1、倍半角模型巩固练习（提优）1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AB上，且FDE45，连接DE、DF、EF，试探究EF、AF、CE之间的数量关系.【解答】EFAFCE，证明见解析【解析】如图，将DCE绕着点D顺时针旋转90得到DGA.EDCADFFDE90，FDE45，EDCADF45，又旋转，DEDG，GDAEDC，GDAADFGDFFDE45，在DGF与DEF中，DFDF，GDFEDF，DGDE，DGFDEF，EFGFGAAF，旋转，GACE，EFAFCE.2.如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D在CB的延长线上，连接AD，EAAD，ACEABD.（1）求证：ADAE；
2、（2）点F为CD的中点，AF的延长线交BE于点G，求AGE的度数.【解答】（1）见解析；（2）AGE90【解析】（1）证明：EAAD，DAE90，DABBAE90，BAC90，CAEBAE90，DABCAE，ACEABD，ABAC，ADBACE，ADAE；（2）如图，延长AG至点H，使得FHFA.点F为CD的中点，DFCF，DFHCFA，DFHCFA，DHAC，HCAF，DHAC，ADHDAC180，BAEDACBAEDAEEAC9090180，ADHBAE，ABAC，DHAB，ADAE，ADHEAB，DAHAEB，DAHGAE90，AEBGAE90，AGE180（AEBGAE）1809090
3、.3.如图，在平行四边形ABCD中，AEBC于点E，CECD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，12.（1）若CF2，AE3，求BE的长；（2）求证：CEGAGE.【解答】（1）；（2）见解析【解析】（1）CECD，点F是CE的中点，CF2，DCCE2CF4，四边形ABCD是平行四边形，ABCD4，AEBC，AEB90，在RtABE中，由勾股定理可得；（2）如图，过点G作GMAE于点M.AEBC，GMAE，GMBCAD，在DCF与ECG中，DCFECG，CGCF，CECD，CE2CF，CD2CG，即点G是CD的中点，ADGMBC，M为AE的中点，AMEM，GMAE，A
4、GEG，AGMEGM，AGE2MGE，GMBC，EGMCEG，CEGAGE.4.如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AFBE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BMDMCD.（1）求证：点F是CD边上的中点；（2）求证：MBC2ABE.【解答】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）四边形ABCD是正方形，ADDCABBC，CDBAD90，ABCD，AFBE，AOE90，EAFAEB90，EAFBAF90，AEBBAF，ABCD，BAFAFD，AEBAFD，BADD，ABAD，BAEADF，AEDF，点E是边AD的中点，点F是CD边上的中点；（2）延长AD至点G，使得MGMB
5、，连接FG、FB，如图所示：BMDMCD，DGDCBC，GDFC90，DFCF，FDGFCB，DFGCFB，点B、F、G共线，点E为AD边上的中点，点F是CD边上的中点，ADCD，AECF，ABBC，CBAD90，AECF，ABECBF，ABECBF，AGBC，AGBCBFABE，MBCAMB2AGB2GBC2ABE，MBC2ABE.5.如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分BAF交BC于点E，且DEAF，垂足为点M，BE3，求MF的长.【解答】MF【解析】【方法一】AE平分BAF交BC于点E，且DEAF，B90，ABAM，BEEM3，又，设，在ADM与DFM中，又DMFDCE，即，
6、解得；【方法二】如图，在AB上取点N并使得AENEAN，连接EN，由题意可得ANNE，且BNE2BAE，BE3，设，则，在RtEBN中，由勾股定理得，解得，由和得DM1，由和DM1得MF.6.如图，在ABC中，ACB90，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若AMDBMD.求证：CDA2ACD.【解答】见解析【解析】证明：过点A作AGDC交BM延长线于点H交BC的延长线于点G，连接HC，如图所示：由题意可得BMDAHB，AMDHAM，HACACD，即，CMDM，HGAH，即点H是AG的中点，ACBC，HCAHACACD，HCMHCAACDACDACD2ACD，HAMAMD，AMDBMD，BMD
7、AHB，BMDHMC，HMAM，MDMC，AMDHMC，AMHM，AMDHMC，ADMHCM2ACD.7.如图1：在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，E、F分别是BC，CD上的点，且EAF60，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是 象上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型拓展如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是BC，CD上的点，且
8、EAF=12BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是 请证明你的结论实际应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离是 海里（直接写出答案）【解答】见解析【解析】如图1，EFBE+DF，理由如下：在ABE和ADG中，AB=ADB=ADGBE=DG，ABEADG（SAS），AEAG，BAED
9、AG，EAF=12BAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AE=AGEAF=GAFAF=AF，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；故答案为 EFBE+DF；如图2，EFBE+DF，理由：延长FD到点G使DGBE连结AG，在ABE和ADG中，BE=DGB=ADGAB=AD，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAF=12BAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AE=AGEAF=GAFAF=AF，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB30+90+（9070）140，EOF70，EOF=12AOB，OAOB，OAC+OBC（9030）+（70+50）180，符合探索延伸中的条件，结论EFAE+BF成立，即EF1.2（60+80）168（海里）故答案为：168
