1、专题05 一次方程（组）及其应用（12个高频考点）（举一反三） 【考点1 方程的相关概念】1【考点2 方程的解】3【考点3 等式的性质】5【考点4 解一元一次方程】7【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】9【考点6 解二元一次方程（组）】12【考点7 同解方程（组）】14【考点8 解三元一次方程组】17【考点9 由实际问题抽象出一次方程】19【考点10 一元一次方程的应用】21【考点11 二元一次方程（组）的应用】24【考点12 三元一次方程组的应用】27【要点1 方程的相关概念】1.含有未知数的等式叫做方程。2.只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方
2、程。使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。4.方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。【考点1 方程的相关概念】【例1】（2022云南曲靖一模）若方程x2ab3ya+b=2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（）A29B2C32D1【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义得出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值即
3、可求出ab的值【详解】解：方程x2ab3ya+b=2是关于x、y的二元一次方程2ab=1a+b=1解得：a=23b=13ab=2313=29故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解答本题的关键【变式1-1】（2022浙江杭州模拟预测）下列方程组是二元一次方程组的是（）A4xy=1y=2x+3B1x1=y3x+y=0Cxy=1xy=2Dx2x2=0y=x+1【答案】A【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，即可求解【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意；B、有一个方
4、程不是整式方程，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；C、有一个方程的未知数的次数是2，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；D、有一个方程的未知数的次数是2，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；故答案为：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”是解题的关键【变式1-2】（2022上海杨浦二模）下列方程中，二元一次方程的是（）Axy=1Bx21=0Cxy=1Dx+1y=1【答案】C【分析】根据二元一次方程的定义可得答案【详解】解：A含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符
5、合题意；B含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；C含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；D是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意故选：C【点睛】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程【变式1-3】（2022贵州一模）已知关于x的方程k24x2+k2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（）A-2B2C-6D-1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定义确定出k的值，进而求出k的值即可【详解】解：方程k24x2+k2x=k+6是关于
6、x的一元一次方程，k24=0k20 ，解得：k=-2，方程为-4x=-2+6，解得：x=-1，故选：D【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键【考点2 方程的解】【例2】（2022山东聊城中考真题）关于x，y的方程组2xy=2k3x2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）Ak8Bk8Ck8Dk0时，方程是：x=ax+1解得：x=11a，根据题意得：1a0，解得：a1，此时有正根，则a1时有负根，当x0，解得：a1，综上所述；a1时，方程|x|=ax+1只有一个负根故答案是：a1【点睛】本题主要考查了绝对值方程的解法，正确去
7、掉绝对值符号，是解题的关键【变式5-2】（2022河北邢台模拟预测）对关于x的方程x1+x+2=a（1）考虑如下说法：当a取某些值时，方程（1）有两个整数解；对某个有理数a，方程（1）有唯一的整数解；当a不是整数时，方程（1）没有整数解；不论a为何值时，方程（1）至多有4个整数解其中正确的说法的序号是 _【答案】【分析】根据题意,当x2时；原式=1xx2=a，即x=a+12；当2x1时；原式=1x+x+2=a，x为2x1中的任意实数a=3；当x1时；原式=x1+x+2=a，即x=a12；进而代入每个序号中，即可求解【详解】解：当x2时；原式=1xx2=a，即x=a+12；当2x1时；原式=1x
8、+x+2=a，即a=3，x为2x1中的任意实数；当x1时；原式=x1+x+2=a，即x=a12；例如：a=5时，x=5+12=3或x=512=2，故当a取某些值时，方程有两个整数解，故正确；例如：a=5时，x=5+12=3或x=512=2，对某个有理数a，方程的整数解不止一个，故错误；x=a+12或x=a12，只有a+1与a1为整数时，x才能为整数；即只有a为整数时，x才能为整数，故当a不是整数时，方程没有整数解，故正确；当x2时，x=a+12；当2x1时；x为2x1中的任意实数，在此范围的整数有2个；当x1时， x=a12；不论a为何值时，方程至多有4个整数解，故正确故答案为：【点睛】本题考
9、查了绝对值的意义，解一元一次方程，代数式求值，求得x的值是解题的关键【变式5-3】（2022广东佛山市南海外国语学校三模）已知c为实数，讨论方程|x1|x2|+2|x3|=c解的情况【答案】c1方程有解，c1方程无解【分析】令x1=0，x2=0，x3=0，得x=1，x=2，x=3，再分四段讨论解即可【详解】解：当x1时，原方程为1x(2x)+2(3x)=c，x=4c2，即4c21，解得c2时有解，x=4c2，否则无解；当1x2时，原方程等价于x1(2x)+2(3x)=c，c=3时，解为：1x2否则无解；当2x3时，原方程等价于x1(x2)+2(3x)=c，x=7c2，即27c23时有解，解得1
10、c3，有解：x=7c2，否则无解；当x3时，原方程等价于x1(x2)+2(x3)=c，x=5+c2，即5+c23时有解，此时：c1，有解：x=5+c2，否则无解.综上所述：c1方程有解，c1方程无解【点睛】本题主要考查了解含字母的一元一次方程，注意分段讨论，不能丢解【考点6 解二元一次方程（组）】【例6】（2022湖南株洲中考真题）对于二元一次方程组y=x1x+2y=7，将式代入式，消去y可以得到（）Ax+2x1=7Bx+2x2=7Cx+x1=7Dx+2x+2=7【答案】B【分析】将式代入式消去去括号即可求得结果【详解】解：将式代入式得，x+2(x1)=x+2x2=7，故选B【点睛】本题考查了
11、代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键【变式6-1】（2022山东淄博中考真题）解方程组：x2y=312x+34y=134【答案】x=5y=1【分析】整理方程组得x2y=32x+3y=13，继而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解【详解】解：整理方程组得x2y=32x+3y=13，2得7y=7，y=1，把y=1代入得x2=3，解得x=5，方程组的解为x=5y=1.【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键【变式6-2】（2022河北唐山一模）对于任意的实数x，y，规定运算“”如下：xy=ax+by(1)当a=3，b=4时，求1（2）的值；(2)若53=1
12、6，2（3）=2，求a与b的值【答案】(1)-5(2)a的值为2，b的值为2【分析】（1）根据规定运算“”，进行计算即可解答；（2）根据题意可得关于a，b的二元一次方程组，然后进行计算即可解答（1）当a=3，b=4时，1（-2）=31+4（-2）=3+（-8）=-5，1（-2）的值为-5；（2）53=16，2（-3）=-2，5a+3b162a3b2，+得：2a+5a=14解得a=2，把a=2代入得：10+3b=16，解得b=2，原方程组的解为a2b2，a的值为2，b的值为2【点睛】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的步骤，以及理解材料中规定的运算是解题的关键【变式6
13、-3】（2022四川绵阳二模）若整数x，y满足方程组ym=x2xm=y2，且2x4，xy，则m的最大值为（）A0B-1C-2D-3【答案】B【分析】先解方程组得到y=x1，进而得出m关于x的二次函数m=x2x1，改为顶点式，找出对称轴，再根据x的取值范围即可求出m的最大值【详解】解：ym=x2xm=y2-得yx=x2y2，yx=(x+y)(xy)，xy，x+y=yxxy=1，y=x1，由得m=yx2，将y=x1代入得，m=x2x1=(x+12)234，m关于x的函数图像为开口向下的抛物线，对称轴为x=12，x=0或x=1时，对应的m值相等，2x4且x是整数，x=0或x=1时，m取最大值，最大值
14、mmax=(0+12)234=1，故选B【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和求二次函数的最值，有一定难度，解题的关键时通过解方程组得到x与y的关系，进而得到m关于x的二次函数【考点7 同解方程（组）】【例7】（2022浙江杭州模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组2x+5y=26axby=4和3x5y=36bx+ay=8有相同的解，求：（1）这两个方程组的解；（2）代数式(2a+b)2020的值【答案】（1）x=2y=6；（2）1.【分析】（1）由两个方程组同解可得2x+5y=263x5y=36，解方程组可得答案；（2）把x=2y=6代入两个系数未知的方程可得：2a+6b=42b6a=8，解
15、方程组求解a,b的值，即可得到答案【详解】解：（1）由题意得：2x+5y=263x5y=36+得：5x=10, x=2, 把x=2代入得：4+5y=26, 5y=30, y=6, 所以这两个方程组的解是：x=2y=6. （2）把x=2y=6代入可得：2a+6b=42b6a=8，3+得：20b=20, b=1, 把b=1代入得：2a6=4, a=1, 所以：a=1b=1, (2a+b)2020=(21)2020=1.【点睛】本题考查的是同解方程，二元一次方程组的解法，代数式的值，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键【变式7-1】（2022上海杨浦二模）若关于x的方程4m+x=20的解与方程2
16、x3=x+1的解相同，则m的值为 _【答案】4【分析】解方程2x3=x+1得x=4，把x=4代入4m+x=20即可求解【详解】解：2x3=x+1，解得x=4，方程4m+x=20的解与方程2x3=x+1的解相同，x=4是方程4m+x=20的解，把x=4代入方程4m+x=20，4m+4=20，解得m=4故答案为：4【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握移项、合并同类项、系数化为1解一元一次方程是解题的关键【变式7-2】（2022河北模拟预测）若方程x+122x15=0与方程x+6ax2=a3的解相同，则a的值为()A2116B6316C2116D6316【答案】A【分析】如果两个方程的解相同，那
17、么这两个方程叫做同解方程,根据这一定义，可先解第一个方程，将解代入第二个方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可【详解】解：解方程：x+122x15=0，得x=7把x=7代入方程x+6ax2=a3，得7+6a+72=a3，解得a=2116 故选A.【点睛】本题考查了解一元一次方程，利用了同解方程的定义得出关于a的一元一次方程是解题关键【变式7-3】（2022浙江杭州模拟预测）已知方程组a1x+y=c1a2x+y=c2的解是x=5y=10，则关于x，y的方程组a1x1+y=c1a2x1+y=c2的解是_【答案】x=6y=10【分析】根据题意得到5a1+10=c15a2+10=c2，结合a1x1
18、+y=c1a2x1+y=c2的形式得到x1=5y=10，从而求解【详解】解：方程组a1x+y=c1a2x+y=c2的解是x=5y=10，5a1+10=c15a2+10=c2，由方程组a1x1+y=c1a2x1+y=c2可得：x1=5y=10，a1x1+y=c1a2x1+y=c2的解为：x=6y=10，故答案为：x=6y=10【点睛】此题考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解同时考查了二元一次方程组的解的求法【考点8 解三元一次方程组】【例8】（2022江苏南京中考模拟）已知 4x3y3z=0x3yz=0 ，那么x：y：z为（ ）A2：（
19、1）：3B6：1：9C6：（1）：9D23:(19):1【答案】C【详解】分析：将z看成已知数，表示出x与y，即可求出x：y：z详解：方程组整理得：4x3y3zx3yz,-得：3x=2z，即x=23z，将x=23z代入得：y=-19z，则x：y：z=23z：（-19z）：z=6：（-1）：9故选C点睛：此题考查了解三元一次方程组，解题的关键是将z看着已知数【变式8-1】（2022广东东莞中考模拟）已知x+4y3z=04x5y+2z=0，xyz0，求3x2+2xy+z2x2+y2的值【答案】165【分析】将z看作常数解方程组得x=13zy=23z，再代入分式计算可得【详解】解：由题意知x+4y=
20、3z4x5y=2z，4，得：21y=14z，y=23z，将y=23z代入，得：x+83z=3z，x=13z；所以方程组的解为x=13zy=23z，将x、y代入得：原式=3(13z)2+213z23z+z2(13z)2+(23z)2=169z259z2=165【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分母有理化、完全平方公式及解三元一次方程组【变式8-2】（2022仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，bcb+c=65求代数式abc的值【答案】6【分析】先将每个等式求倒数，然后组成方程组1a+1b=321a+1c=4
21、31b+1c=56，用(+)2得1a+1b+1c=116，然后用分别减求解即可【详解】解：aba+b=23，cac+a=34，bcb+c=65，1a+1b=32，1a+1c=43，1b+1c=56，1a+1b=321a+1c=431b+1c=56，(+)2得：1a+1b+1c=116，-得1c=11632=13，解得c=3，-1b=11643=12，解得b=2，-1a=11656=1，解得a=1，abc=1+2+3=6【点睛】本题考查解分式方程，求代数式的值，掌握倒数法解方程组是解题关键【变式8-3】（2022河北模拟预测）设a1,a2,.,a2014是从1,0,1这三个数中取值的一列数，若a
22、1+a2+.+a2014=69，(a1+1)2+(a2+1)2+.+(a2014+1)2=4001，则a1,a2,.,a2014中为0的个数_【答案】165【详解】试题分析：首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+（a2014+1）2得到a12+a22+a20142+2152，然后设有x个1，y个-1，z个0，得到方程组x+y+z=20141x+(1)y+0z=6912x+(1)2y+02z+2152=4001，解方程组即可确定正确的答案试题解析：（a1+1）2+（a2+1）2+（a2014+1）2=a12+a22+a20142+2（a1+a2+a2014）+2014=a12+a22+a201
23、42+269+2014=a12+a22+a20142+2152，设有x个1，y个-1，z个0x+y+z=20141x+(1)y+0z=6912x+(1)2y+02z+2152=4001化简得x-y=69，x+y=1849，解得x=959，y=890，z=165有959个1，890个-1，165个0，考点：规律型：数字的变化类【考点9 由实际问题抽象出一次方程】【例9】（2022贵州六盘水中考真题）我国“DF41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫340米/秒），则“DF41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程（）A26340
24、60x=12000B26340x=12000C26340x1000=12000D2634060x1000=12000【答案】D【分析】结合单位的换算，根据路程=速度时间建立方程即可得【详解】解：因为1分钟=60秒，1公里=1000米，所以可列方程为2634060x1000=12000，故选：D【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键【变式9-1】（2022江苏南通中考真题）九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为
25、_【答案】5x+45=7x-3【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3故答案为：5x+45=7x-3【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键【变式9-2】（2022山东日照中考真题）孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，
26、则所列方程组正确的是（）Ayx=4.52xy=1 Bxy=4.52xy=1Cxy=4.5y2x=1 Dyx=4.5xy2=1【答案】D【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，由题意可得yx=4.5xy2=1故选：D【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组【变式9-3】（2022广东深圳中考真题）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草他卖五捆上等草的根数减去11根
27、，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（）A5y11=7x7y25=5x B5x+11=7y7x+25=5y C5x11=7y7x25=5yD7x11=5y5x25=7y 【答案】C【分析】设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，根据“卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数”列出方程组，即可求解【详解】解：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，根据题意得：5x11=7y7x25=5y故选：C【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，
28、明确题意，准确得到等量关系是解题的关键【考点10 一元一次方程的应用】【例10】（2022湖南岳阳中考真题）我国古代数学著作孙子算经中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（）A25B75C81D90【答案】B【分析】设城中有x户人家，利用鹿的数量=城中人均户数+13城中人均户数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】解：设城中有x户人家，依题意得：x+13x=100，解得：x=75，城中有
29、75户人家故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式10-1】（2022山东东营中考真题）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的35，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的15，则七年级2班植树的棵数是（）A36B60C100D180【答案】C【分析】设这批树苗一共有x棵，根据七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的35，列出方程求解即可【详解】解：设这批树苗一共有x棵，由题意得：35x=300，解得x=500，七年级2班植树的棵数是50015=100棵，故选C【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方
30、程是解题的关键【变式10-2】（2022江苏镇江中考真题）某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单，要求本月底完成，7月1日按期交货日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该公司除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同但因受高温天气影响，从本月10日开始，每天的生产量比原来减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，能否按期完成订单
31、？请说明理由如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，以确保能按期交货【答案】不能，理由见解析，为确保按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件【分析】设10日开始每天生产量为x件，根据题意列出一元一次方程，继而根据，如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，列出一元一次不等式，求得从20日开始每天的生产量至少达到130件，即可求解【详解】解：设10日开始每天生产量为x件，根据题意，得3x+25+6x=38302855解得，x=100如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，因此该公司9天共可生产900件产品因为9
32、00+3830=47300，w随t的减小而减小当t4时，w最小5042250022700（元）【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键【考点11 二元一次方程（组）的应用】【例11】（2022浙江衢州中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（）5号电池（节）7号电池（节）总质量（克）第一天2272第二天3296A12B16C24D26【答案】C【分析】根据表格建立二元一
33、次方程组，用消元法即可得到答案【详解】解：设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，根据表格得2x+2y=723x+2y=96 ,由-得x=24，故选：C【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意建立方程组是解本题的关键【变式11-1】（2022黑龙江中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A5B6C7D8【答案】A【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价数量，即可得出关于x，y的二元
34、一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，15x+20y=360，即3x+4y=72，y=18-34x又x，y均为正整数，x=4y=15或x=8y=12或x=12y=9或x=16y=6或x=20y=3，班长有5种购买方案故选：A【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键【变式11-2】（2022黑龙江齐齐哈尔中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（
35、两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（）A2种B3种C4种D5种【答案】C【分析】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意列出方程，求解即可【详解】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意得，8x+10y=200，x、y都为正整数，解得x=20y=4，x=15y=8，x=10y=12，x=5y=16，一共有4种分装方式；故选：C【点睛】本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程【变式11-3】（2022内蒙古内蒙古中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品
36、3件，需要550元(1)求购进A、B两种纪念品的单价；(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元(2)共有6种进货方案(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；（2）
37、根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可（1）设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元根据题意，得10a+5b=10005a+3b=550解得a=50b=100购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个根据题意，得50x+100y=10000变形得y=10012x由题意得：x610012x10012x20 由得：x150由得：x160150x160x，y均为正整数x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160与x相对应的y可取的正整
38、数值是25，24，23，22，21，20共有6种进货方案.（3）设总利润为W元则W=20x+30y=5x+300050W随x的增大而增大当x=160时，W有最大值：5160+3000=3800（元）当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键【考点12 三元一次方程组的应用】【例12】（2022重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提升拓展途径某商家推出了三种礼盒
39、进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22个，搭配为A，B，C三种礼盒各一个，其中A盒中有2个甜味粽，3个肉馅粽，1个咸鸭蛋；B盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为3:2；C盒中有1个甜味粽，3个肉馅粽，2个咸鸭蛋经核算，A盒的成本为45元，B盒的成本为75元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本之和），则C盒的成本为_元【答案】45【分析】根据题意确定B礼盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出方程组，进而可求C盒的成本【详解】解：甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22个；A盒中有2个甜味粽，3个肉馅粽，1个咸鸭蛋；C盒中有1个甜味粽，3个肉馅粽，
40、2个咸鸭蛋，B盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共222+3+11+3+2=10（个），B盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为3:2，B盒中有肉馅粽1012=5（个），甜味粽有533+2=3（个），咸鸭蛋有1053=2（个）；设甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本价分别为a元，b元，c元，则C盒的成本为a+3b+2c元，依题意得：2a+3b+c=453a+5b+2c=7534，得：33a+5b+2c42a+3b+c=375445，a+3b+2c=45，C盒的成本为45元故答案为：45【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，列代数式，求代数式的值，运用了整体代入的思想解题关键是
41、根据题目信息求出B盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的数量从而列出代数式表示C盒的成本，并根据题意列出方程组【变式12-1】（2022北京平谷二模）明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了A、B两本书共花费100.5元，丽丽买了A、C两本书共花费88.5元，则B书比C书贵_元；若又知B、C两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则A、B、C三本书的总价钱为_【答案】 12 126【分析】设A、B、C书的单价分别是x、y、z元，根据题意可得三元一次方程组，解方程组即可求解【详解】设A、B、C书的单钱分别是x、y、z元，根据题意可得：x+y=100.5x+z=88.5yz=12（元），即B书比C书贵12元，y+z=
42、x，x+y=100.5x+z=88.5y+z=x整理得：3x=189，解得：x=63，yz=12y+z=63解得：y=37.5z=25.5A、B、C三本书的总价钱为x+y+z=63+37.5+25.5=126（元），故答案为：12；126【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是设出未知数，正确解读题意，找出等量关系列出方程组【变式12-2】（2022重庆南开中学三模）端午节将至，某商店推出“情有独粽”“我最出粽”“年年高粽”三种粽子，定价分别为7元/个、8元/个、9元/个；甲、乙、丙、丁四人分别去该商店采购了一些粽子，买完后发现，“情有独粽”买的数量甲、乙相同，丙、丁也相同；“我最出
43、粽”买的数量甲、丁相同，乙、丙也相同；“年年高粽”买的数量甲、丙相同，乙、丁也相同，已知甲一共花了86元，乙一共花了100元，丙一共花了97元，若每人买的每种粽子数量都不超过10个，则丁花了_元【答案】47【分析】设甲乙购买“情有独粽”的数量比丙丁多x个，甲丁购买“我最出粽”的数量比乙丙多y个，甲丙购买“年年高粽”的数量比乙丁多z个，根据题意列三元一次方程组并求解，即可得到答案【详解】根据题意，设甲乙购买“情有独粽”的数量比丙丁多x个，甲丁购买“我最出粽”的数量比乙丙多y个，甲丙购买“年年高粽”的数量比乙丁多z个，甲比乙多购买的粽子为：“我最出粽”y个+“年年高粽”z个，乙比丙多购买的粽子为：
44、“情有独粽”x个+“年年高粽”z个，甲比丙多购买的粽子为：“情有独粽”x个+“我最出粽”y个，8y+9z=861007x9z=100977x+8y=8697每个人购买的每种粽子均不超过10个，即10x1010y1010z108y+9z=86100的解为：y=5，z=6或y=4，z=27x+8y=8697的解为：x=3，y=4或x=5，y=3x=3y=4z=2丁花了：867x+9z=47元故答案为：47【点睛】本题考查了三元一次方程组的知识，解题的关键是熟练掌握三元一次方程组的性质，从而完成求解【变式12-3】（2022重庆巴蜀中学三模）现有A、B、C三个容器装有不同浓度的三种盐水，其浓度之比为
45、1:2:3若将A容器中的盐水取出20kg倒入B容器中，将C容器中的盐水取出10kg也倒入B容器中，再将A容器中剩下的的盐水倒入C容器中，这时发现B容器和C容器中的盐水浓度一样又若在原C容器盐水中加入与原C容器相同浓度的盐水25kg后，其溶质正好是原A容器盐水取出5kg盐水后溶质的3倍则原A容器盐水质量的3倍与原C容器盐水质量之和比原B容器盐水质量的4倍多_kg【答案】102【分析】由题意可设设A、B、C的浓度分别为k、2k和3k，A、B、C三个容器的质量分别为xkg、ykg和zkg，根据题意，利用溶质质量溶液质量=浓度，溶质质量=浓度溶液质量列出两个等量关系，在利用等量关系即可求得3x+z4y
46、的值，即可求得答案【详解】解：由A、B、C三个容器三种盐水的浓度之比为1:2:3，设A、B、C的浓度分别为k、2k和3k，A、B、C三个容器的质量分别为xkg、ykg和zkg，由题意得，20k+103k+y2ky+30=3k(z10)+k(x20)x+z30，整理得2y+50y+30=x+3z50x+y30，交叉相乘得(2y+50)(x+y30)=(y+30)(x+3z50)，去括号得2xy+2yz60y+50x+50z150=xy+3yz50y+30x+90z150，整理得20x10y40z+xyyz=0，又3k(z+25)=3k(x5)，即xz=30，由式和 式可得，20x10y40z+xyyz=20(xz)10y20z+y(xz)=6010y20z+30y=20y20z+60=20(yz)+60=0，得zy=3，则3x+z4y=3x3z+3z+z4y=3(xz)+4(zy)=90+12=102，故答案为：102【点睛】本题考查了方程的实际应用、已知式子的值求代数式的值问题，解题的关键根据溶质质量溶液质量=浓度，溶质质量=浓度溶液质量公式找出等量关系列出方程求解
