1、专题04 因式分解考点一：因式分解知识回顾1. 因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。2. 因式分解的方法：提公因式法： 公因式的确定：公因式各项系数的最小公倍数相同字母（式子）的最低次幂。若多项式首项是负的，则公因式为负。 用各项除以公因式得到另一个式子。公式法： 平方差公式：。 完全平方公式：十字相乘法： 利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。 对于一个二次三项式，若满足，且，那么二次三项式可以分解为：。 当时，二次三项式是，此时只需，且，则可分解为：。分组分解法： 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分
2、解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解-分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。（分组分解法一般针对四项及以上的多项式）3. 因式分解的具体步骤：（1） 先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。（2） 观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。四项及以上则考虑分组分解。（3） 检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。微专题 1（2022济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）Ax2x1x（x1）1Bx
3、21（x1）2Cx2x6（x3）（x+2）Dx（x1）x2x【分析】根据因式分解的定义判断即可【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C2（2022永州）下列因式分解正确的是（）Aax+aya（x+y）+1B3a+3b3（a+b）Ca2+4a+4（a+4）2Da2+ba（a+b）【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可【解答】解：A选项，ax+aya（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4
4、（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B3（2022湘西州）因式分解：m2+3m 【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可【解答】解：原式m（m+3）故答案为：m（m+3）4（2022广州）分解因式：3a221ab 【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案【解答】解：3a221ab3a（a7b）故答案为：3a（a7b）5（2022常州）分解因式：x2y+xy2 【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案【解答】解：x2y+xy2xy（x+y）故答案为：xy（x+y）6（2022柳州）把多项式a2+2a分解因式得（）Aa（a+2）B
5、a（a2）C（a+2）2D（a+2）（a2）【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案【解答】解：a2+2aa（a+2）故选：A7（2022菏泽）分解因式：x29y2 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案【解答】解：原式（x3y）（x+3y）故答案为：（x3y）（x+3y）8（2022烟台）把x24因式分解为 【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答【解答】解：x24（x+2）（x2），故答案为：（x+2）（x2）9（2022绥化）因式分解：（m+n）26（m+n）+9 【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案【解答】解：原式（m+n）22（m+n）3+32（m+n3）
6、2故答案为：（m+n3）210（2022苏州）已知x+y4，xy6，则x2y2 【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案【解答】解：x+y4，xy6，x2y2（x+y）（xy）4624故答案为：2411（2022衡阳）因式分解：x2+2x+1 【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可【解答】解：x2+2x+1（x+1）2，故答案为：（x+1）212（2022济南）因式分解：a2+4a+4 【分析】利用完全平方公式进行分解即可【解答】解：原式（a+2）2，故答案为：（a+2）213（2022宁波）分解因式：x22x+1 【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：x22x+
7、1（x1）214（2022河池）多项式x24x+4因式分解的结果是（）Ax（x4）+4B（x+2）（x2）C（x+2）2D（x2）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式（x2）2故选：D15（2022荆门）对于任意实数a，b，a3+b3（a+b）（a2ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）Aa3b3（ab）（a2+ab+b2）Ba3b3（a+b）（a2+ab+b2）Ca3b3（ab）（a2ab+b2）Da3b3（a+b）（a2+abb2）【分析】把所给公式中的b换成b，进行计算即可解答【解答】解：a3+b3（a+b）（a2ab+b2），a3b3a3+（b3）a3+（b）3
8、a+（b）（a2a（b）+（b）2（ab）（a2+ab+b2）故选：A16（2022绵阳）因式分解：3x312xy2 【分析】先提取公因式，再套用平方差公式【解答】解：原式3x（x24y2）3x（x+2y）（x2y）故答案为：3x（x+2y）（x2y）17（2022丹东）因式分解：2a2+4a+2 【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式2（a2+2a+1）2（a+1）2故答案为：2（a+1）218（2022辽宁）分解因式：3x2y3y 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答【解答】解：3x2y3y3y（x21）3y（x+1）（x1），故答案为：3y（x+1
9、）（x1）19（2022恩施州）因式分解：a36a2+9a 【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可【解答】解：原式a（a26a+9）a（a3）2，故答案为：a（a3）220（2022黔东南州）分解因式：2022x24044x+2022 【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式2022（x22x+1）2022（x1）2故答案为：2022（x1）221（2022常德）分解因式：x39xy2 【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案【解答】解：x39xy2x（x29y2）x（x+3y）（x3y），故答案为：x（x+3y）（x3y）2
10、2（2022怀化）因式分解：x2x4 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式x2（1x2）x2（1+x）（1x）故答案为：x2（1+x）（1x）23（2022台湾）多项式39x2+5x14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A12B3C3D12【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可【解答】解：39x2+5x14（3x+2）（13x7），多项式39x2+5x14可因式分解成（3
11、x+a）（bx+c），a2，b13，c7，a+2c2+2（7）2+（14）12，故选：A24（2022内江）分解因式：a43a24 【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解【解答】解：a43a24（a2+1）（a24）（a2+1）（a+2）（a2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a2）25（2022广安）已知a+b1，则代数式a2b2+2b+9的值为 【分析】方法一：直接将a2b2进行因式分解为（a+b）（ab），再根据a+b1，可得a2b2ab，由此可得原式a+b+910方法二：将原式分为三部分，即a2（b22b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b10从而得出原式的值【解答】方法一：解：a2b2+2b+9（a+b）（ab）+2b+9又a+b1，原式ab+2b+9a+b+910方法二：解：a2b2+2b+9a2（b22b+1）+10a2（b1）2+10（ab+1）（a+b1）+10又a+b1，原式1026（2022黔西南州）已知ab2，a+b3，求a2b+ab2的值是 【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值【解答】解：a2b+ab2ab（a+b），ab2，a+b3，原式236故答案为：6
