1、 专题08 一次函数与反比例函数的实际应用（解析版）类型一 一次函数的实际应用（1）方案选择问题1（2022内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元（1）求购进A、B两种纪念品的单价；（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大
2、？求出最大利润思路引领：（1）设某商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；（2）设某商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；（3）设总利润为W元，根据总利润两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即可解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，由题意，得10a+5b=10005a+3b=550，解得a=50b=100，该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据题意，得50x
3、+100y10000，由50x+100y10000得x2002y，把x2002y代入x6y，解得y25，y20，20y25且为正整数，y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，共有6种进货方案；（3）设总利润为W元，则W20x+30y10y+4000，100，W随y的增大而减小，当y20时，W有最大值，W最大1020+40003800（元），当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元总结提升：本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出A，B两
4、种纪念品的单价是关键2（2021东莞市校级二模）某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图（1）求a的值；（2）结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；（3）通过计算，写出当月主叫通话时间y（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱思路
5、引领：（1）利用待定系数法可求出BC的解析式，再根据“方式一”的计费方式，也可求得BC的解析式，比较系数即可（2）根据两种计费方式可求出射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式（3）根据（2）所求即可得出结论解：（1）由题图可知，M（350，100），设BC所在直线为ykt+b，把B（150，60），M（350，100）代入，得：150k+b=60350k+b=100，解得：k=15b=30y=15t+30（t150）当t150时，ya（t150）+60at+60150a，a0.2（2）由（1）可知射线BC对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为，y1
6、0.2t+30，t150min，又方式二中超过限定时间的部分0.25元/分钟，y20.25（t380）+1000.25t+5射线EF对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为，y20.25t+5，t380min（3）0t150min时，y160y2100；150t350min时，y10.2t+30y2100；t500min时，y10.2t+30y20.25t+5综上所述，通话时间0t350min或t500min时，方式一省钱总结提升：考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解（2） 最大利润问题3（2022襄阳）为了振兴乡村经济，
7、我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg（1）求出0x2000和x2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润销售额成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货
8、方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值思路引领：（1）分当0x2000时，当x2000时，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可知，分当1600x2000时，当2000x4000时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围解：（1）当0x2000时，设ykx，根据题意可得，2000k30000，解得k15，y15x；当x20
9、00时，设ykx+b，根据题意可得，2000k+b=300004000k+b=56000，解得k=13b=4000，y13x+4000y=15x(0x2000)13x+4000(x2000)（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000x）千克，1600x4000，当1600x2000时，w（128）（6000x）+（1815）xx+24000，10，当x1600时，w的最大值为11600+2400022400（元）；当2000x4000时，w（128）（6000x）+18x（13x+4000）x+20000，10，当x4000时，w的最大值为4000+2000024000（元），综上，w=x+2
10、4000(1600x2000)x+20000(2000x4000)；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元（3）根据题意可知，降价后，w（128a）（6000x）+（182a）x（13x+4000）（1a）x+200006000a，当x4000时，w取得最大值，（1a）4000+200006000a15000，解得a0.9a的最大值为0.9总结提升：本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式4某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过10.57万元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价280
11、0元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于12.32万元设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？思路引领：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40x）台，根据总进价不超过105700元和销售额不低于123200元建立不等式组，求出其解即可；（2）根据利润等于售价进价的数量关系分别表示出购买A型电脑的利润和B型电脑的利润就求其和就可以得出结论解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40x）台，由题意，得2500x+2
12、800(40x)1057003000x+3200(40x)123200，解得：21x24，x为整数，x21，22，23，24有4种购买方案：方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；（2）由题意，得y（30002500）x+（32002800）（40x），500x+16000400x，100x+16000k1000，y随x的增大而增大，x24时，y最大18400元答：采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元总结提升：此题考查一次函
13、数的应用以及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答（3）行程问题5（2022牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象请解答下列问题：（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）
14、出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案思路引领：（1）利用速度路程时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：ykx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），乙的速度为：8001800（米/分钟），乙从B地到C地用时：24008003（分钟），G（6，2400）H（8，2400）甲的速度为24008300（米/分钟），故答案为：300；800；（2）设直线FG的解析式为：ykx+b（k0），且由图象可知F（
15、3，0），由（1）知G（6，2400）3k+b=06k+b=2400，解得，k=800b=2400直线FG的解析式为：y800x2400（3x6）（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米O（0，0），H（8，2400），直线OH的解析式为：y300x，D（1，800），直线OD的解析式为：y800x，当0x1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，令800x+300x600，解得x=611当2x3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，300x+800800（x2）600解得x=185（不合题意，舍去）当x3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往
16、C地走，300x+800800（x2）600或800（x2）（300x+800）600，解得x=185或x6综上，出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米总结提升：本题考查一次函数的应用、路程速度时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型6（2022长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程
17、y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示（1）m ，n ；（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程思路引领：（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n6；（2）用待定系数法可得y60x+80，（2x6）；（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米解：（1）由题意知：m2001002，nm+42+46，故答案为：2，6；（2）设ykx+b，将（2，200），（6，440）代入得：2k+b=2006k+b
18、=440，解得k=60b=80，y60x+80，（2x6）；（3）乙车的速度为（440200）2120（千米/小时），乙车到达A地所需时间为440120=113（小时），当x=113时，y60113+80300，甲车距A地的路程为300千米总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图类型二 反比例函数的实际应用7（2022广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示（1）求储存室的容积V的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16d2
19、5，求储存室的底面积S的取值范围思路引领：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式求出V的值；（2）由d的范围和图像的性质求出S的范围解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式得500=V20，V10000（2）由（1）得S=10000d，S随d的增大而减小，当16d25时，400S625，总结提升：此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中8（2022台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位
20、：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x6时，y2（1）求y关于x的函数解析式（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离思路引领：（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；（2）根据解析式代入数值解答即可解：（1）由题意设：y=kx，把x6，y2代入，得k6212，y关于x的函数解析式为：y=12x；（2）把y3代入y=12x，得，x4，小孔到蜡烛的距离为4cm总结提升：此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答类型三 一次函数与反比例函数的综合运用9（2022卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指
21、标）随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示当0x10和10x20时，图象是线段，当20x45时是反比例函数的一部分（1）求点A对应的指标值（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由思路引领：（1）设反比例函数的解析式为y=kx，由C（20，45）求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；（2）求出AB解析式，得到y36时，x325，由反比例函数y=900x可得y36时，x25，根据25325=93517，即可得到答案解：（1）设当20x45时，反比例函数的解析式为y=
22、kx，将C（20，45）代入得：45=k20，解得k900，反比例函数的解析式为y=900x，当x45时，y20，D（45，20），A（0，20），即A对应的指标值为20；（2）设当0x10时，AB的解析式为ymx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：20=n45=10m+n，解得m=52n=20，AB的解析式为y=52x+20，当y36时，52x+2036，解得x325，由（1）得反比例函数的解析式为y=900x，当y36时，900x36，解得x25，325x25时，注意力指标都不低于36，指标达到36为认真听讲，而25325=93517，李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时
23、，进行讲解总结提升：本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0x10和20x45时的解析式10（2021秋东平县校级月考）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10，加热到100停止加热，水温开始下降，此时水温y（）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序若在水温为30时接通电源，水温y（）与时间x（min）的关系如图所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；（2）怡萱同学想喝高于50的水，请问她最多需要等待 min？思路引
24、领：（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题解：（1）观察图象，可知：当x7（min）时，水温y100（），当0x7时，设y关于x的函数关系式为：ykx+b，b=307k+b=100，解得k=10b=30，即当0x7时，y关于x的函数关系式为y10x+30，当x7时，设y=ax，100=a7，得a700，即当x7时，y关于x的函数关系式为y=700x，当y30时，x=703，y与x的函数关系式为：y=10x+30(0x7)700x(7x703)，y与x的函数关系式每703分钟重复
25、出现一次；（2）将y50代入y10x+30，得x2，将y50代入y=700x，得x14，14212，70312=343，怡萱同学想喝高于50的水，她最多需要等待343min，故答案为：343总结提升：本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答第二部分 专题提优训练1（2019淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（）ABCD思路引领：根据题意得到xy矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应0，其图象在第一象限；于是得到结论解：根据题意xy
26、矩形面积（定值），y是x的反比例函数，（x0，y0）故选：B总结提升：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限2（2021宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（）ABCD思路引领：直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案解：气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=m
27、V（V，p都大于零），能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：故选：B总结提升：此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键3（2022鄂州一模）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示（1）a ，b （2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程思路引领：（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为2
28、70千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；（2）运用待定系数法解得即可；（3）求出甲车到达距B地90千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可解：（1）乙车的速度为：（270602）275千米/时，a270753.6，b270604.5故答案为：3.6；4.5；（2）603.6216（千米），当2x3.6时，设ykx+b，根据题意得：2k+b=03.6k+b=216，解得k=135b=270，y135x270（2x3.6）；当3.6x4.5时，y60x，y=135x270(2x3.6)60x(3.6x4.5)（3）甲车到达距B地90千米处时，x=27090
29、60=3，将x3代入y135x270，得y1353270135，即当甲车到达距B地90千米处时，甲、乙两车之间的路程是135千米总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答4（2022春孝感期末）民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如表，商品甲乙进价（元/件）6050售价（元/件）100100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）（1）求y与x的函数关系式；（2）若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元问共有多
30、少种购进方案？直接写出总利润的最大值（总利润总销售额总进货费用）思路引领：（1）分两种情况：当0x20时和当20x90时，分别根据已知列出函数关系式即可；（2）由购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元，得x4560(90x)+50x5000，即可解得共有6种购进方案；设总利润为w元，可得w（20x+9400）60（90x）+50x10x+4000，由一次函数性质可得总利润的最大值是3600元解：（1）当0x20时，y100（90x）+100x9000，当20x90时，y100（90x）+20100+（10020）（x20）20x+9400，y=9000(0x20)20x+9400(20x90)；（2）购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元，x4560(90x)+50x5000，解得40x45，x是整数，x可取40，41，42，43，44，45，共有6种购进方案；设总利润为w元，40x45，总销售额y20x+9400，w（20x+9400）60（90x）+50x10x+4000，100，w随x的增大而减小，x40时，w取最大值，最大值为1040+40003600（元），答：总利润的最大值是3600元总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
