1、数 学 必修5 人教A版新课标导学第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理第3课时 正、余弦定理的综合应用1 课前自主学习 2 课堂典例讲练 3 课 时 作 业 返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 课前自主学习返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，A53，B47，AB长为1m.他想修好这个零件，但不知道AC和BC的长度是多少，所以无法截料你能帮工人师傅这个忙吗？返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 1(1)正弦定理的数学表达式为_.(2)余弦定理的数学表达式为_、_、_2应
2、用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？(1)_(2)_asinA bsinB csinCa2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC已知三角形的任意两个角与一边，解三角形已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 3应用余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？(1)_(2)_4三角形的面积公式(1)由正弦定理可得三角形的面积S_已知三角形的两边及其夹角，解三角形已知三角形的三边，解三角形12absinC12acsinB12bcsinA返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版(2)设ABC
3、的角 A，B，C 的对边为 a，b，c，T12(abc)，则ABC 的面积 S TTaTbTc，你会证明吗？提示：(1)如图，在ABC 中，设 AC 边上的高为 BD，(在ABC 中，A 为直角，则 D 与 A 重合)，总有 BDasinC，SABC12ACBD12absinC作其他边上的高可得出 SABC12acsinB12bcsinA返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版(2)T(Ta)(Tb)(Tc)12(abc)12(bca)12(acb)12(abc)116(bc)2a2a2(cb)2 116(2bccosA2bc)(2bc2bccosA)14b2c2sin2A(1
4、2bcsinA)2S2，S TTaTbTc.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 1(2014新课标理，4)钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则AC 导学号 54742065()A5 B 5C2D1B返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 解析 SABC12acsinB12 21sinB12，sinB 22，B4或34.当 B4时，经计算ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去B34，根据余弦定理，b2a2c22accosB5，b 5，故选 B返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 2(2015南昌市一模)在ABC 中
5、，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若c1，B45，cosA35，则 b 等于 导学号 54742066()A53B107C57D5 214C返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 解析 因为 cosA35，所以 sinA 1cos2A135245，所以 sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB45 22 35 227 210.由正弦定理 bsinB csinC，得 b 17 210sin4557.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 3在ABC 中，lgalgclgsinBlg 22，且 B 为锐角，三角形的形状为_
6、.导学号 54742067解析 由 lgsinBlg 22，得 sinB 22.又 B 为锐角，B45.又由 lgalgclg 22，得ac 22.根据正弦定理，得sinAsinC 22，2sinC2sinA2sin(135C)，即 sinCsinCcosCcosC0.C90.因此ABC 为等腰直角三角形等腰直角三角形返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 4(2016全国卷理，13)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若cosA45，cosC 513，a1，则 b_.导学号 54742068解析 解法一：因为 cosA45，cosC 513，所以 sinA
7、35，sinC1213，从而sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC35 5134512136365.由正弦定理 asinAbsinB，得 basinBsinA 2113.2113返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 解法二：因为 cosA45，cosC 513，所以 sinA35，sinC1213，从而 cosBcos(AC)cosAcosCsinAsinC45 5133512131665.由正弦定理 asinA csinC，得 casinCsinA 2013.由余弦定理 b2a2c22accosB，得 b2113.解法三：因为 cosA45，cosC 51
8、3，所以 sinA35，sinC1213，由正弦定理 asinA csinC，得 casinCsinA 2013.从而 bacosCccosA2113.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 解法四：如图，作 BDAC 于点 D，由 cosC 513，aBC1，知 CD 513，BD1213.又 cosA45，所以 tanA34，从而 AD1613.故 bADDC2113.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 课堂典例讲练返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向1 三角函数的化简、求值设ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为
9、a、b、c，cos(AC)cosB32，b2ac，求 B 导学号 54742069分析 三角形内角 A、B、C 满足 ABC，故条件式 cos(AC)cosB32可化为只含 A 与 C 的表达式由正弦定理可将条件式 b2ac 化为角的表达式sin2BsinAsinC，进而可解出角 B返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 解析 由 cos(AC)cosB32及 B(AC)得cos(AC)cos(AC)32，cosAcosCsinAsinC(cosAcosCsinAsinC)32，sinAsinC34.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 又由 b2ac 及
10、正弦正理得，sin2BsinAsinC，故 sin2B34，sinB 32 或 sinB 32(舍去)，于是 B3或 B23.若 B23，则 cos(AC)32cosB2，这不可能，所以 B3.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 规律总结 1.给出三角形内角或边的表达式一般先利用内角和定理和正余弦定理化简(化边为角、化角为边、减少角的个数)，再利用三角公式化简，最后求值或求角2注意依据表达式的特点选择应用定理返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 1 导学号 54742070(2015唐山市二模)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a
11、，b，c,2(a2b2)2accosBbc.(1)求 A；(2)D 为边 BC 上一点，BD3DC，DAB2，求 tanB解析(1)因为 2accosBa2c2b2，所以 2(a2b2)a2c2b2bc.整理得 a2b2c2bc，所以 cosA12，即 A23.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版(2)因为DAB2，所以 ADBDsinB，DAC6.在ACD 中，有 ADsinCCDsinDAC，又因为 BD3CD，所以 3sinB2sinC，由 C3B 得 3sinB 3cosBsinB，整理得 tanB 34.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 命
12、题方向2 三角形的面积公式在ABC 中，a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边若 a2，C4，cosB22 55，求ABC 的面积 S.导学号 54742071分析 由 cosB2可求得 cosB、sinB，由ABC 内角关系及边 a 用正弦定理可求 b(或 c)，再代入面积公式可求面积返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 解析 由题意得，cosB2cos2B2135，B 为锐角，sinB 1cos2B45，sinAsin(BC)sin34 B 7 210，由正弦定理得 casinCsinA 107，S12acsinB122107 4587.返回导航第一章 解三角形
13、 数 学 必 修 人 教 A 版 规律总结 求三角形的面积或条件中有三角形的面积的问题，要先考虑选择表达面积的公式(S12底高，S12absinC 等)返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 2 导学号 54742072在锐角ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2asinB 3b.(1)求角 A 的大小；(2)若 a6，bc8，求ABC 的面积解析(1)由 2asinB 3b 及正弦定理 asinA bsinB，得 sinA 32.因为 A 是锐角，所以 A3.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版(2)由余弦定理 a2b2
14、c22bccosA，得 b2c2bc36.又 bc8，所以 bc283.由三角形面积公式 S12bcsinA，得ABC 的面积为7 33.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向3 综合应用在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，B3，cosA45，b 3.导学号 54742073(1)求 sinC 的值；(2)求ABC 的面积返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 分析(1)已知角B和cosA，利用内角和定理及两角和与差的三角函数，可求sinC(2)利用正弦定理求三角形面积需要两边及夹角，已知边b及三内角，可利用正弦定理再求出一边，
15、然后求面积解析(1)角 A、B、C 为ABC 的内角，且 B3，cosA45，C23 A，sinA35.sinCsin23 A 32 cosA12sinA34 310.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版(2)由(1)知 sinA35，sinC34 310.又B3，b 3，在ABC 中，由正弦定理得 absinAsinB 65.ABC 的面积 S12absinC1265 334 310369 350.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 规律总结 解三角形的综合应用问题常见的有：(1)正、余弦定理和三角变换相结合，一般先进行边角互化，再利用三角公式变形，
16、然后求角、求值或证明三角恒等式、判断三角形的形状等(2)三角形与平面向量结合命题，先利用向量的平行、垂直等条件脱去向量外衣，转化为纯三角函数问题然后依据三角公式和解三角形知识求解返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 3 导学号 54742074(2016四川文，18)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且cosAacosBb sinCc.(1)证明：sinAsinBsinC；(2)若 b2c2a265bc，求 tanB返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 解析(1)根据正弦定理，可设 asinA bsinB csinCk(
17、k0)则 aksinA，bksinB，cksinC代入cosAa cosBb sinCc 中，有cosAksinAcosBksinB sinCksinC，变形可得sinAsinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sinC，所以 sinAsinBsinC返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版(2)由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有cosAb2c2a22bc35.所以 sinA 1cos2A45.由()，sinAsinBsinAcosBcosAsinB，所以45sinB45cosB35sinB，故 t
18、anBsinBcosB4.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向4 求取值范围在 锐 角 ABC 中，a 2bsinA，试 求 cosA sinC 的 取 值 范围.导学号 54742075分析 由 a2bsinA 运用正弦定理求得 B，再利用三角形内角和定理将 cosAsinC 转化为关于 A(或 C)的三角函数，再求三角函数的取值范围解析 在锐角ABC 中，根据正弦定理 a2RsinA，b2RsinB，得 2RsinA4RsinBsinA，sinB12.B 为锐角，B6.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 令 ycosAsinCcosAsi
19、n(BA)cosAsin(6A)cosAsin6cosAcos6sinA32cosA 32 sinA 3(32 cosA12sinA)3sin(A3)由锐角ABC，知2BA2，3A2.23 A356，12sin(A3)32.32 3sin(A3)32，即 32 y32.cosAsinC 的取值范围是(32，32)返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 规律总结 与三角形有关的求最值或取值范围问题，先利用正、余弦定理理清三角形中量的关系，再将求最值或取值范围的量表达为某一变量的函数，转化为函数值域或最值问题返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 4
20、导学号 54742076在ABC 中，C3B，则cb的取值范围为_(1,3)解析 由正弦定理，得cbsinCsinBsin3BsinB sinB2BsinBsinBcos2BcosBsin2BsinBcos2B2cos2B4cos2B1.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 ABC180，C3B，0B45，即 22 cosB1，12cos2B1，故 1cb3.点评 在解该题时，将边之间的关系转化为角的关系，应用三角函数来解决，但应注意对角的限定返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 在ABC 中，角 A、B、C 满足 2BAC，B 的对边 b1，求 ac的
21、取值范围.导学号 54742077错解 2BAC，ABC，B3，C23 A，acbsinAsinB bsinCsinB 2 33(sinAsinC)2 33 sinAsin(23 A)3sinAcosA2sin(A6)，返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 0A，6A676，12sin(A6)12，1ac0，0ac1.辨析 错解中前面还照顾到了 A 与 C 的相互制约关系，后面在讨论 sin(A6)的取值范围时又忽略了误把(0，)作为 A 的取值范围；另一处错误是，由6A676 得出12sin(A6)12，事实上 ysinx 在(6，76)上不单调返回导航第一章 解三角形
22、数 学 必 修 人 教 A 版 警示 讨论与三角形有关的表达式的取值范围问题，要特别注意：(1)内角和定理；大边对大角；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(2)条件中有无锐角三角形、钝角三角形等条件；(3)正、余弦函数单调性的区别正解 在原解答中把“0A”后面的去掉，换为 0A0CC23 A，0A23，6A656，12sin(A6)1，1ac2.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 1在ABC 中，若sinAa cosBb，则角 B 等于 导学号 54742078()A30B45C60D90解析 由正弦定理知sinAa sinBb，sinAa cosBb，sinBco
23、sB，0B180，B45.B返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 2在ABC 中，已知(abc)(bca)3bc，则角 A 等于 导学号 54742079()A30B60C120D150解析(bc)2a2b2c22bca23bc，b2c2a2bc，cosAb2c2a22bc12，A60.B返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 3在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcosCccosB2b，则ab_.导学号 54742080解析 利用余弦定理，将 bcosCccosB2b 转化为 ba2b2c22abca2c2b22ac2b，
24、化简得ab2.2返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 4 在 ABC中，若A 120，AB 5，BC 7，则AC _.导学号 54742081解析 由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosA，即 4925AC225AC(12)，解得 AC3 或 AC8(舍去)3返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 5在ABC 中，ax，b2，B45，若这个三角形只有一解，则 x 的取值范围是_.导学号 54742082解析 本题是研究解三角形中两边及一边对角的情况，应分不同情况讨论如图，应用数形结合思想可得 x2 2或 0 x2返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 当 x2 2时，如图(1)，有一解；当 2x2 2时，如图(2)，有两解；当 0 x2 时，如图(3)，有一解x2 2或 0 x2.返回导航第一章 解三角形 数 学 必 修 人 教 A 版 课 时 作 业
