1、数 学 必修5 人教B版新课标导学第一章 解三角形 1.2 应用举例第1课时 距离问题1 课前自主学习 2 课堂典例讲练 3 课 时 作 业 返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 课前自主学习返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20n mile的B处现在“白云号”以10nmile/h的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以8n mile/h的速度由A处向南偏西60方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近？本节将用正、余弦定理解决此类问题
2、返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 1测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题这实际上是已知三角形两个角和一条边解三角形的问题，用_可解决问题正弦定理返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 2测量两个不可到达的点之间的距离问题首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用_求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题余弦定理返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 3方位角从指北方向_时针转到目标方向的水平角如图(1)所示顺返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人
3、教 B 版 4方向角相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向，如图(2)所示北偏西，即是由指北方向逆时针旋转到达目标方向其他方向角类似5在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线一般来说，基线越_，测量的精确度越高长返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 1如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是导学号 27542097()Aa和c Bc和b Cc和 Db和D解析 在ABC中，能够测量到的边和角分别为b和.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 2如图所示，为了测量隧道口AB的长度
4、，给定下列四组数据，测量时应当用数据 导学号 27542098()A，a，bB，aCa，b，D，b解析 根据实际情况，、都是不易测量的数据，而a、b可以测得，角也可以测得，根据余弦定理AB2a2b22abcos能直接求出AB的长，故选CC返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 3如图，某炮兵阵地位于点A，两观察所分别位于C、D两点已知ACD为正三角形，且DC3 km，当目标出现在B时，测得BDC45，BCD75，则炮兵阵地与目标的距离为_.导学号 275420992.91 km返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 在BCD中，BDC45，BCD75，
5、CBD180BCDCDB60.在BCD中，由正弦定理，得BCsinCDBDCsinCBD，BC 3sin45sin60 2.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos135322 3 2(22)52 3，AB 52 32.91.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 4在相距2 km的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_ km.导学号 27542100解析 如图所示，由题意知C45，由正弦定理，得 ACsin60 ABsin45，AC 222 32 6.6返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 5如
6、图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量，已知AB50m，BC120m，于A处测得水深AD80m，于B处测得水深BE200m，于C处测得水深CF110m，求DEF的余弦值.导学号 27542101返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 由题意可得DE250212021302，DF2170230229800，EF212029021502，由余弦定理，得cosDEF1665.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 课堂典例讲练返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 命题方向1 测量一个可到达点与一个不可到达点
7、之间的距离如图所示的某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段两侧B、C两点间的距离，在河段的一岸边选取点A，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，且AB100 m求B、C两点间的距离.导学号 27542102返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 在ABC中，CAB75，CBA45，ACB180754560.由正弦定理，得ABsinACBBCsinCAB，BCABsin75sin60 100 6 2432150 250 63.B、C两点间的距离为150 250 63 m.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 跟踪练习1 导学号 27542103如
8、图所示，为了测量水田的宽度，某观测者在A的同侧选定一点，测得AC8 m，BAC30，BCA45，则水田的宽度为_.4(31)m返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 如图所示过点B作AC的垂线，D为垂足在ABC中，由正弦定理，得 ABsin458sin105，AB8 sin45sin1058 226 248(31)在RtABD中，BDABsinBAC8(31)124(31)水田的宽度为4(31)m.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 命题方向2 测量两个不可到达的点之间的距离要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距1003 m的C、D两点，
9、并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离.导学号 27542104分析 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 如图所示，在ACD中，CAD180(12030)30，ACCD100 3.在BCD中，CBD180(4575)60.由正弦定理，得BC100 3sin75sin60200sin75.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 在ABC中，由余弦定理，得AB2(100 3)2(200s
10、in75)22100 3200sin75cos751002(341cos15022 3sin150)10025，AB100 5.答：A、B两地间的距离为100 5 m.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 点评(1)求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是BCD和ABC(2)本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中AB可视为基线(3)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的CD在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长
11、，测量的精确度越高返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 跟踪练习2 导学号 27542105 如图，现要计算北江岸边两景点B与C的距离由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得ADCD，AD10 km，AB14 km，BDA60，BCD135，求两景点B与C的距离(假设A、B、C、D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：21.414)返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x210220 x cos60.整理，得x210 x960.解得x116，x26(舍去)在
12、BCD中，由正弦定理，得BCsinCDBBDsinBCD，所以BC16sin135sin308 211(km)返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 命题方向3 正、余弦定理在航海测量上的应用如图所示，海中小岛A周围38 n mile内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30 n mile后，在C处测得小岛在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？导学号 27542106 分析 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38 n mile的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它
13、与38 n mile比较大小即可返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 解析 在ABC中，BC30，B30，ACB135，BAC15，由正弦定理，得 BCsinA ACsinB即：30sin15 ACsin30，AC60cos1560cos(4530)60(cos45cos30sin45sin30)15(6 2)，A到BC的距离为dACsin4515(31)40.98 n mile38 n mile，所以继续向南航行，没有触礁危险返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 跟踪练习3 导学号 27542107 如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上
14、点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km)返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 分析(1)PA、PB、PC长度之间的关系可以通过收到信号的时间差建立起来(2)作PDa，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA的长和cosAPD，即cosPAB的值
15、由题意，PAPB，PCPB都是定值，因此，只需要分别在PAB和PAC中，求出cosPAB，cosPAC的表达式，建立方程即可返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 解析(1)依题意，PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km)PB(x12)km，PC(18x)km.在PAB中，AB20 km，cosPABPA2AB2PB22PAABx2202x1222x203x325x.同理，cosPAC72x3x.由于cosPABcosPAC，即3x325x72x3x，解得x1327(km)返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版(2)如图，作 PDa，垂足
16、为 D在 RtPDA 中，PDPAcosAPDPAcosPABx3x325x31327 32517.71(km)答：静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17.71 km.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 某观测站 C 在城 A 的南偏西 20的方向，由城 A 出发的一条公路，走向是南偏东 40，在 C 处测得公路上 B 处有一人，距 C 为 31 km，正沿公路向 A城走去，走了 20 km 后到达 D 处，此时 CD 间的距离为 21 km，问：这人还要走多少 km 才能到达 A 城？导学号 27542108错解 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才
17、可到达 A 城，即求 AD 的长，在ACD 中，已知 CD21 km，CAD60，只需再求出一个量即可返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 如图，设ACD，CDB，在CBD 中，由余弦定理，得cosBD2CD2CB22BDCD20221231222021 17，sin4 37.在ACD 中，ACsin180 21sin602132，返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 AC2123 4 37 24，CD2AC2AD22ACADcos60，即 212242AD222412AD，整理，得 AD224AD1350，解得 AD15 或 AD9，答：这个人再走 1
18、5 km 或 9 km 就可到达 A 城辨析 本题在解ACD 时，利用余弦定理求 AD，产生了增解，应用正弦定理来求解返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 正解 如图，令ACD，CDB，在CBD 中，由余弦定理得cosBD2CD2CB22BDCD20221231222021 17，sin4 37.又 sinsin(60)sincos60sin60cos4 37 12 32 175 314，在ACD 中，21sin60 ADsin，AD21sinsin60 15(km)答：这个人再走 15 km 就可以到达 A 城返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 B 版 课 时 作 业
