1、考点07 导数的运算及几何意义考纲要求内容要求ABC导数的概念导数的几何意义导数的运算了解导数的概念，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义；理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法则求简单的导数；高考情况分析年份2010年2011年2014年考查知识点函数的切线方程、函数的求导以及利用导数研究函数的最值函数的切线方程、复杂函数的求导以及利用导数研究函数的最值导数与切线的斜率导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年江苏高考中经常考查，不仅体现在填空题中也体现在大题的第一问中。多数都是以送分题的形式出
2、现。考点总结在高考复习中要注意以下几点：1、解决在点处的切线问题要抓住两点：（1）切点即在曲线上也在曲线的切线上。（2）切线l的斜率2、求函数的导数是掌握基本初等函数的求导公式以及运算法则，在求导的过程中，要仔细分析函数解析式的结构特点，紧扣求导法则把函数分解或者综合合理变形，正确求导。3、在解题过程中要充分利用好曲线的切线，挖掘切线的价值，在有些问题中，可利用切线求两个曲线上的点的之间距离或求参的范围。高考真题1、（2010年江苏卷）、函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_【答案】21 解析考查函数的
3、切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。2、（2010年江苏卷）、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_。【答案】 解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。（方法二）利用函数的方法求最小值。令，则：故当时，S的最小值是。3、（2011江苏卷） 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)ex(x0)的图像上的动点，该图像在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.
4、设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值为_【答案】： (ee1)【解析】：设P(x0，ex0)(x00)，则l：yex0ex0(xx0)令x0，得yM(1x0)ex0，即M(0，(1x0)ex0)过点P作l的垂线为yex0ex0(xx0)，令x0，得yNex0x0ex0，即N(0，ex0x0ex0)，所以tex0x0(ex0ex0)，则t，所以当x0(0,1)时，t0，t关于x0单调递增；当x0(1，)时，t0，所以m28(当且仅当m4时取等号)，则d，故点(2，1)到直线l的距离的最大值为.解法2 由题意，切点坐标为，因为y，所以切线l的斜率k，故切线l的方程为y(x1)，则直线l：m(
5、x3)4y0恒过定点(3，0)，故当直线l与两点(3，0)，(2，1)的连线垂直时，点(2，1)到直线l的距离的最大，且为.2、（2016无锡期末）在曲线yx(x0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若OAB的面积为，则x0_.【答案】：【解析】：因为y1，切点Px0，x0，x00，所以切线斜率kyxx01，所以切线方程是yx01(xx0)令y0得x，即A，0；令x0得y，即B(0，).所以SOABOAOB，解得x0.解后反思 本题根据导数的几何意义，利用切点横坐标表示切线方程，进而表示三角形的面积，渐次推演即可3、（2016南通一调）在平面直角坐标系x
6、Oy中，直线l与曲线yx2(x0)和yx3(x0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值为_【答案】： 思路分析 本题考查的是两条曲线的公切线问题在题目中已经设出两个切点坐标时，基本方法是运用点斜式分别写出切线方程，由两条切线重合建立x1，x2的方程组求解解法1 由题设可知曲线yx2在A(x1，y1)处的切线方程为y2x1 xx，曲线yx3在B(x2，y2)处的切线方程为y3 x x2x，所以解得x1，x2，所以 .解法2 由题设得解得x1，x2，所以 .4.(2016镇江期末） 曲线y(x0)与曲线ylnx公切线(切线相同)的条数为_【答案】1【解析】：令公切线与曲线f
7、(x)切于点A(x10)因为f(x)，g(x)，所以，即x2x.又kAB，所以，所以2x1ln(x1)x12.令x1t0，所以2tlntt2，即2tlntt2(t0)，所以lnt(t0)，画出函数ylnt与y的图像(如图)，在(0，)上只有一解，所以公切线只有一条 本题也可用图像分析如图，必定存在一条公切线，设这条切线与ylnx的切点为P.向右移动点P，则切线的斜率变小，切线与y(x0)相交；向左移动点P，则切线的斜率变大，与y(xx2m对任意x(0，)恒成立，求实数m的取值范围；(3) 若对任意实数a，函数F(x)f(x)g(x)在(0，)上总有零点，求实数b的取值范围 第(1)问研究函数的
8、切线问题，通常通过设出切点坐标，应用导数求出切线的斜率，进而求得切线方程，根据切线方程满足的条件求解相关的问题；第(2)问由恒成立问题求参数的取值范围，其基本方法有两种，一是将所研究的参数分离出来，转化为研究一个已知函数的最值来解决问题；二是通过移项来构造一个含有参数的函数，然后通过研究该函数的最值来解决问题第(3)问研究函数的零点问题，主要是抓住两点，一是函数的单调性，二是寻找支撑点，要避免由“图”来直观地说明【解析】： (1) 由g(1)0知，g(x)的图像过点(1，0)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像切于点T(x0，y0)由f(x)ex得切线方程是yex0ex0(xx0)，此直线
9、过点(1，0)，故0ex0ex0(1x0)，解得x00，所以af(0)e01.(3分)(2) 由题意得mexx2，x(0，)恒成立令h(x)exx2，x(0，)，则h(x)ex2x，再令n(x)h(x)ex2x，则n(x)ex2，故当x(0，ln2)时，n(x)0，n(x)单调递增，从而n(x)在(0，)上有最小值n(ln2)22ln20，即有h(x)0在(0，)上恒成立，所以h(x)在(0，)上单调递增，故h(x)h(0)e0021，(6分)所以m1.(8分)(注：漏掉等号的扣2分)(3) 若a0，F(x)f(x)g(x)exaxb在(0，)上单调递增，故F(x)f(x)g(x)在(0，)上
10、总有零点的必要条件是F(0)1.(10分)以下证明当b1时，F(x)f(x)g(x)在(0，)上总有零点若a0.由于F(0)1b0，且F(x)在(0，)上连续，由零点存在定理可知F(x)在上必有零点(12分)若a0.由(2)知exx21x2在x(0，)上恒成立取x0ab，则F(x0)F(ab)eaba(ab)b(ab)2a2abbabb(b1)0.由于F(0)1b0，且F(x)在(0，)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0，ab)上必有零点综上得实数b的取值范围是(1，)(16分) 此题有三问，这三问都是常规问题第(1)问是切线问题，只要是切点不知道的，都采用“切点待定法”；第(2)问是恒
11、成立求参数范围，只要不是压轴题，首推“参数分离”；第(3)问是函数零点问题，不能从粗糙的图像来确定，必须按零点存在定理来确定，这是此题的难点所在，难在所谓的“支撑点”的寻找，这要在平时的解题中加以积累此外第(3)问的参数范围的确定，采用的是以证代求，这也是值得关注的地方8.(2018苏北四市期末）（C18,19. (本小题满分16分)已知函数f(x)x2ax1，g(x)lnxa(aR)(1) 当 a1时，求函数h(x)f(x)g(x)的极值；(2) 若存在与函数f(x)，g(x)的图像都相切的直线，求实数a的取值范围规范解答 (1) 函数h(x)的定义域为(0，)当a1时，h(x)f(x)g(
12、x)x2xlnx2，所以h(x)2x1.(2分)令h(x)0得x(x1舍)，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)0h(x)极小值所以当x时，函数h(x)取得极小值ln2，无极大值(4分)(2) 设函数f(x)上点(x1，f(x1)与函数g(x)上点(x2，g(x2)处切线相同，则f(x1)g(x2)，所以2x1a，(6分)所以x1，代入xax11(lnx2a)得lnx2a20.(*)(8分)设F(x)lnxa2，则F(x).不妨设2xax010(x00)，则当0xx0时，F(x)x0时，F(x)0，所以F(x)在区间(0，x0)上单调递减，在区间(x0，)上单调递增，(1
13、0分)代入a2x0可得F(x)minF(x0)x2x0lnx02.设G(x)x22xlnx2，则G(x)2x20对x0恒成立，所以G(x)在区间(0，)上单调递增又G(1)0，所以当0x1时，G(x)0，即当00，所以当xea21时，F(x)lnea2a20.(14分)因此当0x01时，函数F(x)必有零点，即当0x01时，必存在x2使得(*)成立，即存在x1，x2使得函数f(x)上点(x1，f(x1)与函数g(x)上点(x2，g(x2)处切线相同又由y2x，x(0，1得y20，所以y2x在(0，1上单调递减，因此a2x01，)所以实数a的取值范围是1，)(16分) 主要分析第(2)小题，消元后得到关于x2的方程后，需要两次构造新函数协助研究，并且第一次构造的函数F(x)的驻点存在x0但不是特殊点，这些问题的处理策略都是需要强化的；另外两个新函数F(x)，G(x)中的两个特殊值F(ea2)0，G(1)0也起着承上启下的作用，所以本题既是对考生数学思维能力的考查，又是对考生数学基本功的检验
