1、1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2y236变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解：设圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则所以4x29y236，即1.所以曲线C在伸缩变换后得椭圆1，其焦点坐标为(，0)2(2015高考江苏卷)已知圆C的极坐标方程为22sin()40，求圆C的半径解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.3(2016扬州质检
2、)求经过极点O(0，0)，A，B三点的圆的极坐标方程解：将点的极坐标化为直角坐标，点O，A，B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为3，圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0，将xcos ，ysin 代入上述方程，得26(cos sin )0，即6cos.4圆O1和圆O2的极坐标方程分别为4cos ，4sin .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解：(1)xcos ，ysin ，由4cos 得24cos ，所以x2y24x，即x
3、2y24x0为O1的直角坐标方程同理，x2y24y0为O2的直角坐标方程(2)由解得或即O1，O2交于点(0，0)和(2，2)，过交点的直线的直角坐标方程为yx.5(2014高考天津卷改编)在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点若AOB是等边三角形，求a的值解：由4sin ，可得x2y24y，即x2(y2)24.由sin a，可得ya.设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示由对称性知OOB30，ODa.在RtDOB中，易求DBa，所以B点的坐标为.又因为B在x2y24y0上，所以a24a0，即a24a0，解得a0(舍去)
4、或a3.6(2016长春模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1，得1，从而曲线C的直角坐标方程为xy1，即xy2.0时，2，所以M(2，0)时，所以N.(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为.所以点P的直角坐标为，则点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，(，)1(2016唐山统一考试)已知圆C：x2y24，直线l：xy2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴
5、，取相同的单位长度建立极坐标系(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程解：(1)将xcos ，ysin 代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：2，l：(cos sin )2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(1，)，(，)，(2，)，则由|OQ|OP|OR|2，得1.又22，1，所以4，故点Q轨迹的极坐标方程为2(cos sin )(0)2(2016南宁检测)已知在一个极坐标系中，点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程；(2)以
6、圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程解：(1)设圆C上任意一点A(，)，则AOC或，由余弦定理得424cos4，所以圆C的极坐标方程为4cos.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，设圆C上任意一点P.法一：P(12cos ，2sin )，又令M(x，y)，由Q(5，)，M是线段PQ的中点，所以M的参数方程为(为参数)，所以点M的轨迹的普通方程为(x3)2y21.法二：点C的坐标为(1，)，圆的半径为2，则圆的方程为(x1)2(y)24，设M(x，y)，P(x0，
7、y0)，所以x02x5，y02y，P(x0，y0)在圆(x1)2(y)24上，将式代入得(x3)2y21.3(2016东北三校模拟)已知点P的直角坐标是(x，y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点P的极坐标是(，)，点Q的极坐标是(，0)，其中0是常数设点Q的直角坐标是(m，n)(1)用x，y，0表示m，n；(2)若m，n满足mn1，且0，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程解：(1)由题意知且所以所以(2)由(1)可知又mn1，所以1.整理得1.所以1即为所求方程4(2016哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B，若A、B都在曲线C1上，求的值解：(1)因为C1的参数方程为所以C1的普通方程为y21.由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos (a为半径)，将D代入，得22a，所以a2，所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，所以C2的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)曲线C1的极坐标方程为2sin21，即2.所以，.所以.
