1、2020届高三期末大联考文数试卷第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】化简集合，根据交集的定义，即可求解.【详解】因为，所以，所以中元素的个数为3.故选:B.【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题.2.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，求出复数z，即可求解.【详解】由，得，所以复数z在复平面内对应的点
2、为，所以对应点位于第三象限.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3.随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱。为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A，B两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ）A. 83.5；83B. 84；84.5C. 85；84D. 84.5；84.5【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图，即可求出小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数.【详解】解：A小区“空巢老人
3、”年龄的平均数为，B小区“空巢老人”年龄的中位数为.故选：【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题.4.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简c,利用对数函数的单调性，即可得出结论.【详解】因为，又因为在上单调递增，且，所以.故选:D.【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.5.民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为和的巧板的概率为（ ）A. B. C.
4、 D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出和的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.【详解】设巧板的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，其面积.其中巧板是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为，巧板可看作是边长为的正方形与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为，故所求的概率.故选:C.【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .6.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查特殊角三角函数求值，利用诱导公式化简是解题的关键，属于基础题.7.已知函数的部分图
5、象如下图所示，则的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图像的性质，如对称性，可排除选项C，再取特殊值，即可求解.【详解】由图可知，该函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以选项C不符合；又因为，所以选项A，B不符合.故选:D.【点睛】本题考查由函数图像求解析式，观察图形找出特征是解题的关键，属于中档题.8.已知向量，若，则在上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出的坐标，根据，则得到，的关系式，由计算在上的投影.【详解】解：由，得，所以，则得，所以在上的投影为故选：【点睛】本题考查向量的数量积及几何意义，属于基础题.9
6、.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. -2B. -6C. -8D. -12【答案】D【解析】【分析】将初始值，代入循环体运算，直至满足条件，退出循环体，即可得出结论【详解】当，不满足条件；执行第一次循环：，不满足条件；执行第二次循环：，不满足条件；执行第三次循环：，不满足条件；执行第四次循环：，满足条件；执行第五次循环：，满足条件，退出循环，所以输出S的值为-12.故选:D.【点睛】本题考查循环结构的运算，属于基础题.10.设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据
7、双曲线的图像特征，当过点F的直线的斜率在之间，则直线与双曲线左、右支均相交，即可求出的范围，从而求出离心率的取值范围.【详解】因为双曲线的两条渐近线方程为，当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，当渐近线的斜率满足，即时，直线l与双曲线左、右支均相交，所以.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题.11.在如图所示的平面四边形ABCD中，则的最小值为（ ）A. 4B. 8C. D. 【答案】B【解析】【分析】在中由三角函数求出，在中由余弦定理得，再由基本不等式可得即可求出的最小值.【详解】解：在中，因为，
8、所以.在中，因为，所以由余弦定理得，即，又由不等式的性质可知，即得，所以，从而，当且仅当时等号成立.故选：.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式的应用，属于中档题.12.已知函数，若存在，使不等式成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将转化为关于的二次函数，配方求出的最小值，只需，解关于的不等式，即可得出结论.【详解】，可化为.当时，所以当时，由题意可知，所以，从而得到，所以或或.故选:C.【点睛】本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题.第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13
9、.已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为_.【答案】【解析】【分析】求导，求出，即可得出结论.【详解】由，得，所以，又，所以切点为，所以切线方程为，即，令，得，所以切线在y轴上的截距为-2.故答案为:-2【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14.已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出的值，即可求解.【详解】设椭圆C的左焦点为，由椭圆定义得，即（*）.O为线段的中点，N为线段MF的中点，由中位线的性质得，代入（*）式，解得，故其离心率.故答案为:.【点睛】本题考
10、查椭圆定义的应用，以及椭圆简单的几何性质，属于基础题.15.已知等比数列的前n项和为，且，则满足不等式成立的最小正整数n为_.【答案】【解析】【分析】由，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论【详解】设数列的公比为q，由，得，所以或，又因为，所以，从而，所以.令，又因为，所以.故答案为:6【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.16.在平面直角坐标系xOy中，圆与x轴，y轴的正方向分别交于点A，B，点P为劣弧AB上一动点，且，当四边形OAQP的面积最大时，的值为_.【答案】【解析】分析】设，因为，所以四边形OAQP为
11、平行四边形，所以，当时取得最大值，即可求出点的坐标，则的值可求.【详解】解：如图所示：则，因为点P在圆弧上运动，所以可设，则，因为，所以四边形OAQP为平行四边形，所以，当时，最大，此时点P与点B重合，点，.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的定义，向量的加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在数列中，有.（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）记，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】【分析】（1）由前项和与通项关系，求出的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列的通项公式，用裂项相消法，即可
12、求解.【详解】（1）因为，所以当时，上述两式相减并整理，得.又因为时，适合上式，所以.从而得到，所以，所以数列为等差数列，且其通项公式为.（2）由（1）可知，.所以.【点睛】本题考查由数列的前项和求通项，考查用定义证明等差数列，以及裂相消法求数列的前项和，属于中档题.18.第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男
13、、女各50名）进行问卷调查，并得到如下列联表：男性女性合计关注度极高351449关注度一般153651合计5050100（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.附：.参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有, （2）【解析】【分析】（1）根据列联表求出，比较数据，即可得结论；（2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，对抽取的7人，分别进行编号，列出从7
14、人任意选取2人的所有情况，找出满足条件的基本事件的个数，由古典概型概率公式，即可求解.【详解】18.解：（1），所以有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关.（2）关注度极高的被调查者中男性与女性的比例为，所以抽取的7人中有男性5人，女性2人.记男性5人分别为a，b，e，d，e；女性2人分别为A，B，从7人中任意选取2人的所有情况有：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，bB，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB，共21种，其中这2人至少有一名女性的情况有11种，所以，所以这2人中至少有一名女性的概率为.【点睛】本题考查两变量间的相关性检
15、验，以及求古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题.19.在如图所示的三棱柱中，底面ABC，.（1）若，证明：；（2）若底面ABC为正三角形，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1） ， 底面ABC，可证平面，即可求证；（2）取的中点F，连接，可证平面，求出三棱锥，根据等体积法，求出的面积，即可求解.【详解】（1）因为底面ABC，所以，又，所以平面，又平面，所以.（2）设点到平面的距离为d，所以，由题可知，所有棱长均为2a，所以在中，所以.取的中点F，连接，由题易知，从而得到平面，所以是点到平面的距离，所以，又，所以由等体积法可知，即得，所以点到平面的距离为.【
16、点睛】本题考查空间垂直关系的转换和证明，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20.在平面直角坐标系中,点满足方程.（1）求点的轨迹的方程；（2）作曲线关于轴对称的曲线,记为,在曲线上任取一点,过点作曲线的切线,若切线与曲线交于,两点,过点,分别作曲线的切线,证明：,的交点必在曲线上.【答案】(1) ；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)平方化简,即可求解；(2)根据导数的几何意义求出切线l的方程,与曲线方程联立,由韦达定理,确定两交点A,B坐标关系,再利用导数的几何意义,求出切线,的方程,并联立求出交点坐标,再证明满足轨迹的方程即可.【详解】(1)由,两边平方并化简,得,即,所以点
17、M的轨迹C的方程为.(2)依题可设点,曲线C切于点P的切线l的斜率为,切线l的方程为,整理得 依题可知曲线,联立方程组,设,所以,.（*）设曲线上点处的切线斜率为,切线方程为,整理得,同理可得曲线上点处的切线方程为,联立方程组,又由（*）式得,则,的交点坐标为,满足曲线的方程.即,的交点必在曲线上.【点睛】本题考查化简曲线方程,考查直线与圆锥曲线的关系,涉及相交利用韦达定理灵活应用,同时也考查了利用导数的几何意义求解切线的问题,属于难题.21.已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间及极值；（2）讨论函数的零点个数.【答案】（1）增区间为，减区间为，极大值为，无极小值，（2）当时，函数没有零点
18、；当或时.函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【解析】【分析】（1）求导，求出的解，即可求出单调区间，进而求出极值；（2）求导，求出单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对分类讨论，即可求解.【详解】由题得，函数的定义域为.（1）当时，所以，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，有极大值，且极大值为，无极小值.（2）由，得.当时，恒成立，函数单调递增，当时，又，所以函数有且只有一个零点；当时，令，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以的极大值为，当，即得时，解得，此时函数没有零点；当，即时，函数有1个零点；当，即时，
19、.当时，令，则在上恒成立，所以，即，所以，故当且时，.当时，有，所以函数有2个零点.综上所述：当时，函数没有零点；当或时.函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【点睛】本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区级、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相
20、交于M，N两点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用，消去参数，将曲线C的参数方程化为普通方程，再运用 ，将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l具有几何意义的参数方程，代入曲线C普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为，（为参数），所以曲线C直角坐标方程为，即，将，代入上式得.（2）直线l的参数方程为，（t为参数），将代入，整理得，设点M，N所对应的参数分别为，则，因为，异号，所以【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题.选修4-5：不
21、等式选讲23.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论.【详解】（1）当时，不等式，即为，当时，由，得，所以，当时，由，得，所以，当时，由，得，所以，故不等式的解集为.（2）当时， ，由，得，当时，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，因为函数在上单调递减，所以当时，取最大值为，故实数a的取值范围是.【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题.
