1、专题03 新知识学习型&新定义问题之求函数的解析式（解析版）通用的解题思路：求一次函数解析式：老方法：已知两个点的坐标，一令，二代：将两个点的坐标代入，计算出，三作答；压轴题中的新方法，用求k公式来先求出k，再代入一个点来求出b，当求垂线的解析式或者点的坐标含参数时，用新方法更合适。求二次函数解析式：一般式：，压轴题中一般不用一般式来求二次函数解析式；顶点式：，告诉二次函数的顶点时，优先选用顶点式；一般式：，告诉二次函数与x轴的两交点时，优先选用交点式。1（长沙中考）若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此
2、直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系此时，直线l叫做抛物线L的 “带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x22x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x4，求此“路线”L的解析式；（3）当常数k满足k2时，求抛物线L：y=ax2+（3k22k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围【详解】解：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，即直线与y轴的交点为（0，1）；将（0，1）代入抛物线y=x22x+n中，得n=1抛物线的解析式为y=x22x+1=（
3、x1）2，抛物线的顶点坐标为（1，0）将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=1（2）将y=2x4代入到y=中有，2x4=，即2x24x6=0，解得：x1=1，x2=3该“路线”L的顶点坐标为（1，6）或（3，2）令“带线”l：y=2x4中x=0，则y=4，“路线”L的图象过点（0，4）设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）26或y=n（x3）2+2，由题意得：4=m（0+1）26或4=n（03）2+2，解得：m=2，n=此“路线”L的解析式为y=2（x+1）26或y=（x3）2+2（3）令抛物线L：y=ax2+（3k22k+1）x+k中x=0，则y=k，即该抛物线
4、与y轴的交点为（0，k）抛物线L：y=ax2+（3k22k+1）x+k的顶点坐标为（，），设“带线”l的解析式为y=px+k，点（，）在y=px+k上，=p+k，解得：p=“带线”l的解析式为y=x+k令“带线”l：y=x+k中y=0，则0=x+k，解得：x=即“带线”l与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，k）“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=|k|，k2，2，S=，当=1时，S有最大值，最大值为；当=2时，S有最小值，最小值为故抛物线L：y=ax2+（3k22k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为S 2.（青竹湖）规定：我们把一个函数关于某条直
5、线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”（1）已知一次函数y2x+3的图象，求关于直线yx的对称函数的解析式；（2）已知二次函数yax2+4ax+4a1的图象为C1；求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB16时，求a的值；（3）若直线y2x3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线ymx2+（m）x（2m）都不通过点P，求符合条件的点P坐标【详解】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0）两点关于y=-x对称点为（-3，0），（0，- ）设y=x+b，则 ，解得 ，则 ，（2）设C2上的点为
6、（x，y），其关于（1，0）的对称点为（2-x，-y），(2-x，-y)在C1上，则，C2:，C1关于y轴交于（0，4a-1）， C2关于y轴交于（0，-16a+1），AB=(4a-1)-(-16a+1)=16，2a-2=16，解得a= 或- ，（3）y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3，抛物线:，令 ，得x1=1，x2=-1，则抛物线经过（1， ），（-2， ） ，令x=1，y=-2x-3=1，令x=-2，y=-2x+3=7，点（1，1）（-2，7）在y=-2x+3上，由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上，故P为(1，1)或(-2，7)3.（青竹湖）定义：将点P关于原点对称
7、的点绕原点顺时针旋转后得到的点称为P的反转点，连接形成的直线称为反转线，当直线与函数L的图象有交点时的反转线称为完美直线，它们的交点Q叫完美点.（1）已知函数L的觝析式为，点P的坐标为，试求出点P变换后得到的反转线；（2）已知函数L的解析式为，点P为x轴上异于原点的一点，经过变换后可以得到完美直线，且完美点Q与原点间的距离为，求这条完美直线的解析式；（3）已知P为直线上一动点，函数L的解析式为，点P经过变换后得到的反转线是完美直线，且有两个完美点，当时，求点P横坐标的取值范围.【解答】解：（1）点P的坐标为（5，0），关于原点的对称点坐标是（5，0），点P的反转点P的坐标是（0，5），设反转线
8、的解析式是ykx+b，把P（5，0），P（0，5）代入ykx+b，得，点P变换后得到的反转线的解析式是yx+5（2）设P（m，0）（m0）则它的反转点P（0，m），直线PP的解析式是yx+m，解方程组得，点Q的坐标是（，），+OQ240，m4或m4，完美直线的解析式是yx+4或yx4（3）P是直线y3x上的一点，设P（n，3n）（n0），P的坐标是（3n，n），设完美直线PP的解析式是yux+v，把P（n，3n），P（3n，n）代入得，PP的解析式是yx+n，由得x2+2x25n0，P经过变换后得到的反转线是完美直线，且有两个完美点Q1，Q2，224（25n）12+20n0，n，设Q1（x1，
9、y1），Q2（x2，y2），x1+x22，x1x225n，y1y2（x1x2），Q1Q2，Q1Q2，Q1Q22，2，n，点P横坐标的取值范围是n4.（博才）规定：我们把直线叫做抛物线的“温暖直线”.若该直线与该抛物线的图象还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线l与抛物线L具备“温暖而幸福关系”，否则称直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”.（1）已知直线是抛物线的“温暖直线”，请判断直线l与抛物线L是否具备“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由；（2）已知直线与抛物线不具备“温暖而幸福关系”，当时，抛物线的最小值是，求直线l的解析式；（3）
10、已知直线是抛物线L的“温暖直线”.将抛物线L进行左右平移得到新抛物线，抛物线满足：对于抛物线上的任意两点，若，则始终成立.抛物线与直线l相交于，B两点，若以AB为直径的圆恰好与x轴相切，求a的值.【解答】解：（1）直线l：yax4是抛物线L：y2x2+bx的“温暖直线”，a2，b4，直线l：y2x4，抛物线L：y2x24x，由2x42x24x，得：x1或x2，“幸福点”的坐标为（1，2），（2，0）；（2）直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”，方程ax+bax2+bx，即ax2+（ba）xb0无解或有两个相等的实数根，（ba）2+4ab（a+b）20，ba，直线l：yaxa，抛物线L：ya
11、x2axa（x）2a，当a0时，抛物线开口向上，当0x时，y随x的增大而减小，当x2时，y随x的增大而增大，a6，解得：a24，b24，直线l的解析式为y24x24；当a0时，抛物线开口向下，当0x时，y随x的增大而增大，当x2时，y随x的增大而减小，当x2时，y最小值4a2a6，解得：a3，b3，直线l的解析式为y3x+3；直线l的解析式为y24x24或y3x+3；（3）（x1）（x2）0，则y1y2始终成立，x是L1的对称轴，yax2+bxa（x+）2，平移后变为ya（x）2，将点A（1，1）代入ya（x）2，a1，A（1，1）在直线yax+b上，a+b1，由解得设B（c，d），联立方程组
12、，ax26ax+ab0，61+c，c5，d5a+b，A（1，1），B（5，5a+b），AB的中点（3，），AB，以AB为直径的圆恰好与x轴相切，5a+b4，5a+ba（5）2，a4，联立得a5.（2022庐阳区三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，yax2+bx+c（a0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点他们发现：二次函数yax2+bx+c（a0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为yax2+bx+c（a0）的“简朴
13、曲线”例如，二次函数yx2+x+1的“简朴曲线”就是yx2+x+1+xx2+2x+1，请按照定义完成：（1）点P（1，2）的“简朴”点是 ；（2）如果抛物线yax27x+3（a0）经过点M（1，3），求该抛物线的“简朴曲线”；（3）已知抛物线yx2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0c3时，求n的取值范围【解答】解：（1）由题意得点P（1，2）的“简朴”点是（1，1+2），即（1，3），故答案为：（1，3）（2）将（1，3）代入yax27x+3得3a7+3，解得a1，yx27x+3，抛物线yx27x+3的“简朴曲线”
14、为yx27x+3+xx26x+3（3）点B（x，y）的“简朴点”是B（1，1），解得，点B坐标为（1，2），1b+c2，即bc1，yx2+（c1）x+c，该抛物线的“简朴曲线”为yx2+cx+c（x+）2+c，该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），m，nc（c2）2+1，c2时，n1为最大值，把c0代入nc得n0，把c3代入nc得n，当0c3时，0n16（2022岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数yax+b（a0）图象上，点Q在反比例函数（c0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数yax2+bx+c为一次函数yax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，
15、点Q称为“靶点”（1）若二次函数yx2+2x+1是一次函数yax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a，b，c；（2）若一次函数yx+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；（3）若一次函数yax+2b（ab0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）试说明一次函数yax+2b图象上存在两个不同的“基点”；设一次函数yax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1x2|的取值范围【解答】解：（1）由定义可知，a1，b2，c1，故答案为：1，2，1；（2）由题意可知，“衍生函数”为yx2+bx+c，顶点在x轴上，4cb2，一次函数
16、为yx+b，“基点”P的横坐标为1，P（1，1+b），点P与点Q关于y轴对称，Q（1，1+b），反比例函数为y，b21+b，解得b2，“靶点”的坐标（1，1）；（3）证明：由题意可知“衍生函数”为yax2+2bx2，经过点（2，6），a+b2，ab0，a2a0，1a2，设“靶点”Q（t，），则P（t，），at+2（2a），整理得at24t+2at20，4（a1）2+120，方程有两个不同的实数根，一次函数yax+2b图象上存在两个不同的“基点”；解：由可知，at24t+2at20，x1+x22，x1x2，|x1x2|，1a2，24，2|x1x2|28定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转1
17、80o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数例如：当m1时，函数y（x3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y（x+1）29（1）当m0时，一次函数yx+7关于点P的相关函数为 点A（5，6）在二次函数yax22ax+a（a0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值（2）函数y（x2）2+6关于点P的相关函数是y（x10）26，则m（3）当m1xm+2时，函数yx26mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值【解答】解：（1）根据相关函数的定义，yx+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为yx7，故答案为：yx7；yax22ax+aa（x1
18、）2，yax22ax+a关于点P（0，0）的相关函数为ya（x+1）2，点A（5，6）在二次函数ya（x+1）2的图象上，6a（5+1）2，解得：a；（2）y（x2）2+6的顶点为（2，6），y（x10）266的顶点坐标为（10，6）；两个二次函数的顶点关于点P （m，0）成中心对称，m6，故答案为：6；（3）yx26mx+4m2（x3m）25m2，yx26mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y（x+m）2+5m2当mm1，即m时，当xm1时，y有最大值为8，（m1+m）2+5m28，解得m12（不符合题意，舍去），m22+；当m1mm十2，即1m时，当xm时，y有最大值为8，5m28，
19、解得：m（不合题意，舍去）；当mm+2，即m1时，当xm+2，y有最大值为8，（m+2+m）2+5m28，解得：m42或，m4+2（不符合题意，舍去），综上，m的值为2+或429.（2022武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”例如，将点M（m+1，m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设xm+1，ym+1由得mx1将代入得y（x1）+1，整理得yx+2则直线yx+2是点M的运动路径【迁
20、移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（a，a2a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W始终过点A，点C的对应点为C）试确定点C运动路径所对应的函数表达式；）在直线x2的左侧，是否存在点C，使ACC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设xa，ya2a+3，由得ax，yx2+x+3；（2）yx2+x+3（x2）2+4，C（2，4），令y0，则x2+x+30，解得x2或x6，A（2，0），
21、B（6，0），）设抛物线W的解析式为y（xh）2+k，C（h，k），经过点A（2，0），k（2+h）2，令xh，yk（2+h）2，y（x+2）2；）存在点C，使ACC为等腰三角形，理由如下：C（2，4）在y（x+2）2上，C点关于直线x2的对称点为C（6，4），此时ACAC，ACC为等腰三角形；设C（m，m2+m+1），当ACCC时，（m+2）2+（m2+m+1）2（m2）2+（m2+m+14）2，解得m42或m4+2（舍），C（42，6+2）；当CACC时，C只能在x2右侧，此时不符合题意；综上所述：（6，4）或（42，6+2）10（立信）关于x的方程（）两根分别为x1和x2，若一个根是另一个根的两倍，则称这样的方程为“立信二倍方程”，若直线l与抛物线C相交于A、B两点，其中一点的横坐标等于另一点横坐标的2倍，则称这样的直线l与抛物线C互为“立信二倍函数”.（1）若是“立信二倍根方程”，求的值；（2）直线：与抛物线互为“立信二倍函数”求抛物线的解析式；（3）直线：与抛物线：（）互为“立信二倍函数”，若直线与抛物线相交于，、，两点，且，求的取值范围【解答】解：（1），当时，即，解得：，当时，即，解得：，故或-4；（2）由题意得：，整理得：，则，当，解得：，抛物线解析式为.当，解得：，抛物线解析式为（3），整理得：，设：，整理得：，则，即，即，即
