1、专题06 正多边形与圆知识梳理：一.、正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距补充说明：正多边形的性质：（1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴
2、对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心二.、正多边形与圆的关系1. 把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆三.、正多边形有关的计算1. 正边形的每个内角都等于；2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于；题型一：正多边形的相关概念【例1】下面给出六个命题：各角相等的圆内接多边形是正多边形；各边相等的圆内接多边形是正多边形；正多边形是中心对称图形；各角均为的六边形是正六边形；边数相同的
3、正边形的面积之比等于它们边长的平方比；各边相等的圆外切多边形是正多边形其中，正确的命题是_【例2】以下说法正确的是 ( )A每个内角都是120的六边形一定是正六边形B正n边形的对称轴不一定有n条C正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数D正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形【例3】以下说法错误的是（ ）A多边形的内角大于任何一个外角B任意多边形的外角和是C正六边形是中心对称图形D圆内接四边形的对角互补【例4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( ) 正三角形；正方形；正五边形；正六边形；线段；圆；菱形；平行四边形A3个B4个C5个D6个【例5】正十边形的中心角是（ ）A
4、18B36C72D144【例6】下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）A正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B存在一个正多边形，它的外角和为C任何正多边形都有一个外接圆 D不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【例7】若O的内接正n边形的边长与O的半径相等，则n的值为（）A4B5C6D7题型二：正多边形与圆的有关计算【例1】如图，四边形ABCD为O的内接正四边形，AEF为O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A8B10C12D15【例2】如图，正五边形ABCD内接于O，连接对角线AC，AD，则下列结论：BCAD；BAE=3CAD；BACEAD；AC
5、=2CD其中判断正确的是（ ）ABCD【例3】如图，正五边形ABCDE内接于，点P为DE上一点（点P与点D，E不重合），连接PC，PD，垂足为G，则等于_度. 【例4】如图，A、B、C是上顺次三点，若分别是内接正三角形、正方形的一边，则_【例5】如图，正六边形中，连接，则的长为_【例6】如图，AC是O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是O的内接正十边形的一边，若AB是O的内接正n边形的一边，则n=_ .【例7】如图，已知正五边形ABCDE内接于O，则劣弧AB的度数是（）A45B60C72D90【例8】如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则BED的度数为（）
6、A30B45C50D60题型三：正多边形的画法【例1】作图与证明:如图，已知O和O上的一点A,请完成下列任务:(1)作O的内接正六边形ABCDEF;(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明.【例2】已知O和O上的一点A（如图）. （1）作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； （2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是O内接正十二边形的边. 【例3】已如：O与O上的一点A（1） 求作：O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由 【例4】如图正六边形的边长为1，请
7、分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图（1） 在图1中，画出一条长度为0.5的线段（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形 【例5】如图，A是O上一点（1）作O的内接等边ABC（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若O的半径为3，求ABC的边长【例6】已知O，如图所示（1）求作O的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若O的半径为4，则它的内接正方形的边长为_题型四：内接圆 外接圆综合【例1】半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ B ）A1： B：1 C3：2：1 D1：2：3在ABC中，C90，AB5，周长为12，那么ABC内切圆半径
8、为（ ）A3 B2.5 C2 D1【例3】若O是ABC的外接圆，且ABC=50，ACB=80，则BOC=_若O是ABC的内切圆，且ABC=50，ACB=80，则BOC=_【例4】如图，O是ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是O上一点，EMF=55，则A=_【例5】如图，O是ABC的外接圆，OCB=40，则A的度数等于（ ）A30 B40 C50 D60【例6】若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为_【例7】若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为 3【例8】已知正五边形的外接圆直径为6，那么该正五边形外接圆的半径为 【例9】如图，已知O的内接正六边形ABCDEF的边
9、心距OM2cm，则该圆的内接正三角形ACE的边长为 cm题型四：解答题题型【例1】如图，正方形ABCD内接于O，M为的中点，连接AM，BM（1）求证：；（2）求的度数【例2】如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB1，求BF【例3】如图，A，P，B，C是O上的四个点，APCCPB60（1）求证：ABC是等边三角形（2）若O的半径为2，求等边ABC的边心距【例4】如图，正方形ABCD内接于O，P为上一点，连接DP，C（1）CPD ；（2）若DC4，CP，求DP的长【例5】如图正方形ABCD内接于O，E为CD任意一点，连接DE、AE（1）求AED的度数（2）如图2，过点B作BFD
10、E交O于点F，连接AF，AF1，AE4，求DE的长度课后练习1、半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（）A2B1CD2、如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则AFO的度数为 3、若一个正多边形的中心角为40，则这个正多边形的内角和是 度4、半径为5的正六边形的周长为 5、如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为 6、如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AGBH（1）求FAB的度数；（2）求证：OGOH7、如图，若干相同正五边形排成环状图中已经排好前3个五边形，还需 个五边形完成这一圆环8半径为R的圆内接正多边形中，下列图形边心距最大的是（）A正三角形B正方形C正五边形D正六边形9如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b20mm，则边长a mm10正多边形的中心角是36，那么这个正多边形的边数是（）A10B8C6D511已知O过正方形ABCD顶点A、B，且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径为 12如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点F，求证：ACAB+BF
