1、专题04 幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）1. 近几年真题考点分布幂函数与二次函数近几年考情考题示例考点分析关联考点2021年全国乙（文科），第20题,12分含参二次函数判断正负导函数2021年全国乙（理科），第11题,5分二次函数求最值椭圆2022年全国乙（文科），第20题,12分含参二次函数判断正负导函数2022年全国甲（理科），第17题,5分二次函数求最值数列2023年全国甲（文科），第11题,5分二次函数的单调性指数函数、不等式比较大小2023年全国甲（理科），第13题,5分二次函数的奇偶性三角函数的奇偶性2023年全国乙（文科），第8题,5分含参二次函数判断正负导函数2. 命题规
2、律及备考策略【命题规律】1.本小节是高考必考点，考查二次函数求最值以及含参二次函数判断正负； 2.幂函数考查性质；【备考策略】1.了解幂函数的概念，结合函数的图象，了解它们的变化情况； 2.会用二次函数的思想求最值； 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质； 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题； 5.会讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性； 【命题预测】1.利用二次函数的思想求最值； 2.讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性； 3.会利用幂函数的性质比较大小； 知识讲解一、幂函数1.幂函数的定义形如y=x的函数称为幂函数,其中x是自变量,为常数.2.常见的5
3、种幂函数的图象 3.常见的5种幂函数的性质函数y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRR0,+)x|xR,且x0值域R0,+)R0,+)y|yR,且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数4.幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴
4、与轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方二、对勾函数1.定义:形如f(x)=ax+bx(ab0)的函数.2.图象:当a,b同号时,对勾函数f(x)=ax+bx的图象形状类似双勾,故称“对勾函数”,如图所示:当a,b异号时,函数f(x)=ax+bx的图象形状发生了变化,如图所示:3. 性质:以一般式y=ax+bx(x0)(a0,b0)为例.(1
5、)定义域:(-,0)(0,+).(2)值域:(-,-2ab2ab,+).当且仅当ax=bx,即x=ba时取到端点值.(3)奇偶性:在其定义域上是奇函数.(4)单调性:在-ba,0和0,ba上严格单调递减,在-,-ba和ba,+上严格单调递增.判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数.幂函数的特征:(1)幂函数的形式是y=x(R),其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)判断幂函数y=x(R)的奇偶性时,当是分数时,一般先将其化为根式,再判断.(3)若幂函数y=x在(0,+)上单调递增,则0,若在(0,+)上单调递减,则aOabx
6、2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，则 ，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)()当时(开口向下)若，则 若，则 若，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，则 ，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0cbBabcCcabDbca【答案】A【详解】试题分析：函数是减函数，；又函数在上是增函数，故.1幂函数在上为减函数，则的值为_.【答案】【分析】由函数是幂函数，列方
7、程求出的值，再验证是否满足题意.【详解】由函数是幂函数，则，解得或；当时，在上为减函数，满足题意；当时，在上为增函数，不合题意.2下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）A B C D【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在定义域上单调递增，故B错误；对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；对于D：，函数在上单调递减，故D正确；3已知，则（）ABCD【答案】A【分析】根据函数的单调性可得，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得.【详解】因为函数在R上
8、单调递减，所以，因为函数在R为增函数，所以，又在上单调递增，所以，综上，.考点二、对勾函数的图象与性质1(2023河北模拟)已知函数f(x)=x2+4x,则该函数在(1,3上的值域是().A B C D【答案】A【详解】,上单调递减,在上单调递增，是在上的最小值，又，在上的值域为.2已知函数,其中为常数,且.(1)求的值;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【详解】(1)因为,所以解得(2)由(1)可得,所以函数在区间上是严格增函数,在区间上是严格减函数,所以,因为,所以.1已知函数在内均为单调递增函数,在内均为单调递减函数.若函数在集合N*内为单调递增函数,则实数t的取值范围为.【答案】(
9、0,2)【详解】根据题意在内为单调递增函数.要使在N*内为单调递增函数,则解得,所以实数的取值范围为.2关于函数,以下命题正确的是().A的图象关于y轴对称 B的图象关于原点对称C无最大值 D的最小值为22【答案】C【详解】因为的定义域不关于原点对称,所以其图象不关于y轴对称,也不关于原点对称,故A,B错误;由对勾函数的性质可知,上单调递增,故,无最大值,故C正确,D错误.考点三、二次函数1（2023年新课标全国卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A B C D【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则
10、有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.2函数的最小值为（ ）A2 B0 C D6【答案】B【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0.3设，二次函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【详解】因为,二次函数，那么可知，在A中，a0,b0,c0，不合题意；B中，a0,c0，不合题意； C中，a0,c0,不合题意，故选D.1（2021年北京市部分名校模拟）函数是单调函数的充要条件是（ ）ABCD【答案】A【分析】因为函数在上单调递增，且在上是单调函数，比较即可求
11、解参数范围【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，又在区间上是单调函数，所以，解得.2函数的最大值是：（ ）A B C D【答案】A【分析】函数式的分母是二次函数，求出分母的取值范围后利用不等式的性质可得结论【详解】，最大值为 【点睛】本题考查求函数的最值，利用二次函数的性质和不等式的性质易得3已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A B C D【答案】D【分析】先表述出函数的解析式然后代入将函数表述出来，然后对底数进行讨论即可得到答案【详解】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，记当时，若在区间上是增函数，为增函数，令，t，要求对称轴，无解
12、；当时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t，要求对称轴，解得，所以实数a的取值范围是.【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减【基础过关】1已知，则（ ）ABCD【答案】A【分析】注意到，后利用指数函数，幂函数单调性可比较大小.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，则，.又函数在上单调递增，则，又，则.综上，.2若函数，当时函数值，则的取值范围是（）A；B；C；D【答案】D【分析】分与去解不等式，求出的取值范围.【详解】当时，解得：，与取交集，结果为；当时，解得：，综上：的取
13、值范围是.3已知幂函数上单调递减,若的取值范围是().A BC D【答案】D【详解】因为为幂函数,所以，解得，又函数上单调递减,故，此时，为奇函数.由，等价于，解得或或，所以的取值范围为.4已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值为_ _.【答案】【分析】利用幂函数定义得，解得或，再分别代入检验函数的单调性，即可得解.【详解】由幂函数定义得，解得或，当时，利用幂函数性质知：在上单调递减；当时，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去.综上，的取值为.5函数在上是减函数，则的取值范围是_【答案】【分析】依题意函数是由向右平移个单位得到，再由幂函数的性质判断的单调性，即可得到的单调性，从而求出参
14、数的取值范围.【详解】因为函数是由向右平移个单位得到，函数为偶函数，且函数在上单调递增，则在上单调递减，所以函数在上单调递增，则在上单调递减，又函数在上是减函数，所以，即的取值范围是.6（2011年全国普高招生统一考试文科陕西卷）函数的图象是A BCD【答案】B【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点，再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点，可排除C点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线来刻画其它幂函数在第一象限的凸向7
15、（2011年上海市普高招生考试(文科)）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）A BC D【答案】A【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称8(2023郑州模拟)若幂函数的图象关于y轴对称,则实数m=.【答案】2【详解】函数是幂函数,解得.当时,函数的图象不关于y轴对称,舍去;当时,函数的图象关于y轴对称,.9函数的最大值为_【答案】/【分析】由二次函数的性质即可得出函数的最大值.【详解】函数，所以函数的最大
16、值为.10若函数在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则的值().A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关【答案】B【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值12若函数，的图象关于直线对称，则_ _.【答案】6【分析】
17、根据给定的二次函数，利用二次函数的性质列式计算作答.【详解】函数的对称轴为：，依题意，且，解得，所以.13已知，函数.若，则（ ）A ， B， C， D，【答案】A【分析】由已知得的图象的对称轴为且先减后增，可得选项.【详解】由（4），得图象的对称轴为，又，先减后增，于是.【能力提升】1（2023年广东省部分名校联考）设，则（）ABCD【答案】A【分析】分别由指数、对数、幂函数的性质可得，即可得出答案.【详解】由题知，所以.2若，则满足的取值范围是_.【答案】【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.3若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在
18、上是增函数，则a_.【答案】【详解】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.4已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）Ap、q均为奇数且Bp为奇数，q为偶数且Cp为奇数，q为偶数且Dp为偶数，q为奇数且【答案】D【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定，又因为p与q互质，所以q为奇数.5已知，则a、b、c的大小关系为（ ）A BC D【答案】C【分析】化简，所以，再化简，故可得出答案.【详解】，且在R上为增函数，即.6（2012年全国普高招生统一考试文科（重庆卷）设函数集合
19、则为().AB（0，1）C（-1，1）D【答案】D【详解】,令,则原不等式等价于,解得或,或，或，或，即或.,.7已知函数，则“”是“的最小值与的最小值相等”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：由题意知，最小值为令，则，当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”故选A考点：充分必要条件8（2014年全国普高招生统一理科（上海卷）若是的最小值，则的取值范围为（）A-1,2B-1，0C1，2D【答案】D【详解】由于当时，在时取得最小值
20、，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D【考点】分段函数的单调性与最值问题9（2021陕西省部分名校模拟）函数和的递增区间依次是（）A B C D【答案】C【解析】通过作图，可直接求出两个函数的单调区间【详解】分别作出f(x)与g(x)的图象得：f(x)在0，)上递增，g(x)在(，1上递增，【点睛】本题考查函数的单调性和图象，常见函数的图象考生应强化记忆：一次函数、二次函数、反比例函数、含绝对值的函数（需要理解绝对值在函数中的几何意义）10（2015年全国普高招生统一考试理科（四川卷）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）A16B18C25D【答案】B【详解】
21、时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即.由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即.由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.考点：函数与不等式的综合应用.11（2014年全国普高招生统一考试理科（天津卷）已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_【答案】【详解】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点把代入，得，即，由，得，解得或又当时，与仅两个交点，或（方法二）显然，令，则，结合图象可得或【真题感知】1（2023年新高考天津数学高考真题）若，则的大小关系为（）ABC
22、D【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.2（2022年高考天津卷真题）已知，则（）A B C D【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、的大小关系.【详解】因为，故.3（2021年山东省春季高考数学真题）关于函数，以下表达错误的选项是（）A函数的最大值是1 B函数图象的对称轴是直线C函数的单调递减区间是 D函数图象过点【答案】C【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.【详解】，最大值是1，A正确；对称轴是直线，B正确；单调递减区间是，故C错误；令的，故在函数图象上，故D正确.4（20
23、19年全国统一高考（理科卷）（新课标）若，则（）ABCD【答案】C【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，所以，知C正确；取，满足，知D错【详解】取，满足，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，所以.【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断5（2007年全国普高招生统一考试理科卷）函数的一个单调增区间是（）A B CD【答案】A【分析】化简为关于的二次函数，然后换元，分别求出单调区间，再利用单调性的性质即可判断每个选项【详解】解：由题意，令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，而的单调增区间是，单调减区间是，对于A，当时，单调递减，且，此时单调递减，所以是的一个单调增区间；对于B，当时，单调递减，此时不是单调函数，所以不是的一个单调增区间；对于C，当时，单调递减，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间；对于D，当时，单调递减，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间，则也不是的一个单调增区间；
