000元解技巧 确定函数模型的步骤当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景；第二步
20、：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论【例33】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高x(cm)的函数关系？试写出这个函数模型的解析
21、式(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？分析：根据表格的数据画出散点图经观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线根据这些点的分布情况，可以考虑用yabx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图根据点的分布特征，可考虑以yabx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型不妨取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入yabx，得用计算器算得a2，b1.02.这样，我们就得到一个函数模
22、型：y21.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图像，如图所示可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系(2)将x175代入y21.02x，得y21.02175，由计算器算得y63.98.由于7863.981.221.2，所以这个男生偏胖析规律 函数应用的基本过程根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图像判断问题所适用的函数模型，利用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程应注意的是，用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
