1、第八章 平面解析几何第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系基础梳理1直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系_直线与圆相交；_直线与圆相切；_直线与圆相离dr(2)代数法：联立方程，消去 x(或 y)得一元二次方程，计算 b24ac.0直线与圆_；0直线与圆_；0)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20)相交相切相离方法位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2 的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离_解外切_实数解dr1r2无dr1r2一组相交_实数解内切d_(r1r2)一组实数解内含0_d_|r1r2|(r1r2)无解
2、|r1r2|dr1r2两组不同的|r1r2|0)的直线 l 被圆 C：x2y22x4y40 截得弦 AB 长为 4，若直线 l 唯一，则该直线的方程为_解析 将圆 C 的方程化为标准方程(x1)2(y2)29，圆心 C(1，2)，半径 r3.又由题意可知，圆心 C 到直线 l 的距离为 3222 5，所有满足题意的直线 l 为圆 D：(x1)2(y2)25 的切线又直线 l 唯一，点 P 在圆 D 上(t1)245.t2 或 t0(舍去)该切线方程为(21)(x1)(y2)(02)5，即直线 l 的方程为 x2y20.答案 x2y20(4)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y2x
3、上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若AB CD 0，则点 A 的横坐标为_解析 因为AB CD 0，所以 ABCD，又点 C 为 AB 的中点，所以BAD45.设直线 l 的倾斜角为，直线 AB 的斜率为 k，则 tan 2，ktan 4 3，又B(5，0)，所以直线 AB 的方程为 y3(x5)，又 A 为直线 l：y2x 上在第一象限内的点，联立直线 AB 与直线 l 的方程，得y3（x5），y2x，解得x3，y6，所以点A 的横坐标为 3.答案 3破题技法 直线与圆位置关系的求解方法问题解题技巧图例直线与圆位置关系判断利用圆心到直线的距
4、离 d 与半径 r 比较进行判断求弦长巧借垂径定理，利用|AB|2 r2d2(d 为弦心距，r 为圆的半径)求解直线与圆相交所得弦长(1)若点(x0，y0)在圆上，斜率存在时，先求点与圆心连线的斜率 k，由切线与过切点、圆心的直线垂直的关系知切线的斜率为1k，由点斜式方程可求出切线方程求切线方程(2)若点(x0，y0)在圆外，当斜率 k 存在时，设直线方程为 yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可得出切线方程考点二 圆与圆的位置关系挖掘 利用圆与圆的关系求解/自主练透例(1)若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0 相切，则 m()A11 B9C19 D.
5、9 或11解析 依题意可得 C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|32425.又 r11，r2 25m，25m0，当两圆外切时，r1r2 25m15，解得 m9，当两圆内切时，|r2r1|5，即|25m1|5，得 25m6，解得 m11.答案 D(2)若圆 O1：x2y25 与圆 O2：(xm)2y220 相交于 A，B 两点，且两圆在点 A处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是()A3 B4C2 3D.8解析 如图，连接 O1A、O2A，由于O1 与O2 在点 A 处的切线互相垂直，因此O1AO2A，所以 O1O22O1A2O2A2，即 m252025，设 AB 交 x 轴于点 C
6、.在RtO1AO2 中，sinAO2O1 55，在 RtACO2 中，ACAO2sinAO2O12 555 2，AB2AC4.故选 B.答案 B(3)已知圆 C1：(x2a)2y24 和圆 C2：x2(yb)21 只有一条公切线，若 a，bR且 ab0，则 1a2 1b2的最小值为()A2 B4 C8 D9解析 由题意可知，圆 C1 的圆心为(2a，0)，半径为 2，圆 C2 的圆心为(0，b)，半径为 1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以（2a0）2（0b）221，即 4a2b21.所以 1a2 1b21a2 1b2(4a2b2)5b2a24a2b2 52b2a24a2b2 9，当
7、且仅当b2a24a2b2，且 4a2b21，即 a216，b213时等号成立，所以 1a2 1b2的最小值为 9.故选 D.答案 D破题技法 1.判断两圆位置关系的方法几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法2两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长l2，半径 r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解而两圆公共弦的方程就是将两圆方程相减，消去 x2，y2 后的方程考点三 圆的综合问题挖掘 1 与圆有关的最值问题/自主练透例 1 已知实数 x、y 满足 x2y24x10.(1)求yx的最大值与最小值；(2)求
8、 yx 的最大值、最小值；(3)求 x2y2 的最大值、最小值解析(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即 ykx.如图所示，当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3.所以yx的最大值为 3，最小值为 3.(2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，如图所示，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6.所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.(3)如图所示，x2y2 表示圆上的一点与
9、原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为（20）2（00）22，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是(2 3)274 3.破题技法 与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如 ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题挖掘 2 直线与圆的综合问题/互动探究例 2 已知圆 C 经过点(2，4)，(1，3)，圆心 C 在直线 xy10 上，过
10、点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 相交于 M，N 两点(1)求圆 C 的方程；(2)请问AM AN 是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；(3)若OM ON 12(O 为坐标原点)，求直线 l 的方程 解 析 (1)设 圆C 的 方 程 为(x a)2 (y b)2 r2，则 依 题 意，得（2a）2（4b）2r2，（1a）2（3b）2r2，ab10，解得a2，b3，r1，圆 C 的方程为(x2)2(y3)21.(2)AM AN 为定值过点 A(0，1)作直线 AT 与圆 C 相切，切点为 T，易得|AT|27，AM AN|AM|AN|cos 0|AT|27，A
11、M AN 为定值，且定值为 7.(3)依题意可知，直线 l 的方程为 ykx1，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，将 ykx1代入(x2)2(y3)21 并整理，得(1k2)x24(1k)x70，x1x24（1k）1k2，x1x271k2，OM ON x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 k(x1 x2)14k（1k）1k2 8 12，即4k（1k）1k24，解得 k1，又当 k1 时 0，直线 l 的方程为 yx1.破题技法 与圆有关的参数范围问题常见思路(1)直接利用条件，画出几何图形，结合图形用几何法求参数的范围(2)根据位置关系列不等式组，用代数法求参数范围(3)构造关于参数的函数关系，借助函数思想求参数的范围挖掘 3 点圆的应用/互动探究例 3 求经过点 M(3，1)且与圆 C：x2y22x6y50 相切于点 N(1，2)的圆的方程解析 圆 C 的方程可化为标准方程：(x1)2(y3)25，圆心为(1，3)由 M、N 可求出 MN 的中垂线方程为 y23x56，圆心 C 和 N 所在直线方程为 y12x52，联立解得圆心坐标为(207，1514)，半径为845196，则圆的方程为(x207)2(y1514)2845196.
