1、对角互补模型巩固练习（基础）1.如图，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，在RtMPN中，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PEPF时，AP .【解答】3【解析】如图，作PQAB于点Q，PRBC于R.PQBQBRBRP90，四边形PQBR是矩形，QPR90MPN，QPERPE，QPERPF，设，则，解得，.2.如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点E在对角线AC上，连接BE，作EFBE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则 .【解答】【解析】如图，过点E分别作于点G，于点H.四边形ABCD是矩形，四边形CHEG也是矩形，GEH90，BEGGEFGEFFEH90，
2、BEGFEH，又BGEFHE90，BEGFEH，.3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A（0，2），B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，则点C的坐标为 .【解答】C（6，4）【解析】如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点F，连接EM.MFOCEOAOB90，AOMFCE，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，AMCM，OABEBC，OFEF，MF是梯形AOEC的中位线，OBCE，AOBE，又OFFE，MOE是直角三角形，MOME，MOE是等腰直角三角形，. 4.如图，在正方形外作直线FE并经过正方形的顶点C，分别过点B、D作直线FE的垂线，垂足分别为点E、F，求证：CBE
3、DCF.【解答】见解析【解析】证明：四边形ABCD是正方形，BCCD，BCEDCF90，BCECBE90，CBEDCF，在RtCBE与RtDCF中，.5.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕点O旋转，求证：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个重叠部分面积总是一个定值，并求这个定值.【解答】25【解析】当OPAD或OP经过点C时，重叠部分面积为正方形面积的，即25；当点P旋转到如图所示位置时，过点O分别作CD、BC的垂线，垂足分别为E、F.在RtOEG与RtOFH中，EOGHOF，OEOF5，OEGOFH，.6.如图，在正方形ABC
4、D中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AD、CD上的点，若AE4，CF3，且OEOF，求EF的长.【解答】5【解析】如图，连接EF.四边形ABCD是正方形，AODO，OAEODF45，ADC90，又OEOF，OFDEDO180，AEODEO180，OFDAEO，AEODFO（AAS），AEDE4，又ADCD，DECF3，在RtEOF中，.7.如图，在ABC中，ABAC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若A60，EDFA180，求证：.【解答】见解析【解析】取AB的中点G，连接DG，如图所示：ABAC，A60，ABC是等边三角形，点D、G分别是AB、BC的中点，DG是ABC
5、的中位线，DGDCBD，B60，BDG是等边三角形，BGDC，AEDAFD180，且AFDDFC180，AEDDFC，GEDCFD，EGFC，BECFBEECBG.8.在ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，且MDN90，若，求证：.【解答】见解析【解析】证明：过点B作AC的平行线交ND的延长线于点E，连接ME.BDDC，EDDN，在BED与CND中，BENC，MDN90，MD为EN的中垂线，EMMN，BEM为直角三角形，MBE90，ABCACBABCEBC90，BAC90，.9数学课上，张老师正在上课：同学们，我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边
6、形的对角（相对的两个角）互补下面我们来研究它外角的性质（1）在图中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角DCE，并请你探究外角DCE与它的相内角的对角（简称内对角）A的关系，并证明DCE与A的关系；（2）分别延长BD、AD到点F、E，如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，如果DE平分FDC，请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢？（3）如图，点D是圆上一点，弦AB=3，DC是ADB的平分线，BAC30当DAC等于多少度时，四边形DACB有最大面积？最大面积是多少？【解答】（1）DCEA；（2）ABAC；（3）3【解析】（1）画图如图，DCEA证明：四边形ABCD是圆内接四边形，A+BCD
7、180，DCE+BCD180DCEA；（2）ABAC，证明：四边形ABCD是圆内接四边形，2ABC，1ADB，ADBACB，1ACB，DE平分FDC，12，ABCACB，ABAC；（3）DC平分ADB，ADCBDC，又ADCABC，BDCBAC，ABCBAC，ACBC，AB=3，BAC30，ACBC1，S四边形DACBSABC+SDABSABC为定值，当SDAB最大时，四边形DACB面积最大，要使四边形DACB面积最大，只需求出面积最大的DAB 即可在DAB中，AB边不变，当点D是AB的中垂线与圆的交点时，四边形DACB面积最大此时DAB为等边三角形，此时DC应为圆的直径，DAC90ADCBAC30，DC2AC2，四边形DACB的最大面积=1232=3
