1、专题06实数的运算、分数指数幂（4大考点+7种题型） 思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：实数比较大小考点二：实数的运算考点三：近似数与有效数字考点四：分数指数幂题型一：实数的大小比较题型二：实数的混合运算题型三：新定义下的实数运算题型四：实数运算的实际应用题型五：与实数运算相关的规律题题型六：近似数与有效数字题型七：分数指数幂考点一：实数比较大小正数0负数；比较两数大小是中学数学中的基本类型基本技能，以下介绍几种常用的方法：1近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；2平方法：将两个数先平方，再来判定两个数大小的方法；3求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数
2、大小的方法即大于、等于、小于0可判定大于、等于、小于；4求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法即大于、等于、小于1，可判定正数大于、等于、小于正数；5求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法即对于符号相同的，两数，若，则；若，则考点二：实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方开方再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的实数运算的结果是唯一的实数运算常用到的公式有：第一组：；第二组：；考点三：近似数与有效数字1准确数概念
3、：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数2近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）3精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度近似数的精确度通常有两种表示方法：（1） 精确到哪一个数位；（2） 保留几个有效数字4有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字考点四：分数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：，其中m、为正整数，
4、上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂题型一：实数的大小比较【例1】（2023下上海长宁七年级统考期末）比较下列两实数的大小： 【答案】【分析】先估算出，即有，进而即可求解【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键【变式1】（2021下上海宝山七年级校考期中）比较大小： （填“”或“0负实数，两个正实数，哪个数的平方越大，哪个数就越大【变式2】（2022下上海嘉定七年级校考期末）比较大小： （填“”，“”或“”）【答案】【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案【详解】解：，故答案为：【点睛】
5、本题考查实数的大小比较，熟练掌握比较实数大小的方法是解题的关键【变式3】（2021下上海静安七年级上海市市西初级中学校考期中）如果，那么在；这四个数中，最大的是 【答案】【分析】利用进行逆用，分别求这四个数的六次方，并比较其结果，即可求解【详解】解：，最大的数是；故答案：【点睛】本题考查了实数的大小比较，幂的乘方公式的逆用，掌握比较方法是解题的关键题型二：实数的混合运算【例2】（2023下上海七年级阶段练习）计算：【答案】【分析】首先计算乘方、开方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可【详解】解：【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运
6、算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用【变式1】（2023下七年级单元测试）计算：【答案】【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键【变式2】（2023下上海徐汇七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）计算：【答案】【分析】根据负指数幂及实数的运算可进行求解【详解】解：原式【点睛】本题主要考查负指数幂及实数的运算，熟练掌握负指数幂及实数的运算是解题的关键【变式3】（2023下
7、上海宝山七年级校考阶段练习）计算：【答案】【分析】根据负整数指数幂，零指数，求一个数的立方根，化简绝对值，进行计算即可求解【详解】解：【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数，求一个数的立方根，化简绝对值是解题的关键【变式4】（2021下上海静安七年级上海市市北初级中学校考期中）计算：.【答案】【分析】先根据去括号法则进行化简，然后根据实数的混合运算进行计算即可【详解】解：【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握去括号法则、实数的加减运算是解题的关键【变式5】（2021下上海徐汇七年级校考期中）计算【答案】【分析】根据零指数幂，完全平方公式和平方差公式进行化简，求解即可【
8、详解】解：【点睛】此题考查了零指数幂，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关运算性质【变式6】（2023下上海浦东新七年级上海市进才中学校考期末）（1）；（2）【答案】（1）；（2）6【分析】（1）计算负整数指数幂，实数的运算，即可求解；（2）由立方根、算术平方根的运算法则进行计算，即可得到答案【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查了实数的运算法则，负整数指数幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题题型三：新定义下的实数运算【例3】（2022上上海七年级期末）阅读下列材料，并解决后面的问题材料：一般地，n个相同的因数相乘：记为若，则n叫做以a为底b的对数，记作
9、（即）例如：，此时3叫做以2为底8的对数，记作（即）；又如：，则4叫做以3为底81的对数，记作（即）问题：(1)计算以下各对数的值： ， ， ；(2)、之间满足怎样的关系式： ；(3)由（2）的结果，你能猜测出一个一般化的结论吗？猜测： 且(4)设，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性【答案】(1)2；3；5(2)(3)(4)见解析【分析】（1）利用乘方的运算，结合对数与乘方的关系求解即可；（2）根据log24=2，利用2+3=5即可得出结论；（3）根据观察（2）的计算，即可得出结论；（4）利用同底数幂的乘法，结合对数与乘方的关系即可证明【详解】（1）解：22=4，2，23=8
10、，3，35=32，5；故答案为：2；3；5；（2）解：2+3=5，log24=2，+=，故答案为：+=；（3）解：故答案为；（4）解：设，【点睛】本题考查新定义对数运算，同底数幂的乘法，指数与对数的关系，掌握新定义对数运算法则，同底数幂的乘法，乘方的运算与对数的关系是解题关键【变式1】（2022上上海杨浦七年级统考期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)_(2)当时，求x的值(3)将下面式子进行因式分解：【答案】(1)14(2)(3)【分析】（1）先按新运算的规定方法计算，再作有理数的混合运算；（2）先按新运算的规定方法展开等号左
11、边，再解方程即可；（3）先按新运算的规定方法展开，再把看作一个整体展开，而后按二次项系数是“1”的二次三项式的因式分解方法分解因式【详解】（1）原式，故答案为：14；（2）由题意得，解得：；（3）原式【点睛】本题主要考查了定义新运算，解决问题的关键是熟练掌握新定义，有理数的运算，整式的运算，解方程，换元法，因式分解【变式2】（2021下上海徐汇七年级校考期中）阅读下列材料并解答问题对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数如表示不小于的最小整数，即，所以10的根整数为4(1)计算25的根整数，得_(2)现对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对12连续求根整
12、数2次可得结果为2若对2020进行连续求根整数，则第_次可得结果为2【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据题中所给运算进行求解即可；（2）根据题中所给运算对2020进行连续求解即可【详解】（1）解：故答案为：（2）对2020进行连续求根整数，第一次：第二次：第三次：第四次：第四次可得结果为故答案为：2【点睛】此题考查了新定义运算以及算术平方根的求解，解题的关键是掌握算术平方根的求解，并理解题中所给运算【变式3】（2022上上海七年级期末）如果正整数x能够写成两个正整数a与b的和与它们的乘积之和，即xabab，那么x叫做“和谐数”，其中abab叫做x的“表达式”例如，因为51212，24444
13、4，所以5与24都是“和谐数”(1)3与20都是“和谐数”，请分别写出它们的“表达式”：3 20 (2)如果正偶数y是两位数且y是“和谐数”，那么y的最小值是 ；(3)在小于20的正整数中，“和谐数”共有 个；(4)如果“和谐数”xabab，其中an2，b（n1）2，n是正整数，请说明“和谐数”x是一个完全平方数【答案】(1)31111；202626(2)14(3)11(4)见解析【分析】（1）根据“和谐数”的定义直接写出3和20的表达式即可；（2）由y是正偶数知，a与b都是偶数，从最小的非零偶数开始试即可得出结果；（3）设正整数m为“和谐数”，令ab，当a1时，根据m20，求出b的值进而求出
14、“和谐数”，同理求出a2时，a3时，a4时求出“和谐数”，排除重复的“和谐数”，即为所求（4）因正整数x是“和谐数”，xn2+（n+1）2+n2（n+1）2，整理后可得xn2+（n+1）2，即可证明x是一个完全平方数【详解】（1）31111；202626；故答案为：1111；2626；（2）因为y是正偶数且为两位数，所以a、b都是偶数，令a和b取最小的正偶数，即a2，b2，得22228，不符合题意，舍去；再令a2，b4，得242414，符合题意；故y最小值为14，故答案为：14；（3）设正整数m为“和谐数”，令a1且bx时，则m1x1x2x120，得x9.5，故x可取1、2、3、4、5、6、7
15、、8、9，解得m3、5、7、9、11、13、15、17、19共9个；令a2且bx（不等于1），则m2x2x3x220，得x6，故x取2、3、4、5，故得m8、11、14、17，其中不与a1时重复的有两个；当a3且bx（不等于1且不等于2），则m3x3x4x320，得x4.25，故x可取3或4，得m15、19，与上述不重复的有0个；令a4且bx（x不等于1且不等于2且不等于3），m5x420，得x3.2，此时x无解；综上所述：“和谐数”共9211个，故答案为：11；（4），故此时“和谐数”x是一个完全平方数【点睛】本题主要考查对新定义的理解，以及完全平方数的知识，正确理解“和谐数”的定义及熟练掌
16、握完全平方公式是解题的关键题型四：实数运算的实际应用【例4】（2022下上海静安七年级统考期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）【答案】1.2平方米【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则剩下的木料的面积，（平方米）答：剩下的木料的面积约为平方米【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系【变式1】（2022上上海七年级专题练习）已知小正方形的边长为1，在4
17、4的正方形网中（1）求_（2）在55的正方形网中作一个边长为的正方形【答案】（1）10；（2）见解析【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可【详解】解：（1），故答案为：10；（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，则作图如下：.【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长【变式2】（2023下七年级单元测试）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题(1)到底有多大？下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道
18、面积是2的正方形边长是，且设，画出如下示意图由面积公式，可得_因为值很小，所以更小，略去，得方程_，解得_（保留到0.001），即_(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形小敏同学的做法是：设新正方形的边长为依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：画出分割线
19、并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形说明：直接画出图形，不要求写分析过程【答案】(1)，；(2)见解析【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；（2）在网格中分别找到11和12的长方形，依次连接顶点即可【详解】（1）由面积公式，可得值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即故答案为：，；（2）小敏同学的做法，如图：排列形式如图（3），如图：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键题型五：与实数运算相关的规律题【例5】（2023
20、下上海闵行七年级统考期中）观察等式：，按上述规律，若，则 【答案】【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解【详解】解：，第个式子为，第个式子为，故答案为：【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键【变式1】（2022上上海七年级专题练习）将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是 1（第1排） （第2排）1 （第3排）1（第4排）1（第5排）【答案】2【分析】所给一系列数是4个数一循环，看（5，4）与（11，7）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可【详解】解：第4排最后一个数为第10个数（1+2+3+4=10），（5
21、，4）表示第14个数（10+4=14），144=32，（5，4）表示的数为，第10排最后一个数为第55个数1+2+3+4+10=55，（11，7）表示第62个数（55+7=62），624=152，（11，7）表示的数为，则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是=2故答案为：2【点睛】此题考查数字的变化规律与二次根式的运算，找出数字循环的特点，发现规律，解决问题【变式2】（上海浦东新七年级校联考期中）先计算下列各式：=_，=_，=_，=_，=_(1)通过观察并归纳，请写出：_(2)计算：【答案】1,2,3,4,5；（1）；（2）【分析】（1）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，
22、然后用含n的式子表示；（2），然后找出其中的规律进行计算即可【详解】（1）=1；观察上述算式可知：=n（2），【点睛】本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键题型六：近似数与有效数字【例6】下列数据中，哪些是近似数?哪些是准确数?（1）上海科技馆的建筑面积约98000平方米；（2）我们班9位同学的身高为1.65米；（3）地球赤道的半径为6378千米；（4）据国家统计局在2005年12月公布的经济普查结果，我国2005年GDP总量达到159878亿元【解析】（1）98000近似数；（2）9准确数，1.65近似数；（3）6378近似数；（4）2005、12 准确数，159
23、878近似数【变式1】已知，按四舍五入法取近似值（1）_（保留五个有效数字）；（2）_（保留三个有效数字）；（3）0.045267_（保留三个有效数字）【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453【解析】考查有效数字的概念及四舍五入法的运用【变式2】月球沿一定的轨道绕地球运动，它在近地点时与地球相距363300km，在远地点时地球相距405500km按下列精确度要求，用科学记数法表示这两个数的近似数：（1）精确到万位；（2）保留三个有效数字【答案】（1）、； （2）、【解析】考查科学记数法及有效数字表示【变式3】下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字? （1）5691
24、；（2）0.0589；（3）650000；（4）0.003亿；（5）【答案】（1）个位，4个； （2）万分位，3个； （3）个位，6个 （4）十万位，1个； （5）千位，2个 【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字【变式4】已知圆锥，其中为底边圆半径，为圆锥的高.一圆锥形仓库，底边直径为，高为，若每立方米的货物重，则这个仓库堆有货物多少千克?（，结果精确到万千克）【答案】3万千克【解析】kg3万千克【总结】考查基本公式的应用，注意精确度的要求题型七：分数指数幂【例7】（2023下上海长宁七年级统考期末）计算： 【答案】6【分析
25、】根据分数指数幂的定义直接解答即可【详解】解：故答案为：6【点睛】本题考查了分数指数幂的知识，分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n次根号（a的m次幂）可以写成a的次幂，（其中n是大于1的正整数，m是整数，a大于等于0）【变式1】（2023下上海奉贤七年级校考期中）把化为底数为的幂的形式是 【答案】【分析】根据三次根式可以化成分数指数幂，然后结合幂的乘方法则即可求解【详解】解：可以写成 故答案为：【点睛】本题考查了根式化成分数指数幂的方法，关键是熟悉根式对应的分数指数幂【变式2】（2023下上海黄浦七年级统考期末）计算： 【答案】2【分析】根据幂的乘方逆运算法则和积的乘方逆运算法则求解即可【详
26、解】解：；故答案为：2【点睛】本题考查了分数指数幂、幂的乘方和积的乘方，熟练掌握幂的运算性质是解题关键【变式3】（2023下上海松江七年级统考期末）把写成方根的形式： 【答案】【分析】根据分数指数幂公式= ，解答即可【详解】解：根据分数指数幂公式=，得，故答案为【点睛】本题考查了分数指数幂，正确理解分数指数幂的含义是解题的关键【变式4】（2023下上海七年级校考期中）计算：【答案】【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握：，进行运算，即可【详解】【变式5】（2023下上海嘉定七年级校考期末）计算：【答案】【分析】先计算立方根、分数指数幂、零指数幂和二次根式，再计算加减【详解】解： 【点睛】此
27、题考查了实数混合运算的能力，涉及零指数幂，二次根式，立方根，分数指数幂，解答本题的关键是能确定准确的运算顺序，并能进行正确的计算【变式6】（2023下上海嘉定七年级校考期末）利用幂的运算性质计算：【答案】【分析】首先把每个式子化成以为底的幂的形式，然后利用同底数的幂的乘法和除法法则求解【详解】解：原式 【点睛】本题考查了分数指数幂，正确把已知的式子化成以位底数的幂的形式是关键【变式7】（2023下上海奉贤七年级校考期中）计算：【答案】75【分析】分别根据积的乘方的逆用和积的乘方的运算法则进行计算即可【详解】原式【点睛】本题考查了积的乘方的逆用和积的乘方，分数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键
28、【变式8】（2023下上海嘉定七年级统考期末）用幂的运算性质计算：【答案】9【分析】将各式转化为底数为3的同底数幂，再进行计算即可【详解】原式【点睛】本题考查幂的乘除运算解题的关键是将各式转化为同底数幂，根据同底数幂的乘除法则，进行求解【变式9】（2023下上海奉贤七年级校考期中）计算：（结果表示为含幂的形式）【答案】【分析】根据分数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘法及零指数幂的法则解决此题【详解】解： 【点睛】本题主要考查分数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘法，零指数幂，熟练掌握分数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键一、单选题1（2024下全国七年级假期作业）下列各数中，比小的
29、是（）A3B2C1.8D1【答案】D【解析】略2（2023上浙江衢州七年级校联考期中）下列说法错误的是（）A的平方根是B两个无理数的和一定是无理数C 是最小的正整数D实数与数轴上的点一一对应【答案】B【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，算术平方根，平方根，有理数的分类等等，9的平方根是，由此可判断A；，而0是有理数，即可判断B；最小的正整数是1，即可判断C；实数与数轴一一对应，即可判断D【详解】解：A、的平方根是，原说法正确，不符合题意；B、两个无理数的和不一定是无理数，如，原说法错误，符合题意；C、是最小的正整数，原说法正确，不符合题意；D、数与数轴上的点一一对应，原说法正确，不符
30、合题意；故选B3（2023上浙江金华七年级校联考阶段练习）按如图所示的程序计算，输入是（）时，始终无法输出A无理数B0C1D0或1【答案】D【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根，无理数定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算【详解】解：当时，因为0的算术平方根为0，0的立方根为0，所以输入是0时，始终无法输出；当时，因为1的算术平方根为1，1的立方根为1，所以输入是1时，始终无法输出；故选：D4（2024上河北石家庄七年级校考阶段练习）有一列数按一定规律排列：则第n个数是（）ABCD【答案】B【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，找到实数的变化规律是解题的关键根据规律可知
31、，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，再按分子、分母分别找规律求解即可【详解】解：根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，该列数的分子是，分母是，第个数是故选B5（2021下全国七年级专题练习）根式（ ，为正整数，1）用分数指数幂可表示为（）ABCD【答案】D【分析】根据分数指数幂与乘方和开方的对应关系可得【详解】解：， 故选：D【点睛】考核知识点:分数指数幂的意义理解分数指数幂与乘方和开方的对应关系是关键二、填空题6（2021下上海七年级校考期中）求值： 【答案】【分析】根据分数指数幂的运算法则进行计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了分数指数幂，解题的关键是熟练掌握
32、分数指数幂的运算法则，准确计算7（2021下上海静安七年级上海市市北初级中学校考期中）把化为幂的形式：_.【答案】【分析】根据分数指数幂的定义求解可得【详解】解：因为，所以，故答案为：【点睛】本题考查了分数指数幂的定义，注意，正确掌握分数指数幂的定义是解题的关键8（2024下全国七年级假期作业）计算： 【答案】【解析】略9（2023下上海徐汇七年级上海市第四中学校考期中）若，则 【答案】【分析】根据分数指数幂的性质求出，代入中，即可得解【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了分数指数幂，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则10（2023下上海黄浦七年级统考期末）计算： 【答案】2【分析】根
33、据幂的乘方逆运算法则和积的乘方逆运算法则求解即可【详解】解：；故答案为：2【点睛】本题考查了分数指数幂、幂的乘方和积的乘方，熟练掌握幂的运算性质是解题关键11（2021下上海松江七年级校考期中）计算： 【答案】7【分析】先利用平方差公式计算，再利用分数指数幂计算即可求解【详解】解：，故答案为：7【点睛】本题考查了分数指数幂，平方差公式，掌握相关运算法则是解题的关键12（2023上上海奉贤七年级统考期末）将分式表示成不含分母的形式 【答案】【分析】本题主要考查负指数幂的运算，根据负指数幂的意义进行变形即可【详解】解：故答案为：三、解答题13（2021下上海宝山七年级校考期中）计算：（利用幂的运算
34、性质计算）【答案】4【分析】首先将每个根式化为以2为底数的幂，然后根据同底数幂的除法与乘法运算法则求解即可求得答案【详解】【点睛】此题考查了分数指数幂的知识此题难度适中，解题的关键是掌握分数指数幂的定义，同底数幂的除法与乘法运算法则14（2022下上海嘉定七年级校考期末）计算：【答案】【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及分数指数幂法则计算即可得到结果【详解】解：【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键15（2023下辽宁营口七年级统考期中）计算(1)计算：；(2)已知x是的立方根，y是13的算术平方根求的平方根【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了立方根的定
35、义以及算术平方根的性质、平方根的定义以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键（1）直接利用平方根的性质以及立方根的定义、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案；（2）直接利用立方根的定义以及算术平方根的性质得出的值，进而利用平方根的定义得出答案【详解】（1）原式；（2）是的立方根，是13的算术平方根，的平方根是：16（2023上山东威海七年级统考期末）计算：(1)(2)【答案】(1)4(2)【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂的含义，掌握运算顺序是解本题的关键；（1）先化简绝对值，求解算术平方根与立方根，再合并即可；（2）先求解算术平方根，零次幂，立方根，再合并即可【详解】（1）解：；（
36、2）17（2024下全国七年级假期作业）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小小明的解法如下：解：我们把这种比较大小的方法称为作差法请仿照上述方法，比较下列各组数的大小：(1)和；(2)和；(3)和【答案】(1)(2)(3)【详解】解：（1）（2）（3），18（2023上山东济南七年级校联考阶段练习）观察下列各式：请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：(1)(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了二次根式的规律探究根据题意推导规律计算求解是解题的关键（1）根据，计算求解即可；（2）由题意知，；（3）根据，计算求解即可【详解】（1）解：由题意知，故答案为：；（2）解：由题意知，故答案为：；（3）解：由题意知，19（2024下全国七年级假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：，,，(1)计算：；(2)试比较与的大小【答案】(1)2022(2)【详解】解：（1）原式（2），又,，
